Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Практикум по высшей математике_часть 1.pdf

Скачиваний:

211

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

6.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

В обоих случаях вершина параболы, т.е. точка, лежащая на оси симметрии, находится в начале координат.

Парабола y	2	= 2 px		p				p
			имеет фокус	F		,0	и директрису х = −		, фокаль-
					2			2

ный радиус – вектор точки ее M (x, y) равен r = х+ 2p .

	2					p		p
Парабола x		= 2 py	имеет фокус	F	0,		и директрису y = −		, фокаль-
								2
						2

ный радиус – вектор ее точки M (x, y) равен r = у + 2p .

Примеры решения задач

Пример 1.17. Найти координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением x2 + y2 − 2x + 4 y − 4 = 0 .

Решение. Выделив полный квадрат, преобразуем исходное уравнение:

(x2 − 2x +1) + ( y2 + 4 y + 4) −1− 4 − 4 = 0 или (x −1)2 + ( y + 2)2 =9 .

Таким образом, центр окружности находится в точке (1, −2)						и ее радиус
R = 9 = 3 .
Пример 1.18. Найти параметры					эллипса, заданного	уравнением
3x2 + 4 y2 =12 и его эксцентриситет.
Решение. Преобразуем данное уравнение, разделив обе части равенства
на 12:
	х2	+	у2	=1.
4		+	3	=1.
4			3
Отсюда следует, что a = 2, b = 3 , с =					4 −3 =1, ε = 1 .
					2

Пример 1.19. Найти эксцентриситет и параметры гиперболы, заданной уравнением 3x2 − 4 y2 =12 . Найти уравнение асимптот гиперболы.

Решение. Разделив обе части равенства на 12, приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:

	х2	−		y2	=1.
	4	−		3	=1.
	4			3
Тогда a = 2, b = 3 , с = 4 +3 = 7 и ε =						7	и уравнение асимптот ги-
Тогда a = 2, b = 3 , с = 4 +3 = 7 и ε =						2	и уравнение асимптот ги-
	3х					2
перболы у = ±	3х		.
перболы у = ±			.
	2

Пример 1.20. Определить координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением y = x2 .

Решение. Сравнивая исходное уравнение с каноническим уравнением

x2 = 2 py , получим 2 p =1 или					p =	1	. Следовательно, фокус параболы находит-
			1			2		1
ся в точке		0,		, а уравнение директрисы есть у = −					.
	F		4					4

Задания для самостоятельного решения

1.108.Написать уравнение окружности с центром в точке C(−4,3) , радиу-

сом R =5 . Построить эту окружность.			Лежат ли на этой окружности точки
A(−1,−1), B(3,2), O(0,0) ?
1.109.Дана точка A(−4,6) . Написать уравнение окружности, диаметром
которой служит отрезок ОА.
1.110.Найти центр и радиус окружности:
1) x2 + y2 − 4x + 6 y −3 = 0 ;		2) x2 + y2 −8x = 0 ;			3) x2 + y2 + 4 y = 0 .
Сделать чертеж.				x2 + y2 +5x = 0 и прямой
1.111.Найти точки пересечения окружности
x + y = 0 . Сделать чертеж.
1.112.Найти	центр,	радиус	и	построить		окружность:
1) x2 + y2 −6x + 4 y − 23 = 0;		2) x2 + y2 +5x −7 y + 2,5 = 0;
3) x2 + y2 + 7 y = 0.

1.113.Даны точки A(−3,0) и B(3,6) . Написать уравнение окружности,

диаметром которой служит отрезок АВ.

1.114.Составить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых 2x + y −5 = 0 , 2x + y +15 = 0 , причём одной из них – в точке A(2;1) .

1.115.Найти уравнение окружности, проходящей через точку A(−1;5) и касающихся двух пересекающихся прямых 3x + 4 y −35 = 0 , 4x +3y +14 = 0 .

1.116.Написать каноническое уравнение эллипса x2 + 4 y2 =16 , найти его

фокусы и эксцентриситет.

1.117.Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что: 1) расстояние между фокусами равно 8 , а малая полуось b =3; 2) большая полуось a = 6 , а эксцентриситет ε = 0,5.

1.118.Найти малую полуось b и эксцентриситет эллипса, имеющего

большую полуось a =5 и параметр c , равный:
1) 4,8;	2) 4;	3) 3;	4) 1,4;	5) 0,5.
Построить каждый из эллипсов.
1.119. Эллипс,		симметричный	относительно осей координат, проходит

через точки M (2; 3) и В(0;2) . Написать его уравнение и найти расстояние от точки М до фокусов.

1.120.Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ox проходит через точку М(−4; 21) и имеет эксцен-

триситет, равный 34 . Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиус-

векторы точки M .

1.121.Составить уравнение эллипса, имеющего общие фокусы с гипербо-

лой x2 −2 y2 = 24 , если эксцентриситет его равен 53 .

1.122.Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки M (2 3; 6) и A(6;0) . Написать уравнение эллипса, найти его экс-

центриситет и расстояния от точки M до фокусов.

