4.10. Критерии оптимальности и оптимальные правила приема дискретных сообщений

4.10.1 Алгоритмы оптимального приема

Задача помехоустойчивого оптимального приема дискретных сообщений является одной из важнейших задач теории электрической связи. При передаче сигналов по каналу с помехами полностью безошибочное восстановление переданного символа, невозможно, так как в силу случайной природы помех соответствие между переданным сигналом и принятым не однозначно.

На выходе модулятора в системах передачи происходит преобразование символа , в последователь­ность элементарных сигналов .

На вход демодулятора при передаче сигнала поступает колебание (сигнал + шум)

,

где - ад­дитивный шум в канале.

Если бы кодовые символы всегда совпадали с передаваемыми символами, то связь была бы безошибочной. Но, как известно, помехи приводят к невозможности с абсолютной достоверностью восстановить по принятому сигналу переданный кодовый символ.

Возникает вопрос: как принять решение о том, что в данный момент времени передано именно это сообщение?

Каждый демодулятор описывается законом, по которому поступивший на его вход непрерывный сигнал превращается в кодовый символ. Этот закон на­зывается правилом решения, а реализующая его схема — решающей. Демодулято­ры с различными правилами решения будут выдавать, вообще говоря, различ­ные решения, из которых одни верные, а другие — ошибочные.

В любом демодуляторе дискретных сообщений перед непосредственным принятием ре­шения приходящий сигнал подвергается той или иной обработке, целью которой является наилучшее использование различия между реализациями сигналов, соответствующих разным символам, а также отличия сигналов от помех.

Современная статистическая теория связи позволяет отыскать наилучшую операцию обработки входного сигнала z(t), обеспечивающую максимальное ка­чество оценки . При решении данной задачи полагают, что свойства источника сообщения и кодера известны. Кроме того, известен модулятор, т.е. задано, какая реализация эле­мента сигнала соответствует тому или иному кодовому символу, а также задана математическая модель непрерывного канала. Требуется определить, каков должен быть оптимальный демодулятор (правило решения), чтобы обеспечить наилучшее качество приёма.

Такая задача была впервые поставлена и решена (для гауссовского неискажающего канала с БГШ) В.А. Котельниковым. В этой постановке качество оценивалось вероятностью правильного приёма символа. Максимум этой веро­ятности при заданном виде модуляции В.А. Котельников назвал потенциаль­ной помехоустойчивостью, а демодулятор, обеспечивающий этот максимум, - идеальным приемником. Из этого определения следует, что ни в одном реаль­ном демодуляторе средняя вероятность правильного приёма символа не может быть больше, чем в идеальном приёмнике.

Изучим статистический подход к задаче приёма дис­кретных сообщений на фоне шумов. Пусть при передаче дискретных сообще­ний в месте приёма ожидаются сигна­лы , соответствующие кодовым символам . В течение отрезка времени [0, Т_с]¹⁾ на вход приёмного устройства по­ступает колебание z(t), которое вследствие искажений и помех в канале не сов­падает в точности ни с одним из элементов сигнала на передаче . Следова­тельно, в этом случае приёмное устройство должно выбрать одну извозмож­ных взаимоисключающих (альтернативных) гипотез: передавался кодовый сим­вол , т.е. ожидается сигнал ; передавался кодовый символ , т.е. ожида­ется сигнал ; передавался кодовый символ , т.е. ожидается сигнал . Для двоичной системы приёмное устройство выбирает одну из двух альтернативных гипотез о передаче символа 1 или 0.

Рис.4.48. Разбиения пространства принимаемых колебаний

на непересекающиеся области

Совокупность всех возможных реализаций z(t) можно интерпретировать точками в пространстве Z принимаемых сигналов. Графически изобразим реализации принимаемых сигналов и помех n(t) точками на плоскости (рис. 4.48) или соответствующими векторами на плоскости, откладываемыми от начала координат 0.

Если правило решения выбрано, то это означает, что каждой точ­ке пространства принимаемых колебаний (концу вектора ) приписывается одна из гипотез, т.е. определенный переда­ваемый кодовый символ . Пространство прини­маемых сигналов окажется при этом разбитым на непересекающихся областей пространства , каждая из которых соответствует принятию определённой гипотезы. В такой трактовке различные приёмные устройства отличаются друг от друга способом разбиения про­странства сигналов на области , т.е. правилом принятия решения²⁾. Возможное разбиение схема­тически показано на рис. 4.48. В двоичной системе пространство Z разбивают на две непересекающиеся области Х₀ и Х₁.

Если помехи отсутствуют, возможные значения z(t) изображаются точками . При наличии помехи и передаче сигнала с номером точка принимаемого колебания z отклоняется от точки . На рис. 4.48 это по­казано для сигналов , , и . Область содержит точку . В тех случаях, когда помеха не выводит точку за пределы области, решение оказывается верным при сигнале . В противном случае возникает ошибка. Из­меняя границы между областями, можно влиять на вероятность ошибочного приёма отдельных передаваемых символов.

Очевидно, всегда существует такое расположение областей, кото­рое в определённом смысле лучше всякого другого. Здесь, в зависимости от выполняемой задачи выбирается критерий определения границ областей пространства .

Статистические критерии оптимального приема дискретных сообщений

В теории электрической связи применяются следующие критерии оптимального приема дискретных сообщений:

1. критерий идеального наблюдателя (критерий Котельникова);

2. критерий минимального среднего риска (байесовский критерий);

3. критерий Неймана-Пирсона;

4. критерий Вальда.

