1.Постановка Любой зада4и оптимизации на4инаеться с определения набора независимыхпеременых и обы4но вклю4ает условия , которые характерезуют их преемлемые зна4ения.т.е. определяет множество возможных решений икс. Эти условия называют ограни4ение зада4и. Еще одной обязательной составной 4астью описания явл. Склярная мера ка4ества, именуемая целевой функцией и зависящая какимто образом от переменой.Решения оптимизационой зада4и заклю4аеться в определении такого зна4. Переменых из множества х, которому отве4ает эестримальное зна4. Целевой функции. Таким образом для достижения экстремума необходимо изменять в пределах х хна4ения независимых переменых. По этому они называються управляемыми перемеными.Под экстримальнгостью обы4но понимают максимальность или минимальность.

3. То4кой глобального минимума функции F на множестве х , или глобальным решением зада4иеслиFот х в степени 0 меньше или равноFот х при всех х принадлежит Х.

ТО4кой локального минимума Fна Х или локальным решением зада4и если существует 4исло Эпсилон больше 0 такое 4тоFот Х в степени 0 = Меньше или равноFот х при всех х принадлежит [Xпересе4ениеU(Xв степени 0)]

Если неравенство выполняеться как строгое при Х не = Х в степени 0, то говорят 4то х в степени 0 , то4ка строгого минимума в глобальном или локальном смысле.

4.Все оптимизационые зада4и деляться на два больших подкласс Безусловный и условнойоптимизации. В первом слу4ае множество решений х совпадает с областью существования с целевой функциейF(x) тоесть х принадлежитRв степениn. и неограни4ено ни какими доп. Условиями. Именно это определила название класса – безусловная оптимизация.Зада4а безусловной оптимизации имеет видfот х стремится к минимуму., х принадлежитRв степениn.

ВО втором слу4аее условной оптимизации – область решений х явл. Подмножеством области существования и задано ограни4ено дополнительными условиями на допустимые зна4ения управляемых переменх. В дальнейшем мы 4асто будем прибегать к гиометри4еской интерпретации зада4 оптимизации, основаной на понятии линии равного уровня функции Fтоесть множеств вида.

6. Важной составляющей современного аппарата теории оптимизации является выпуклый анализ – раздел математики, в котором изучают свойства выпуклых множеств и выпуклых функций.

Множество называется выпуклым, еслипри всех . Иными словами множество X выпукло, если оно вместе с любым своими двумя точками содержит соединяющий отрезок.

7. *************************************************

8. Задача называется выпуклой, если X – выпуклое множество, f – выпуклая функция на X.

Если задача выпукла, то любое её локальное решение является также глобальным.

Таким образом, для выпуклых задач понятия локального и глобального решений не различаются и можно говорить просто об их решении.

Второе свойство выпуклых задач можно высказать в виде следующего принципа: необходимые условия оптимальности в том или ином классе задач оптимизации при соответствующих предположениях выпуклости оказываются и достаточными.

9. Численные методы поиска экстремума делятся на 2 класса:

- пассивные

- активные

Центральная идея пассивных методов заключается в выборе некоторого количества точек, которые регулярно или случайно размещаются на множестве свободных решений. Это означает, что для каждой точки задаются её координаты, т.е. значения многомерной независимой переменной. Затем в каждой точке вычисляется значение целевой функции и точка с минимальным значением принимается в качестве значения функции.

Принципиальное отличие активных методов от пассивных заключается в построении последовательности точек целенаправленно приводящих в окрестности экстремума функции. Такая последовательность значений независимой переменной называется траекторией движения к экстремуму.

По порядку метода:

- нулевого порядка(прямые методы)

- первого порядка(градиентные методы)

- второго порядка(методы Ньютона)

По формированию шага спуска:

- с постоянным шагом

- с дроблением шага

- с оптимизацией длин шага

10.Во всех численных методах оптимизации необходимо найти экстремумы функции, а после производить над ними какие-либо действия для непосредственной оптимизации.

11. Что называется сходимостью численных методов оптимизации? Будем считать, что метод сходится, если последовательность приближенийнепременно приближается к точному решениюзадачи, т.епри. Такой вид сходимости еще называют сходимостью по аргументу. В отличие от него, сходимостью по функции называется такой вид сходимости, когда последовательность значений функции цели, вычисленной в точках

, приближается к значению функции цели в точке х0, т.е при

12. Какие условия остановки работы метода оптимизации?

Условия остановки может определятся присутствующими вычислительными ресурсами.

Поводом для остановки может быть зацикливание, когда последовательные приросты функции цели меняют знак на противоположный. В последовательности, которая минимизирует функцию цели, начинает повторятся определенный набор точек. Зацикливание свидетельствует о том, что поточное приближение находится в округе точки экстремума. В таком случае следует или уменьшить величину шага, или остановить работу алгоритма.

В практике часто используют такие условия остановки:

;

,

Вместо данных условий основанных на понятии абсолютной погрешности, можно также использовать аналогичные основанные на понятии относительной погрешности

;