1.123.Вычислить площадь четырёхугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса x2 +5y2 = 20 , а две другие совпадают с концами его малой оси.

1.124.Определить точки эллипса 9x2 + 25y2 =900, расстояние от которых до правого фокуса равно 14.

1.125.Построить гиперболу x2 − 4 y2 =16 и ее асимптоты. Найти фокусы,

эксцентриситет и угол между асимптотами.

1.126.Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что: 1) расстояние между фокусами 2с =10 , а между вершинами 2a =8 ; 2) вещественная по-

луось a = 2 5 , а эксцентриситет ε = 1,2 .

1.127.Гипербола, симметричная относительно осей координат, проходит через точку М(6;−2 2) и имеет мнимую полуось b = 2 . Написать ее уравнение

и найти расстояния от точки M до фокусов.

1.128.Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а

фокусы – в вершинах эллипса х2 + у2 =1. 25 9

1.129.На гиперболе x2 − 4 y2 =16 взята точка M с ординатой, равной 1. Найти расстояние от точки M до фокусов гиперболы.

1.130.Найти точки пересечения асимптот гиперболы x2 −3y2 =12 с ок-

ружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.

1.131.Дана точка M1(10;− 5) на гиперболе x2 − y2 =1. Составить урав80 20

нения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки M1 .

1.132.Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами ги-

перболы	x2	−	y2	=1	и прямой 9x + 2 y − 24 = 0 .
	4		9

1.133.Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояния от одной из ее вершин до фокусов равны 9 и 1.

1.134.Найти расстояние от центра окружности x2 + y2 + 6x + 2 y −5 = 0 до асимптот гиперболы 9x2 −16 y2 =144 .

1.135. Построить параболы, заданные уравнениями:

1) y2 = 4x ;

2) y2 = −4x ;

3) x2 = 4 y ; 4) x2 = −4 y .

Также построить их фокусы и директрисы.

1.136. Написать уравнение параболы: 1) проходящей через точки (0,0) и (1,−3) и симметричной относительно оси Ox ; 2) проходящей через точки (0,0) и (2, −4) и симметричной относительно оси Oy .

1.137.Дана вершина параболы A(6;−3) и уравнение ее директрисы 3x −5y +1 = 0 . Найти фокус F этой параболы.

1.138.Составить уравнение прямой, которая касается параболы x2 =16 y и перпендикулярна к прямой 2x + 4 y + 7 = 0 .

1.139.Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F (0,2) и от прямой y = 4 . Найти точки пересечения этой кри-

вой с осями координат. Сделать чертеж.

1.140. Найти каноническое уравнение кривой второго порядка, построить эту кривую, ее вершины, фокусы, если известно:

1) b =5,ε = 2 ; 2) c = 6, a = 4 ;						3) c = 2, ε = 7 ; 4) a =8, b = 4, c < a .
1.141.Перенесением начала координат упростить уравнения:
1)	(х− 2)2	+ ( у +1)	2	=1;	2)	(х+3)2	+	( у −1)2	=1;
	4					9		4

3) ( у + 2)2 = 4(х−3);					4) 2 у = −(х+ 2)2 ;
5) х2 + 4 у2 −6х+8у = 3;					6) у2 −8у = 4х;
7) х2 − 4 у2 +8х− 24 у = 24;					8) х2 + 6х+5 = 2 у.

Построить новые и старые оси координат и кривые. 1.142.Поворотом осей координат на 450 , упростить уравнения:

1) 5х2 −6ху +5у2 =32;		2) 3х2 −10ху +3у2 +32 = 0.
1.143.Какие кривые описываются следующими уравнениями:
1) x2 + 2 y2 + 2x −8y +5 = 0;		5) 2x2 + 2 y2 −3x − 4 y −10 = 0 ;
2)	3x2 − 4 y −12x = 0 ;	6) 2x2 − 2 y2 + 2x = 0 ;
3)	3x2 − 4 y2 −12x = 0 ;	7) y2 + 2 y − 4x +9 = 0 ;
4)	3x2 + 4 y2 −12x + 24 = 0 .

1.144. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от начала координат и от прямой x = −4 . Найти точки пересечения этой кривой с осями координат и построить ее.

1.145. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F (2,0) и от прямой y = 2 . Найти вершину кривой, точки пере-

сечения ее с осью Ox и построить ее.

Задания для индивидуальной работы № 3

Задание 3.1. Составить уравнение эллипса, найти его фокусы, эксцентриситет, сделать чертеж (см. табл. 3.1).

