Вопросы ДИ ИИ для студентов (русс)

Пределы. Теоретические вопросы.

Какой вид имеет функция, называемая числовой последовательностью?

Если числовая последовательность является монотонной и ограниченной, то она…(вставить пропущенные слова)

а)

может сходиться

б)

может расходиться

в)

сходится

г)

расходится

д)

является бесконечно малой

Выберите верное определение предела функции «на языке »: число называется пределом функции при , если…(вставить пропущенные слова)

а)

для любого существует число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

б)

в)

г)

д)

При каком условии число называется пределом функции в точке слева?

Для того чтобы функция имела в точке предел, равный числу , необходимо и достаточно, чтобы…(вставить пропущенные слова)

а)

функция была ограниченной в некоторой окрестности точки

б)

функция была непрерывной в точке

в)

в этой точке существовал предел

г)

функция была бесконечно малой в точке

д)

в этой точке существовали односторонние пределы функции, которые равны

Что можно сказать о функции , если ?

В чем состоит связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией?

Пусть , при . Указать пределы, в которых возникает неопределенность.

а)

б)

в)

г)

д)

Пусть , при . Указать пределы, в которых возникает неопределенность.

а)

б)

в)

г)

д)

Пусть , при . Указать пределы, в которых возникает неопределенность.

а)

б)

в)

г)

д)

Пусть и – бесконечно малые функции в точке , т.е. , . Какие определения вводятся для сравнения бесконечно малых функций?

При каком условии две бесконечно малые в точке функции и являются эквивалентными?

Указать эквивалентные бесконечно малые функции в окрестности точки .

а)

,

б)

,

в)

г)

д)

Указать эквивалентные бесконечно малые функции в окрестности точки .

а)

б)

,

в)

г)

д)

Указать замечательные пределы.

Функция называется непрерывной в точке , если…(вставить пропущенные слова)

а)

она определена в точке и ее окрестности.

б)

существует .

в)

.

г)

функция является ограниченной в окрестности точки.

д)

Как называется точка , в которой функция имеет предел слева и справа, причем ?

Указать верные свойства функций, непрерывных в точке.

а)

Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , и также непрерывны в этой точке (последняя при ).

б)

Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , причем , то сложная функция является непрерывной в точке .

в)

Чтобы функция была непрерывной в точке необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной в некоторой окрестности точки .

г)

Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , и непрерывны в окрестности этой точки (последняя при ).

д)

Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , причем , то сложная функция является непрерывной в окрестности точки .

Какие свойства имеет функция , непрерывная на отрезке ?

Если функция непрерывна на отрезке , , то…(вставить пропущенные слова)

а)

на интервале найдется хотя бы одна точка , в которой функция обращается в нуль.

б)

на этом отрезке она принимает все промежуточные значения между и

в)

функция имеет непрерывную обратную функцию

г)

при на интервале найдется хотя бы одна точка , в которой функция обращается в нуль.

д)

на интервале найдется хотя бы одна точка , в которой .

Пределы. Практические задания.

Функция удовлетворяет условиям , . Указать способ задания функции.

а)

б)

в)

г)

д)

Чему равен предел ?

Чему равен предел ?

Чему равен предел ?

Чему равен предел ?

Чему равен предел ?

Чему равен предел ?

Чему равен предел ?

Чему равен предел ?

Чему равен предел ?

Чему равен предел ?

Чему равен предел ?

Чему равен предел ?

Чему равен предел ?

Чему равен предел ?

Чему равен предел ?

Исследовать на непрерывность функцию .

Дифференциальное исчисление. Теоретические вопросы.

Выберите правильное определение производной функции.

а)

б)

в)

г)

д)

Выберите верный вид формулы касательной к графику функции в точке .

По каким формулам вычисляются в точке , если функции являются дифференцированными в этой точке?

По какой формуле вычисляется производная сложной функции , если функция имеет производную в точке , а функция – в точке ?

По какой формуле вычисляется производная обратной функции в точке , если в точке функция имеет производную ?

Определить, по каким формулам вычисляются производные функций: 1); 2); 3); 4), где .

Определить, по каким формулам вычисляются производные функций: 1); 2); 3); 4), где .

Определить, по каким формулам вычисляются производные функций: 1); 2); 3) ; 4), где .

По какой формуле вычисляется дифференциал 1-го порядка функции ?

Дать определение дифференциала функции порядка , т.е. .

Какому условию удовлетворяет производная в точке , если:

1) функция непрерывна на ;

2) функция дифференцирована на ;

3) ?

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то на интервале найдется такая точка , что имеет место формула…(вставить пропущенные слова)

Теорема Коши. Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале , причем для всех . Тогда найдется такая точка на этом интервале, что имеет место формула…(вставить пропущенные слова)

Выберите верный вид формулы Лопиталя, если и в окрестности точки .

Выберите верное поведение функции , являющейся дифференцируемой на интервале и на .

Пусть – точка локального максимума функции . Какое неравенство выполняется для всех из некоторой -окрестности точки ?

Пусть функция имеет в точке локальный экстремум и дифференцируема в этой точке. Указать необходимое условие локального экстремума функции.

Пусть функция дифференцируема в некоторой -окрестности точки и пусть . Указать достаточное условие локального экстремума функции по первой производной.

Пусть функция имеет непрерывную вторую производную в окрестности точки . Указать достаточное условие локального экстремума функции.

В каком случае график функции имеет на выпуклость, направленную вниз (функция является вогнутой)?

Указать необходимое условие существования точки перегиба графика функции .

В каком случае прямая называется вертикальной асимптотой графика непрерывной функции ?

Прямая является наклонной асимптотой непрерывной кривой при . По каким формулам вычисляются значения и ?

Дифференциальное исчисление. Практические задания.

Вычислить производную функции .

Вычислить производную функции .

Вычислить производную функции .

Вычислить производную функции .

Вычислить производную функции .

Найти производную функции, заданной параметрически , , при .

Какие из приведенных пределов можно вычислить только по правилу Лопиталя?

а)

б)

в)

г)

д)

Найти предел , используя правило Лопиталя.

Найти предел , используя правило Лопиталя.

Найти предел , используя правило Лопиталя.

Найти предел , используя правило Лопиталя.

Найти предел , используя правило Лопиталя.

Найти уравнение наклонной асимптоты графика функции .

Найти интервал(ы) убывания графика функции .

Найти интервал(ы) возрастания графика функции