Рассмотрим более подробно критерий идеального наблюдателя, который наиболее часто используется в связи.

Согласно критерию Котельникова качество демодуля­тора оценивают безусловной (средней) вероятностью правильного приема сим­вола.

Критерий идеального наблюдателя обеспечивается ре­шающей схемой, построенной по правилу максимума апостериорной вероятно­сти — решение , принимается в том случае, если выполняется система из неравенств:

(4.39)

Для двоичной системы сигналов это правило сводится к проверке не­равенства

. (4.40)

При выполнении неравенства (4.40) регистрируется символ 1, в противном случае - 0.

Апостериорная вероятность символа определяется согласно формуле Байеса

(4.41)

где априорная условная n-мерная плотность вероятности — функция правдоподобия i-й гипотезы (i=0…М-l) (определяется каналом связи),

— априорная вероятность передачи символа (т.е. та вероятность, которая имеет место до наблюдения и анализа, и определяемая статистикой ис­точника сообщения и правилом кодирования).

Подставив (4.41) в (4.39) и учитывая, что p(z) — безусловная плотность веро­ятности, не являющаяся функцией i, можно записать правило решения по кри­терию идеального наблюдателя в следующей форме:

или сокращённо:

. (4.42)

Приёмник, реализующий алгоритм (4.42), называется приёмником Котельникова. Для двоичной системы правило (4.42) сводится к проверке неравенства

, (4.43)

при выполнении которого регистрируется символ 1, а при невыполнении — 0.

Для построения решающей схемы по правилу (4.42) необходимо знать ап­риорные вероятности символов , а также свойства модулятора и канала, определяющие условные плотности — функции правдоподобия.

Рассмотрим пример для двоичной системы (рис.4.49), где графически представлены плотности вероятности на пространстве наблюдений.

Пример.

В системе связи передается двоичный сигнал: 1 или 0 с вероятностями ,. В канале связи действует белый гауссовский шум с дисперсией . Шум имеет среднее значение равное 0 В при передаче 0 и среднее значение равное1 В при передаче 1.

Какое решение примет приемник, если в момент принятия решения В?

Решение.

В соответствии с выражением (рис.4.49) определяются условные априорные вероятности «1» и «0».

,

.

Согласно (4.43)

,

.

Так как следовательно принимается «1».

Правило (4.42) можно записать иначе. Решение о том, что передавался символ должно приниматься, если для всех j i выполняются нера­венств

. (4.44)

Отношение в левой части этого неравенства называется отношением прав­доподобия двух гипотез: о том, что передавался символ , и о том, что переда­вался символ. Его обозначают _ij

. (4.45)

В случае, когда все символов передаются равновероятно, т.е.

(4.46)

правило (4.45) упрощается:

, . (4.47)

Такое правило максимума правдоподобия реализу­ет критерий идеального наблюдателя при том условии, что все символы пере­даются равновероятно.

Выражение (4.47) является оптимальным правилом решения и называется правилом максимального правдоподобия, применяемое практически во всех системах связи, так как все кодовые символы в них передаются примерно с одинаковыми вероятностями.

Рассмотрим вывод формулы для построения оптимального приемника.

Напряжение на входе приемника

зависит только от аддитивной помехи. Помеха имеет случайный характер и подчиняется нормальному закону распределения:

,

а значит и напряжение на входе приемника, также будет подчиняться нормальному закону.

Рассмотрим двоичную систему. Условные плотности вероятности для и будут равны:

,

.

Найдем отношение правдоподобия между реализациями:

,

где z(t) – напряжение на входе приемника; ² – средняя мощность шума.

.

Тогда можно записать

.

Или

.

Проинтегрировав и усреднив его за время действия одной реализации, равное периоду получим правило принятия решения в пользу реализации .

Полученное выражение преобразуем к виду:

. (4.48)

В формуле (4.48) реализуется признак минимального среднеквадратичного отклонения, то есть в сигнале распознается та реализация (или) относительно которойбудет меньшим.

Указанное правило принятия решения можно записать следующим образом:

. (4.49)

Рис. 4.50. Схема оптимального приемника

Отметим, что именно в таком виде впервые получил алгоритм оптимально­го приёма В.А. Котельников. Схема оптимального приемника представлена на рис. 4.50.

Преобразуем (4.48)

,

. (4.50)

Зная, что: ;, гдеP₁ и P₀ – средние мощности реализации сигнала на входе приемника получим:

(4.51)

Полученный критерий позволяет синтезировать схему оптимального приемника (рис. 4.51).

Рис. 4.51. Структурная схема оптимального приемника

Назначение элементов схемы и принцип работы схемы. Генераторы и вырабатывают соответствующие реализациям сигналы, которые поступают на вход вычитателя. Результирующий сигнал поступает на вход умножителя, на второй вход которого поступает входной сигнал z(t). Преобразованный сигнал интегрируется в интеграторе и поступает на вход схемы сравнения, на второй вход которого поступает сигнал .

• Если > то, схема принимает решение, что был передан сигнал ("1");

• Если < то, схема принимает решение, что был передан сигнал ("0").

Подбором достигается правильность принятия решения на определение соответствующей копии сигнала. может устанавливаться автоматически и зависеть только от входной мощности сигнала.