Таблица 3.1

Номер				Номер
варианта				варианта
1	a =3, c =1			16	b =8, c = 2
2	b = 4, c = 6			17	b =5, c =3
3	a = 6, ε =		1	18	c =8, ε =	3
			3			4
4	c = 6, ε =		1	19	a = 4, ε =	1
			3			2
5	c =5, ε =		1	20	b =8, ε =	1
			4			2
6	a =5, c = 2			21	b = 4, c =1
7	b =5, ε =		1	22	a =5, ε =	1
			3			4
8	a = 6, c = 2			23	a = 6, c = 2
9	c = 7, ε =		2	24	c = 4, ε =	1
			3			5
10	b =3, c =1			25	b = 7, ε =	1
						7
11	c =1, ε =		1	26	a =5, c =1
			3
12	a = 4, c =1			27	b = 6, c =3
13	b =5, c =3			28	b = 6, ε =	2
						5
	a =5,	c =1				3
14	a =5,	c =1		29	a = 4, ε = 4
14				29	a = 4, ε = 4
15	c = 2,	ε =	2	30	b =10, ε = 5
			3			7

Задание 3.2. Составить уравнение гиперболы, найти ее фокусы, эксцентриситет, асимптоты, сделать чертеж (см. табл. 3.2).

			Таблица 3.2

Номер		Номер
варианта		варианта
1	c =5, а =3	16	b = 4, а = 6
2	c = 4, а =1	17	с = 2, а =1
3	b = 2, а =5	18	c = 6, а =5

Окончание табл. 3.2

4	а = 2, ε =	7	19	b =3, ε =	9
		2			2
5	c =3, ε =	5	20	а =5, ε =	3
		3			2
6	а =5, ε =17		21	b =3, ε =	3
		3			2
7	а =1, ε =	4	22	c = 2, ε =	7
		3			2
8	c = 2, ε =	3	23	b = 4, ε =	5
		2			2
9	c = 2, ε =	7	24	а =1, ε =	7
		3			3
10	b = 2, ε =	5	25	c =3, ε =	9
		4			2
11	c =5, а =1		26	c =3, а = 2
12	а = 4, ε =	7	27	b = 2, ε =	5
		3			2
13	c =3, ε =	5	28	а =3, ε =	5
		3			3
14	c = 4, а =3		29	b =5, а =9
15	b =1, ε =	3	30	c =3, ε =	7
		2			2

Задание 3.3. Определить, какие линии задаются следующими уравнениями (см. табл. 3.3). Построить эти линии.

Таблица 3.3

Номер
варианта
1	x2 − 4x −5 = y			2x2 + y2 −2 = 0
2	y2 + xy = 0			x2 + y2 −10x = 0
3	x = 2 y 2 −12 y +14			x2 + y2 + 6 y = 0
4	x2 = 2 − y			x = 2 − 6 − 2 y
5	y = −x	2	+ 4x	y	= − − −	3x	−	21


					5
6	y2 = 6x −12			16x2 −9 y2 +8x −18y =144
7	y 2 + 4 y − 2x + 2 = 0			x2 − y2 + 2x −6 y = 0 .
8	x2 + 6xy +9 y 2 =16			x2 + y = 2x
9	x2 + y2 − 4x + 2 y + 6 = 0			3x2 + 4 y2 + 24x −12 y −12 = 0
10	x2 + y2 −8x = 0			x = −4 y 2 + y

										Окончание табл. 3.3

11	y = −1 +			2	x2 − 4x −5			16x2 +16 y2 + 48x −8y − 43 = 0
				3
12	y = −7 +			2	x2 −6x +13			x2 + y2 + 2x − 4 y = 0
				3
13	x =9 − 2 y2 + 4 y +8							8x2 + 4 y2 +16x −32 y =32
14	x =		5 − 2	y2 + 4 y −12				y = −1 x2 + 2x −7
			3					6
15	y = −7 +			2	16 + 6x − x2			x2 + y2 −10x −14 y −151 = 0
				5
16	y =		1 − 4	−6x − x2				y = 4x2 −8x + 7
			3
17	x = −2 −5 − yx − y2							x2 + y2 −6x +12 y −35 = 0
18	x = −5 +			2	8 + 2 y − y2			x2 + y2 + 2x − 2 y − 23 = 0
				3
19	y =		9 − х2					9x2 −16 y2 +90x +32 y −367 = 0
20	y =15 −			64 − х2				16x2 −9 y2 −64x −54 y −161 = 0
21	y = − 25 − х2							x2 +9 y2 −6x − 27 = 0
22	х	= − −		9	−	у	2	9x2 −16 y2 −54x −64 y −127 = 0
	х		2	9		у
23	х = − 4 − у2							9x2 + 4 y2 +18x −8y + 49 = 0
24	х	= − +		9	−	у	2	4x2 − y2 +8x − 2 y +3 = 0
	х		2	9		у
25	х = + 16 − у2							2x2 +3y2 +8x −6 y +11 = 0
26	y = −3 −			21 − 4х− х2				4x2 −9 y2 − 40x +36 y +100 = 0
27	y =15 + 64 − х2							4x2 +16 y2 − 4x +8y −7 = 0
28	х = −5 + 40 −6 у − у2							1	2
								y = 4 x		+ x + 2
29	y =3 − 4			x −1				x2 + y2 − 26x +30 y +313 = 0
30	x = −4 +3 y +5							2x2 + 2 y 2 − 4x + y = 0

ТЕМА 4

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Любая плоскость в трехмерном пространстве задается линейным уравнением относительно текущих координат (x, y, z) вида:

Ax + By +Cz + D = 0 ,

(1.29)

где A2 + B2 +C2 ≠ 0 .

