Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

RjadyGridasovaPopovaSeljakova

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

301.79 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Задача 9. Вычислить сумму ряда с точностью до 10−2.

∞

n+1 1

∞

n 2n+1

∞

(−1)nn2

−

3n2

n3(n+1)

−

(−1)

∞

( 1)n

∞

( 1)nn

−

n=1

−5

n=1

3n!

n=1

∞

( 1)n

∞

( 1)n2n

∞

( 1)n

10.

11.

12.

n −

−

n=1

(2n)!2n

n=1

(n+1)

n=1

(2n)!!

∞

( 1)n

∞

( 1)nn2

∞

( 1)n

13.

14.

15.

−

n=1 4 (2n+1)

n=1

n=1 n!(2n+1)

∞

( 1)n

∞

( 1)n

∞

( 1)n

n=1 (2n+1)!!

n=1 (n+1)

n=1 (2n)!!

Задача 10. Применяя теорию рядов доказать, что limn→∞ an = 0.

1. an

2. an =

3. an

(2n)!

(n!)

(2n+1)!

4. an

(3n)n

5. an = 2

6. an

(2n+1)!!

(2n−1)!

7. an =

(n+3)!

8. an =

(4n)!

9. an =

(5n)!

2n2

(2n)!

(2n−1)!!

2(n2)!

((n+1)!)2

13.

an =

14.

an =

(5n)n

15.

an =

(2n)!

(2n+3)!

(2n+1)!

2(n2)!

Задача 11. Найти предельную функцию f (x) последовательности {fn(x)} на множестве E

1. x+3n+2 , E = [0, +∞)

2. 1+n2x2 , E = R

nx2

3. n x n − x 2n

, E = (0, +∞)

4. n

x2 + n

− x ,

E = (0, +

)

∞

√nx, E

6. x4

= [0

+∞)

, E

= (0

+∞)

x2+n2 arctg

cos nx

∞

E = [0, +∞)

n 1 + xn +

n, E = [0, + )

arctg √

nx,

x +n

n2x2

sin

√

, E = [1, +

)

10.

x2 + n , E = R

1+n2x4

. ln 1 + √n+x

, E = [0, +∞)

x+3n+2 , E = [0, +∞)

cos nx

∞

qnx2

Задача 12. Исследовать на равномерную сходимость последовательность

{fn(x)} на E1 и E2

nx2

, E1 = [0, 1], E2

= [1, + )

2x4

1+n

)

∞

ln(xn

, E1 = (0, 1), E2

= (1, +∞)

n2x

√

x+ n + 1, E1 = (0, 1), E2 = (1, +∞)

, E1 = (0, 2), E2

= (0, + )

∞

+ )

∞

1 +

, E = (0, 1), E = (1,

√

∞

x n

, E1 = (0, δ), E2 = [δ, +

), δ > 0

3+4xn2

7. n arctg(x ), E1 = [1, 0), E2 = (0, δ), 0 < δ < 1

1+ln nx

, E1 = (0, 1), E2

= (1, +∞)

1+−x

= (0,

9. ln x + n

, E1

+ ), E2 = (a, + ), a > 0

10.

arctg 1

, E = 0,

∞

, E

1 , 1

∞

n2x

−

= (1, +

11.

arctg(2nx)

arctg(nx), E

= (0, 1), E

)

12.

ln(

)

, E1

= (0, 1), E2 = (1, +∞)

n2x

Задача 13. Исследовать ряд на сходимость (абсолютную, неабсолютную)

∞ e−nx

P n2

2 −3

n=1

∞

n=1

√

∞

− 2)

n=1 sin n2+1

∞

4−

10.

P 3 +

11.

n=1

Задача 14. Пользуясь признаком

ную сходимость ряд на множестве

∞

1. P xn2 , E = [−1, 1]

n=1 n

∞

3. P e−n6x2 sin nx, E = R

∞

n x

∞

2√

n=1 n

n=1 n2+4

x − 1e−

∞

n x

∞

n x

P ln

sin

n(n+1)

n=1

∞

n x

∞

e−

sin nx

n2+4

n=1

∞

n x

∞

12.

e n − 1

Вейерштрасса исследовать на равномер-

	∞		x2
2.	P				, E = R
2.	P	3	3		, E = R
	n=1	1+	n 2 x2
4.	∞			n2x		, E = (1, +∞)
4.	P n e−					, E = (1, +∞)

11.

n=1

sin2(2nx)

∞

, E

n=1

√n4+x2

∞

n ln(1+nx)

, E = [2, +∞)