Уравнение (1.29) называется общим уравнением плоскости.

Рассмотрим случаи, когда один или несколько коэффициентов общего уравнения плоскости обращаются в ноль.

1)A = 0 – плоскость параллельна оси Ox ;

2)B = 0 – плоскость параллельна оси Oy ;

3)C = 0 – плоскость параллельна оси Oz ;

4)D = 0 – плоскость проходит через начало координат;

5)A = 0, B = 0 – плоскость перпендикулярна оси Oz ;

6)A = 0,C = 0 – плоскость перпендикулярна оси Oy ;

7)B = 0,C = 0 – плоскость перпендикулярна оси Ox ;

8)A = 0, D = 0 – плоскость проходит через ось Ox ;

9)B = 0, D = 0 – плоскость проходит через ось Oy ;

10)C = 0, D = 0 – плоскость проходит через ось Oz ;

11)A = 0, B = 0, D = 0 – плоскость проходит через оси Ox , Oy ;

12)A = 0,C = 0, D = 0 – плоскость проходит через оси Ox , Oz ;

13)B = 0,C = 0, D = 0 – плоскость проходит через оси Oy ,Oz .

Вектор n = ( A; B;C) , ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M (x0 ; y0 ; z0 ) перпендикулярно вектору n = ( A; B;C) , имеет вид:

A(x − x0 )+ B(y − y0 )+C(z − z0 )= 0 .

(1.30)

Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости

Рассмотрим две плоскости α и β , заданные соответственно уравнениями

α: A1x + B1 y +C1z + D1 = 0,

β: A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0.

Так как двугранный угол ϕ между плоскостями α и β равен углу между векторами n1 = ( A1; B1;C1) и n2 = ( A2 ; B2 ;C2 ) , перпендикулярными этим плоскостям, то

cosϕ =					n1 n2				.	(1.31)

				\| n		\|\| n \|
				1			2
Из равенства (1.31) следуют условия параллельности и перпендикулярно-
сти двух плоскостей α и β .
Если плоскости α и β параллельны, то
	A1	=	B1		=	C1		.		(1.32)
	A
			B			C	2
2		2
Если плоскости α и β перпендикулярны, то
	A1 A2 + B1B2 +C1C2 = 0 .									(1.33)

Расстояние от точки M (x0 ; y0 ; z0 ) до плоскости Ax + By +Cz + D = 0 определяется по формуле

d =	Ax0 + By0 +Cz0 + D	.	(1.34)



	A2 + B2 +C2

Пример 1.21. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(1;−1;3) , если вектор OA перпендикулярен этой плоскости.

Решение. По условию вектор OA = (1;−1;3) является нормальным вектором плоскости. Тогда по (1.30) уравнение плоскости имеет вид:

1 (x −1)−1 (y −(−1))+3 (z −3)= 0

или x − y +3z −11 = 0 .

Пример 1.22. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и образующей с плоскостью 2x + y − 5z −7 = 0 угол 60 .

Решение. Для плоскости 2x + y − 5z −7 = 0 нормальный вектор имеет координаты n1 = (2;1;− 5) . Так как искомая плоскость проходит через ось Oz , то она задается уравнением Ax + By = 0 , где A и B не равны нулю одновременно.

Пусть B ≠ 0 , тогда уравнение плоскости можно преобразовать: BA x + y = 0 . Обо-

значим BA =t . Тогда нормальный вектор искомой плоскости – n2 = (t;1;0) . По фор-

муле(1.31) косинусаугламеждудвумяплоскостями, получаем

cos60 =

(2;1;− 5) (t;1;0)

2t +1

22 +12 +(− 5 )2 t2 +12

10 t2 +1

или

2t +1

= 1

4t + 2 =

10(t2 +1) (4t + 2)2 =10(t2 +1) .

10(t2 +1)

Преобразовав последнее

равенство,

получаем квадратное

уравнение

3t2 +8t −3 = 0 , корни которого

t = −3, t

= 1

. Отсюда получаем две плоскости

1 x + y = 0 и −3x + y = 0 .

Пример 1.23. На

оси

Oy найти

точку,

отстоящую от

плоскости

x + 2 y − 2z − 2 = 0 на расстоянии d = 4 .

Решение. Так как искомая точка лежит на оси Oy , то ее координаты – (0; y;0) . Подставив исходные данные в равенство (1.34), получаем

4 =

1 0 + 2 y − 2 0 − 2

4 =

2 y − 2

12 = 2

y −1

6 =

y −1

12 + 22 + (−2)2

Отсюда y −1 = 6 или y −1 = −6 , т.е.

y = 7

или y = −5 . Следовательно, ус-

ловию задачи удовлетворяют две точки (0;7;0) и (0;−5;0) .

Уравнения прямой в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей, т.е. как решение системы двух уравнений относительно текущих координат x и y :

A x + B y + C z + D				= 0,	(1.35)
1	1	1	1
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .

Система (1.35) называется общим уравнением прямой в пространстве.

Вектор l = (m;n; p) , параллельный прямой, называется направляющим вектором. Если M1 (x1; y1; z1 ) и M2 (x2 ; y2 ; z2 ) – две точки одной прямой, в качестве направляющего вектора можно взять вектор l = (x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1) .

Если M (x0 ; y0 ; z0 ) – произвольная точка прямой, а l = (m;n; p) – направляющий вектор, то уравнения

x − x0	=	y − y0	=	z − z0	(1.36)
m		n		p

называются каноническими уравнениям прямой в пространстве.

Уравнения (1.36) – это уравнения прямой, проходящей через точку

M (x0 ; y0 ; z0 ) параллельно вектору l = (m; n; p) .

Если один из знаменателей в уравнениях (1.36) равен нулю, то числитель соответствующей дроби надо приравнять к нулю. Например, система

	x − x0		=		y − y0		=		z − z0
						n			p
		0
равносильна системе
x = x0 ,
		y − y1				z − z1
				=				.

		n				p

Обозначим

x −mx0 = y −n y0 = z −pz0 =t ,

Тогда

x = x0 + mt,
	+ nt,	(1.37)
y = y0
	+ pt.
z = z0

Система (1.37) называется параметрическим уравнением прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки M1 (x1; y1; z1 ) и

M2 (x2 ; y2 ; z2 )

x − x1		=	y − y1			=	z − z1			.	(1.38)

x	− x		y	2	− y		z	2	− z
2	1				1				1

Угол ϕ между прямыми в пространстве находится как угол между направляющими векторами этих прямых l1 = (m1 ; n1 ; p1 ) и l2 = (m2 ; n2 ; p2 ) :

l1 l2					m m	2	+ n n	2	+ p p		2
cosϕ = l			=		1		1			1		+ p2 .	(1.39)
	l	2		m2	+ n2	+ p2		m2		+ n	2
1				1	1		1		2	2		2

Из (1.39) следует условие перпендикулярности двух прямых

m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 .

Условие параллельности имеет вид

Угол ϕ

между прямой

x − x0

y − y0

z − z0

плоскостью

Ax + By +Cz + D = 0 определяется формулой

sinϕ =

n l

Am + Bn +Cp

n l

A2 + B2 +C 2

m2 + n2

+ p2

где n = ( A; B;C) – нормальный вектор плоскости, l = (m; n; p) – направляющий вектор прямой.

Пример 1.24. Составить канонические уравнения прямой 5x + y + z = 0 , 2x +3y − 2z +5 = 0 .

Решение. Чтобы перейти от общего уравнения прямой к ее каноническому уравнению достаточно найти координаты двух точек этой прямой и воспользоваться равенством (1.38). Пусть x = 0 , тогда из системы уравнений

5x + y + z = 0,

2x +3y − 2z +5 = 0

находим
y + z = 0,		y = −z,	y = −1,
	= 0,
3y − 2z +5	= 0,	5z = 5,	z =1.

Отсюда координаты первой точки – M1 (0;−1;1) . Аналогично, полагая x = −5 , находим координаты второй точки M2 (−5;11;14) . Тогда из (1.38) получаем каноническое уравнение прямой

−x5 = y12+1 = z13−1 .

Задания для самостоятельного решения

1.145. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M (1;2;−1) и имеет нормальный вектор n = (1;−1;3) .

1.146. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор n = (0;11;5) .

1.147. Точка A(−2;3;4) служит основанием перпендикуляра, опущенного

из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости. 1.148. Даны две точки M1 (−1;4;2) и M2 (4;−2;1) . Составить уравнение


плоскости, проходящей через точку M1 перпендикулярно вектору M1M2 .
1.149. Составить		уравнение	плоскости,	проходящей	через	точку
M1(3;−2;7)	параллельно векторам a1 = (1;3;−1) и a2 = (1;−2;1) .
1.150.	Составить	уравнение	плоскости,	проходящей	через	точки

M1(1;3;−2) и M2 (1;−2;3) параллельно вектору a = (−1;2;1) .

1.151. Определить координаты какого-нибудь нормального вектора каждой из следующих плоскостей. В каждом случае написать общее выражение

координат произвольного нормального вектора:
1) 2x − y − 2z +5 = 0 ;	2) x +5 y − z = 0 ;	3) 2x − y − 2z +5 = 0 ;
4) 3x − 2 y −7 = 0 ;	5) 5 y −3z = 0 ;	6) y +5 = 0 .

1.152. Найти пары параллельных плоскостей:

1)2x −3y +5z −7 = 0 и 2x −3y +5z + 7 = 0 ;

2)4x + 2 y − 4z +3 = 0 и 2x + y + 2z −7 = 0 ;

3)x −3y +5 = 0 и 2x −6 y +9 = 0 .

1.153. Найти пары перпендикулярных плоскостей:

1)3x − y − 2z −9 = 0 и x +9 y −3z −1 = 0 ;

2)2x +3y − 2z − 4 = 0 и x − y − z + 6 = 0 ;

3)2x −5y + z −3 = 0 и x + 2 y −7 = 0 .