−

n=1

∞

(x 1)n

, E = 0,

n√n+x

n=1

(3n+1)3n

, E = [−1, 3]

∞

(3x)n

n=1

n=1
∞	n arctg(2n2x)
P	√n7	+n+x		= [0		+∞)
n=1	√n7	+n+x		= [0		+∞)
6.	3		, E		,

∞

8. P sin nx , E = [0, +∞)

n=1 1+n8x3

∞

10. P (x+2)n , E = [0, +∞)

√

n=1

n3+x4

∞

12. P n3e−n2x, E = (1, +∞)

n=1

∞

Задача 15. Исследовать на непрерывность f (x) = P fn(x) в области опре-

деления	n=1

∞

lnn x

n=1

∞

P x3e−

n=1

arcsin

n2+x4

∞

n=1

∞

sin

10.

n=1

n2 ln2

(n+1)

∞

arctg nx

+ n

n=1

√n4+x2

∞

xe−

n2x

∞

n2x2

cos nx

e−

n=1

∞

(cos nx)n

−

n2+x2

n=1

n 2

∞ (

1)n

∞

xe−

n2x

n+x2

n=1

Задача 16. Провести полное исследование поведения степенного ряда: найти радиус сходимости, интервал сходимости, поведение на концах интервала

n=1 q

n=1

∞

(x + 2)

−1

n +4n

√n

∞

(x+1)

∞ 5 +(

−

3 (n3

1)2

+ 2)(x

1−

n=1

√n+1

3n+2

n=1

n+1

∞

3−

−

n=1

n=1 2n+3

1+x

∞

√

∞

(x − 1)

(

− 1)x , a > 0

−

n2+n+1

√a

∞

(x 1)n

−

n n

−

3−

n=1

− n

n=1

∞

(2n

1)!!

∞

√

(x + 2)

n=1

+n+1

n=1

Задача 17. Разложить f (x) в ряд Тейлора по степеням (x−x0) и найти радиус сходимости полученного ряда

1.	ln(1 − x2), x0 = 0									2.	ln(4 + 3x − x2), x0 = 2
3.	ln(4 + x2), x						0	= 0		4.	ln(2x + 3), x				0		=		−		1
							0				1				0				−
5.	ln(2 + x3), x0 = 0									6. 2			, x0	= −1
5.	ln(2 + x3), x0 = 0									6. 2		3x−1	, x0	= −1
7.	ln(x2 + 5x + 6), x0 = 0									8.	sin x cos 3x, x0 = 0
					0											0
9. x ln 1 +				x3			, x0 = 0			10.		2−x+x32 , x0 = 0
		2 x−2	3									(1−x)
11.			, x			=		−	2	12.		sin x cos x, x						=		π
11.			, x			=			2	12.		sin x cos x, x						=
		x +4x+8																	6

Задача 18. Разложить f (x) в ряд Тейлора по степеням (x−x0) и найти радиус сходимости полученного ряда

1.				1			, x			0	= 0			2.				1		, x			0		= 0
	x2+7x+12															3
																3			x3
																√			x3
			1									1			1+										3		−		8x
3.			1			, x0 =						1		4. f (x) =											3				8x	, x0	= 0
3.	2					, x0 =						2		4. f (x) =								6x			2					, x0	= 0
	x +4x+3											2										6x				−		5x+1
		x2														2	x									−
5.					, x			=			−		1	6.		2		−3		, x				= 1
5.					, x			=					1	6.				−3		, x				= 1
	√1 2			2x			0									√3x+4							0
		−													√3
7		x												8
7	(1+x)2 , x0 = 0													8				1 − 4x, x0 = 0
.	(1+x)2 , x0 = 0													.				1 − 4x, x0 = 0
9.	√			1					, x0 = 6					10.			sin 3x, x0 = π4
9.	√	x2			x				, x0 = 6					10.			sin 3x, x0 = π4
			−12 +40																1
11. x ln x, x0 = 4														12.							, x0 = 0
11. x ln x, x0 = 4														12.			1−x−x2				, x0 = 0

I. Числовые ряды

1. Основные понятия

Определение 1. Числовым рядом называют выражение

∞
X	(1)
a1 + a2 + . . . + an . . . = an,	(1)

n=1

числа an называются членами ряда.

Определение 2. Sn = a1 + a2 + . . . + an называется n-ой частичной суммой ряда.

Определение 3. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм Sn ряда (1), то ряд (1) называют сходящимся, а

lim S	n	= S называют суммой ряда. Если lim S		n	=	∞	или не существу-
n→∞	n		n→∞	n		∞
ет, то ряд (1) называют расходящимся.
			∞
Определение 4. Ряд			P ak называется n-м остатком ряда (1) или

k=n+1

остатком после n-го члена и обозначается rn.

Существует следующая взаимосвязь между сходимостью ряда (1) и сходимостью его остатков rn

Теорема 1. Если ряд (1) сходится, то lim rn = 0.

n→∞

Теорема 2. Для того, чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы при n сходился его остаток

∞
X	(2)
rn = ak	(2)

k=n+1

Теорема 2 дает возможность при исследовании вопроса о сходимости ряда (1) вместо него исследовать на сходимость ряд (2).

∞∞

Определение 5. Ряд cn = (an ± bn) называется алгебраической

n=1 n=1

∞	∞	∞	∞	∞
P	P	∞	P	P
суммой рядов n=1 an и n=1 bn,		а ряд n=1 dn = n=1 c · an, где c = const, назы-
вается произведением ряда		P	an на число с.
вается произведением ряда			an на число с.
		n=1
Взаимосвязь между сходимостью этих рядов выражает теорема 3.
∞	∞		∞	∞
∞	P	P		P

Теорема 3. Если ряды an и bn сходятся, то ряды (an ± bn) и

n=1 n=1 n=1

c · an также сходятся.

n=1

Пример 1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму:

1	+	1	+ . . . +	1	+ . . .

1 · 4		4 · 7		(3n − 2) · (3n + 1)

Решение. Воспользуемся определением 3 сходимости ряда и суммы ряда. В данном случае

Sn =	1	+	1	+ . . . +	1

	1 · 4		4 · 7		(3n − 2) · (3n + 1)

представляет сумму n слагаемых, и сразу найти lim Sn не позволяют правила

n→∞

нахождения пределов. Преобразуем Sn, представив общий член ряда в виде

1	=	A	+	B	,

(3n − 2) · (3n + 1)		3n − 2		3n + 1

где A и B постоянные (n = 1, 2, . . .), которые нужно определить. Приводя правую часть равенства к общему знаменателю и приравнивая числители, получим

1 = A · (3n + 1) + B · (3n − 2).

Откуда вытекает, что

A − 2B = 1

A =

3 , B = −3

3A + 3B

(3n − 2)(3n + 1)

= 3

3n − 2 −

3n + 1

т.е.

= 3

1 − 4

, a2 = 3

4 −

= 3

3n − 2

− 3n + 1

, . . . , an

Поэтому Sn можно записать так:					7	− 10		+ . . . +	3n − 2 −			3n + 1
Sn = 3 1 −	4	+ 4 −	7	+	7	− 10		+ . . . +	3n − 2 −			3n + 1
1	1	1	1		1	1			1			1
									=	1	−	1

										3		3(3n + 1)
Теперь легко находим сумму заданного ряда:							3n + 1		= 3
		n→∞		n = n→∞		3 −	3n + 1		= 3
		S = lim S			lim	1		1	1
		S = lim S			lim

Итак, данный ряд сходится и имеет сумму S = 13 .

Заметим, что нахождение суммы ряда как предела частичных сумм часто вызывает весьма существенные затруднения, но если удается выяснить вопрос о сходимости ряда, то сумму ряда можно вычислить приближенно с любой степенью точности, заменяя ее частичной суммой Sn.

2.Условия сходимости числовых рядов

1.Критерий Коши. Для того, чтобы ряд		∞	an сходился, необходимо
1.Критерий Коши. Для того, чтобы ряд			an сходился, необходимо
		n=1
	последовательность его частичных сумм			{Sn}
и достаточно, чтобы		P		{Sn}

была фундаментальна, т.е. чтобы ε > 0 K(ε), что n > K и p- натурального выполнялось неравенство:

| Sn+p − Sn |=| an+1 + an+2 + . . . + an+p |< ε.

∞

2.Необходимое условие сходимости ряда. Для того, чтобы ряд P an

n=1

сходился, необходимо, чтобы выполнялось равенство lim an = 0.

n→∞

Заметим, что необходимое условие сходимости часто используется для установления расходимости ряда. Для этого достаточно установить, что общий член ряда an не стремится к нулю. Установить же сходимость ряда, используя необходимое условие, невозможно, так как существуют ряды, у которых общий член стремится к нулю, тем не менее они расходятся.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

+ r

+ . . . + r

+ . . .

n + 1

n + 2

Решение. Находим

n→∞ n

n→∞ r n + 1

= n→∞ q

1 +

lim a

= lim

n + 2

lim

1 + n2

= 1 = 0 .