1.154. Найти угол между плоскостями:

1) x − y 2 + z −1 = 0 и x + y 2 − z +3 = 0 ;

2)3x − y = 0 и 3x + y = 0 ;

3)6x +3y − 2z = 0 и x + 2 y + 6z −12 = 0 ;

4)x + 2 y + 2z −3 = 0 и 16x +12 y −15z −1 = 0 .

1.155. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости x +3y −2z −5 = 0 .

1.156. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M (2;−1;−3) параллельно плоскости 3y − 2z −5 = 0 .

1.157. Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки M1(1;−1;−2) и M2 (3;1;1) перпендикулярно плоскости x + 2 y −3z +1 = 0 .

1.158. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей x − 2 y +3z −3 = 0 , 3x + y + z + 2 = 0 параллельно вектору

m = (2;−2;1) .

1.159. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку

M(2;1;−2) :

1)параллельно плоскости Oxy ;

2)параллельно плоскости Oxz ;

3)параллельно плоскости Oyz .

1.160. Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1)через точку M (−1;2;3) и ось Ox ;

2)через точку M (1;−2;1) и ось Oy ;

3)через точку M (2;3;−1) и ось Oz .

1.161. Привести уравнения плоскостей к нормальному виду:

1) 2x − 2 y + 2z −18 = 0 ;	2) x − y − 2z +16 = 0 ;
3) 4x −6 y −12z −11 = 0 ;	4) 4x + 4 y − 2z +1 = 0 .

1.162. На оси Oz найти точку, равноудалённую от точки M (1;−2;0) и от плоскости 3x − 2 y + 6z −9 = 0 .

1.163. Составить уравнения прямых, образованных пересечением плоскости 3x −7 y + 2z −3 = 0 с координатными плоскостями.

1.164. Составить уравнения прямой, образованной пересечением плоскости 3x − y + 7z −9 = 0 с плоскостью, проходящей через ось Ox и точку

M (3;−1;−5) .

1.165. Найти точки пересечения прямой

2x + y − z −3 = 0,x + y + z −1 = 0

с координатными плоскостями.

1.166. Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую пересечения плоскостей 3x − y + z −5 = 0 , x + y − 2 = 0 :

1)	и через точку M (−2;4;1) ;	2) параллельно оси Ox ;
3)	параллельно оси Oy ;	4) параллельно оси Oz .

1.167. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

5x − y −2z −3 = 0,3x −2 y −5 + 2 = 0

перпендикулярно плоскости x −19 y −7z −11 = 0 .

1.168. Составить канонические уравнения прямых, проходящих через

точку M (0;1;−1) параллельно:
1)	вектору a = (2;3;−5) ;	2) прямой	x −1	=	y + 2	=	z −1	;
			5				−1
				2
3)	оси Ox ;	4) оси Oy ;					5) оси Oz .

1.169. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две

точки:
1)	(1;2;1) и (3;1;−2) ;	2) (3;−1;0) и (1;0;−2) ;
3)	(−3;−2;4) и (1;−1;2) ;	4) (−1;7;3) и (−3;2;4) .

1.170. Составить параметрические уравнение прямой, проходящей через точку M (2;−1;2) параллельно

1) вектору a = (−1;2;−1) ;	2) прямой	x −1	=	y + 2	=	z −1	.
						0
	2		5
1.171. Даны вершины A(2;3;−1) , B(−4;1;0) , C(1;−1;3) треугольника ABC .
Составитьпараметрическиеуравненияегомедианы, проведённойизвершины A .
1.172. Даны вершины	A(1;−3;2) , B(4;−1;5) , C(−1;0;3) треугольника
ABC . Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла
при вершине B .
1.173. Даны вершины A(−1;4;0) , B(2;1;7) , C(0;−3;5)						треугольника ABC .

Составить параметрические уравнения его высоты, опущенной из вершины A на противоположную сторону.

1.174. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M (−1;3;−5) параллельно прямой

3x − y + 2z −7 = 0,x +3y − 2z +3 = 0.

1.175. Составить канонические уравнения прямых:

1)	x − 2 y +3z − 4 = 0,	2)	5x + y + z = 0,
1)		2)
	3x + 2 y −5z − 2 = 0;		2x +3y − 2z +5 = 0;
3)	x − 2 y +3z +1 = 0,	4)	3x − y + 2z −7	= 0,
3)		4)		= 0.
	2x + y − 4z −8 = 0;		x +3y − 2z +3	= 0.

1.176. Составить параметрические уравнения прямых:


1)	2x +3y − z = 0,		2)	x + 2 y − z −6		= 0,
1)		= 0;	2)		= 0.
	3x −5y + 2z +1	= 0;		3x − y + z +1	= 0.

1.177. Найти угол между прямыми

x −3

y + 2

x + 2

y −3

z +5

−1

1.178.