Седовательно, необходимое условие сходимости ряда не выполняется и ряд расходится.

2.1. Исследование сходимости положительных рядов

Наиболее просто критерий сходимости формулируется для так называемых положительных рядов.

∞

Определение 6. Ряд an называется положительным если при n :

n=1

an ≥ 0

2.1.1. Критерий сходимости положительных рядов

∞

Для того, чтобы положительный ряд P an сходился, необходимо и до-

n=1

статочно, чтобы последовательность его частичных сумм {Sn} была

ограничена.

Используя этот критерий, получают удобные признаки сходимости положительных рядов.

2.1.2. Признак сравнения. (Различные формулировки).

2.1.2 (а) Признак сравнения с мажорантным рядом. Пусть n вы-

∞	∞
∞	P ∞
полняются неравенства 0 ≤ an ≤ cn. Тогда ряд n=1 cn		называют мажо-
P	P
рантным для ряда	an. Из расходимости ряда	an следует расхо-
n=1	n=1

димость любого мажорантного ряда.

Этому признаку можно дать более общую формулировку, используя O- символику (символы Ландау). Напомним важнейшие определения этой символики применительно к последовательностям {an}.

Определение 7. Будем говорить, что an ограничена по сравнению с bn

и писать an = O(bn) при n → ∞, если C > 0 и K такое, что n > K выполняется неравенство | an |≤ C | bn | .

Определение 8. Будем говорить, что an одного порядка с bn и писать an = O (bn) при n → ∞, если an = O(bn) и bn = O(an), то есть C1 > 0,

C2 > 0 и K, что для n > K выполняется неравенство

C1 | bn |≤| an |≤ C2 | bn | .

Достаточное условие. Если lim an = c 6= 0, то an = O (bn) при n → ∞.

n→∞ bn

Определение 9. Если lim an = 1, то an и bn будем называть эквива-

n→∞ bn

лентными и писать an bn при n → ∞.

Заметим, что если an bn, то an = O (bn), а значит an = O(bn) при n → ∞.

Определение 10. Если lim an = 0, то говорят, что an - бесконечно

n→∞ bn

малая более высокого порядка чем bn и пишут an = o(bn) при n → ∞.

2.1.2 (б) Общий признак сравнения. Если an и bn положительны и

∞

an = O (bn) при n → ∞, то P an сходится тогда и только тогда,

n=1

∞

когда сходится bn, то есть они либо оба сходятся, либо оба расхо-

n=1

дятся.

Для использования признака сравнения нужно иметь достаточный запас рядов, сходимость (или расходимость) которых известна. В качестве таких рядов часто берут геометрический ряд и обобщённый гармонический ряд.

∞

Определение 11. Числовой ряд P qn называется геометрическим. Он

n=1

сходится при | q |< 1 и расходится при | q |≥ 1.

Определение 12. Числовой ряд P n1p называется обобщенным гармоническим рядом. Он сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1. При p = 1 обобщенный гармонический ряд называют гармоническим.

Применяя обобщенный признак сравнения с обобщенным гармоническим рядом, получают очень удобный признак сходимости.

2.1.2 (в) Признак сравнения со степенью.				Если an = O	1		, n → ∞
2.1.2 (в) Признак сравнения со степенью.				Если an = O	np		, n → ∞
1			∞
	1		P	∞
(в частности, an np ),	то при		ряд			при		p ≤ 1
(в частности, an np ),		p > 1	n=1 an сходится, а					p ≤ 1

расходится. Если an = o np при p > 1, то ряд an сходится.

n=1

При использовании признака сравнения со степенью очень полезными оказываются следующие эквивалентные последовательности (эквивалентность их была установлена в первом семестре).

Пусть {αn} - бесконечно малая последовательность (в частности αn = n1p , p > 0). Тогда при n → ∞ справедливы соотношения

sin αn

α ,

arcsin αn

αn ,

tg αn

αn ,

αn2

αn

arctg αn

αn ,

−

cos αn

−

αn

ln a ,

eαn − 1 αn , (1 + αn)

αn · µ

Полезны также сравнения роста показательной и логарифмической функции со степенной функцией:

ln np = o (nα) при n → ∞ p > 0 и α > 0; np = o (an) при n → ∞ p > 0 и a > 1.

∞

Пример 3. Исследовать сходимость ряда P 2n · sin 31n .

n=1

∞

Решение. Так как an = 2n · sin

2n ·

при n → ∞, а ряд n=1 32

−

сходится как геометрический, то по общему признаку сравнения сходится и

∞

· sin 31n .