При каком значении t пересекаются прямые

x + 2

z −1

x −3

y − 4

z −7

−3

−4

1.179. Доказать, что прямая x =3t − 2 , y − 4t +1, z = 4t −5 параллельна плоскости 4x −3y −6z −5 = 0 .

1.180. Найти точку пересечения прямой x = 2t −1, y =t + 2 , z =1 −t с плоскость 3x − 2 y + z = 0 .

Задания для индивидуальной работы № 4

Задание 4.1. Даны координаты точек A , B , C , D (табл. 4.1). Найти:

1)каноническое и общее уравнение прямой AB ;

2)угол между прямыми AB и CD ;

3)написать уравнение плоскости α , проходящей через точку A перпен-

дикулярно вектору BC ;

4)угол между прямой AC и плоскостью α .

5)расстояние от точки D до плоскости α ;

6)уравнение прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости α ;

7)уравнение плоскости, проходящей через точку A и прямую CD ;

8)расстояние от точки B до прямой CD .

Таблица 4.1

Номер				A											B										C												D
варианта

1	(	−		4;			−			7)		(1;		5;			−	4)			(	−	5;			−		2; 0)			(	−	1;			2;			−		1)
	(	3;		4;						7)		(1;		5;				4)			(		5;					2; 0)			(		1;			2;					1)
2	(	−		2;			−			3)		(	4;		−	1;		0)			(	2;		1;				−			(	5;			−		4;		5)
	(	1;		2;						3)		(	4;			1;		0)			(	2;		1;					2)		(	5;					4;		5)
3	(	−		−					1)			(	−		1;			−	2)		(	3;		−		5;			4)		(1;			−		6;			−
	(	3;			1;				1)			(	9;		1;				2)		(	3;				5;			4)		(1;					6;			5)
4	(1;		−				1)					(	−			0; 3)					(	2;		1;				−	1)		(	−	5;				−	9;		1)
	(1;			1;			1)					(	2;			0; 3)					(	2;		1;					1)		(		5;					9;		1)
5	(1; 0; 2)											(1;		2;			−	1)			(	2;		−		2;			1)		(	−	2;				4;		2)
	(1; 0; 2)											(1;		2;				1)			(	2;				2;			1)		(		2;				4;		2)

6	(1; 0; 2)											(1;		2;			−	1)			(	2;		−		2; 1)					(	−	6;				7;		−			10)
	(1; 0; 2)											(1;		2;				1)			(	2;				2; 1)					(		6;				7;					10)

7	(1`;			2;			−	3)				(1;		0;			1)				(	−	2;			−					(	−	7;				0;		−			1)
	(1`;			2;				3)				(1;		0;			1)				(		2;					1; 6)			(		7;				0;					1)
8	(	3; 10;					−		1)			(	−			3;		−			(	−	6;			0;			−		(	−	2; 3; 5)
	(	3; 10;							1)			(	2;			3;			5)		(		6;			0;				3)	(		2; 3; 5)
9	(	−		2;			4)					(	−		−				−	4)	(	3;		0;				−			(	−	5;				−	9;		1)
	(	1;		2;			4)					(	1;				2;			4)	(	3;		0;					1)		(		5;					9;		1)

10	(	0;		−	3;		1)					(	−		1;			2)			(	2;		−		1;			5)		(4; 3; 0)
	(	0;			3;		1)					(	4;		1;			2)			(	2;				1;			5)		(4; 3; 0)
11	(1; 3; 0)											(	4;		−	1;		2)			(3;			0; 1)							(	3;			−				−
	(1; 3; 0)											(	4;			1;		2)			(3;			0; 1)							(	3;				2;					9)
12	(	−			−	1;				−		(0;		3;			2)				(	3;		1;			−		4)		(3; 6; 8)
	(	2;				1;					1)	(0;		3;			2)				(	3;		1;					4)		(3; 6; 8)
13	(	−		−						6)		(	2;	1;			−	4)			(	0;		−					−	1)	(	−	3;				4;		−		5)
	(	3;			5;					6)		(	2;	1;				4)			(	0;				3;				1)	(		3;				4;				5)
14	(	2;		−	4;		−				3)	(	5;	−		6;		0)			(	−	1;		3;				−		(	−	3;				2;		7)
	(	2;			4;						3)	(	5;			6;		0)			(		1;		3;				3)		(		3;				2;		7)
15	(1;		−				2)					(2;		1;			2)				(1;			1;			4)				(	−	21; 20;									−
	(1;			1;			2)					(2;		1;			2)				(1;			1;			4)				(		21; 20;									16)
16	(1; 3; 6)											(2;			2;		1)				(	−	1;		0;				1)		(	−	1;			1;			8)
	(1; 3; 6)											(2;			2;		1)				(		1;		0;				1)		(		1;			1;			8)

17	(	−			2;		6)					(	2;		−	3;		0)			(	−	1;		5;				8)		(	2;			−		10;			8)
	(	4;			2;		6)					(	2;			3;		0)			(		1;		5;				8)		(	2;					10;			8)

(7;

(

−

(

−

(10; 1; 8)

Окончание табл. 4.1

(2; 1; 4)

(

−

(

−

(

−

(

−

5; 2)