ряд n=1

∞

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

√

n+1

n=1

Решение. Так как an =

, (потому что

= O

lim

1/2

√n+1

n∞

n→∞ √

√

∞

lim

√

= 1),

а ряд

расходится, то и

√

расходится.

n1/2

n+1

→∞

n=1

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

∞ ln (n+1)

√

n=1

ln (n+1)

Решение. Так как ln (n + 1) =

o(n ) при p

0, то an =

√

при p > 0, значит и при p < 1/4, но 5/4 − p = α > 1 и тогда

n5/4−p

an = o

при α > 1. По признаку 2.1.2(в) ряд сходится.

2.1.3.

Признак Даламбера.

Если ряд

∞

строго положителен и lim

an +1 = L, то при L < 1 этот

n=1

n→∞

о сходимости ряда

ряд

сходится, при

L > 1

расходится, при

L = 1

ничего сказать нельзя, признак неприменим.

2.1.4.

Признак Коши.

Если ряд

∞

положителен и lim √an = q, то при q < 1 ряд сходится,

n=1

n→∞

расходится, при

q = 1

признак не работает.

при q > 1 P

2.1.5. Интегральный признак Коши.

Если функция f (x) на [1, +∞) неотрицательна и монотонно убыва-

∞

ет, то ряд P f (n) сходится тогда и только тогда, когда сходится

n=1

R1∞ f (x)dx.

∞

Пример 6. Исследовать сходимость ряда P 3n ·n!

n=1

Решение. Здесь удобнее воспользоваться признаком Даламбера:

lim	an+1	= lim	3n+1 n!		3n n!	= lim	3(n + 1) nn
			(n + ·1)n	:	n·n		(n + 1)n·+1 =
n→∞	an n→∞					n→∞

lim

3 · nn

= lim

> 1

n→∞ (n + 1)

n→∞ 1 + n1

Так как L = lim

> 1, то ряд

расходится

an+1

n→∞ an

Пример 7. Исследовать сходимость ряда

+ . . .

2n − 1

n + 1

Решение. Общий член ряда an

n+1

здесь легко найти lim √an,

2n−1

n→∞

Коши:

поэтому удобно воспользоваться признаком

√ n

2n 1 = 2

2n 1

→∞

−

→∞

−

lim

n a

= lim

n + 1

= lim

n + 1

< .

Ряд сходится.

Пример 8. Исследовать сходимость ряда

+ . . .

(n + 1)ln5(n + 1)

2ln52

3ln53

Решение. Признаки Даламбера и Коши здесь не дают ответа на вопрос о сходимости ряда. Члены ряда положительны и монотонно убывают. Поэтому естественно попытаться применить интегральный признак.

Рассмотрим функцию f (x) = 15 , x [1, +∞) f (x) ≥ 0, и мо-

(x+1)ln (x+1)

нотонно убывает, f (n) = an. Согласно интегральному признаку сходимость

∞∞

ряда

an =

(n+1)ln5(n+1) определяется сходимостью несобственного ин-

n=1

∞

n=1

теграла

(x+1)ln5

(x+1) . По определению несобственного интеграла

∞

ln−4(x + 1)

= b→∞ Z

(x + 1)ln5(x + 1)

b→∞

4ln42

= lim

−

lim

Несобственный интеграл сходится, следовательно и ряд сходится.

2.2. Исследование сходимости рядов с произвольными членами

∞

Рассмотрим ряд P an, у которого знаки членов an изменяются при изме-

n=1

нении номера. Такие ряды называются знакопеременными. Если ряд имеет конечное число членов одного знака, а остальные члены другого знака, то,

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.07.201923.48 Кб3remont_i_vybytie.docx
#
16.03.201613.35 Кб14Render the article making use of the following scheme.docx
#
20.12.2018123.9 Кб1RE_50_voprosov.doc
#
24.11.20191.57 Mб2Richna_informatsiya_emitenta_tsinnikh_paperiv_z...rtf
#
13.04.201535.61 Кб21ritorika.docx
#
13.04.2015301.79 Кб8RjadyGridasovaPopovaSeljakova.pdf
#
07.11.2018431.1 Кб2robocha_programa_uchbovovyi_distsiplini_Zahist.doc
#
16.03.2016112.2 Кб5RP_SOTsIOLOGIYa_Zhurnalistika (1).docx
#
16.03.201628.71 Mб74Russkaya_memorialnaya_skulptura.docx
#
08.05.2015311.81 Кб7Rus_NHL.pdf
#
06.12.2018688.13 Кб4RU_Тезисы лекций прокурорский надзор в Украине.doc