(

−

(3;

−

(10;

−

(0;

−

(

−

(1;

−

(

−

13; 6)

(5; 2; 0)

(2;

(1;

(

−

(2;

−

(1;

(5;

−

(14;

−

(

−

(

−

7; 1)

(4;

−

(

−

6; 5; 5)

(14; 4; 5)

(

−

3; 2)

(

−

(

−

(1; 2; 0)

(

−

(5;

(

−

8; 16)

13;

(2;

−

(1;

−

(3; 2;

(

−

(1; 1; 2)

(

−

(2;

−

(2; 3; 8)

(2; 3; 1)

(

−

(6;

(

−

(1;

−

(2; 3; 1)

(3; 2; 1)

(

−

Задание 4.2. Даны две плоскости α и β

(табл. 4.2). Используя данные

табл. 4.1 и 4.2, найти:

1)угол между плоскостями;

2)параметрическое уравнение линии пересечения двух плоскостей;

3)проекцию прямой CD на плоскость α ;

4)плоскость, проходящую через прямую AB параллельно плоскости β ;

5)плоскость, проходящую через прямую AB перпендикулярно плоскости β .

Таблица 4.2

Номер	α	β
варианта

1	x −3y +5 = 0	x − y +5z −16 = 0

2	x −3y + z −1 = 0	x + z −1 = 0

3	x − 4 y − z +9 = 0	4x −5y +3z −1 = 0

4	3x − y + 2z +15 = 0	5x +9 y −3z −1 = 0

5	6x + 2 y − 4z +17 = 0	9x +3y −6z − 4 = 0

6	x − y 2 + z −1 = 0	x + y 2 − z +3 = 0

3y − z = 0

2 y + z = 0

6x +3y − 2z = 0

x + 2 y + 6z −12 = 0

Окончание табл. 4.2

x = 2 y + 2z −3 = 0

16x +12 y −15z −1 = 0

2x − y +5z +16 = 0

x + 2 y +3z +8 = 0

2x + 2 y + z −1 = 0

x + z −1 = 0

3x + y + z − 4 = 0

y + z +51 = 0

3x − 2 y − 2z −16 = 0

x + y −3z −7 = 0

x − y +3z −1 = 0

2x + 2 y + z +9 = 0

x + 2 y + 2z −3 = 0

2x − y + 2z +5 = 0

3x + 2 y −3z −1 = 0

x + y + z −7 = 0

x −3y − 2z −8 = 0

x + y − z +3 = 0

3x − 2 y +3z + 23 = 0

y + z +5 = 0

y + z −1 = 0

x + y +3z −7 = 0

x − 2 y + 2z +17 = 0

x − 2 y −1 = 0

x + 2 y −1 = 0

x + y + 6 = 0

2x − z +5 = 0

2x +3y −7 = 0

5x +3y + z −18 = 0

2 y + z −9 = 0

4x +3z − 2 = 0

x + 2 y + 2z +5 = 0

x + 4 y − z +1 = 0

2x + y + 4z −3 = 0

2 y + z −9 = 0

x − y + 2z −1 = 0

2x −6 y +14z −1 = 0

5x −15y +35z −3 = 0

x − y + 7z −1 = 0

2x − 2 y −5 = 0

3x − y −5 = 0

2x + y −3 = 0

x + y + z 2 −3 = 0

x − y + z 2 −1 = 0

Задание 4.3. На прямой

x − x0

y − y0

z − z0

найти точку,

ближайшую

к точке A(x1, y1, z1) , воспользовавшись данными таблицы 4.3.

Таблица 4.3

Номер

варианта

-3

-2

-1

-7

3	5	7	-3	2	4	1	5	-6	7
4	3	-2	0	1	5	-7	4	8	9

							Окончание табл. 4.3

5	-4	3	2	1	7	8	-3	1	9

6	3	1	2	-2	4	5	7	8	1

7	2	3	-4	1	8	5	4	1	0

8	3	0	1	2	-3	6	-5	7	9

9	-1	2	3	-5	7	8	-1	2	3

10	3	-4	8	6	10	1	2	-5	4

11	2	3	-1	2	5	6	9	-5	1

12	-3	4	5	-1	2	3	5	1	4

13	-1	2	3	-5	6	7	-1	2	4

14	2	-3	6	7	-2	1	6	8	-1

15	3	2	-5	6	-4	1	7	2	8

16	-3	2	1	4	-5	7	8	-5	1

17	3	2	-1	5	7	-8	3	1	4

18	2	-1	5	-7	8	1	4	-3	2

19	-4	1	3	2	5	-8	7	1	4

20	2	-3	5	1	4	-6	9	1	3

21	-5	6	7	-9	1	2	-4	3	-5

22	3	1	5	-7	8	-2	4	1	3

23	-2	1	4	-5	7	3	8	-1	2

24	5	6	-7	1	8	3	2	-2	5

25	3	-5	4	1	3	7	-8	2	3

26	-4	2	1	3	-5	5	-1	8	1

27	5	1	4	-3	2	7	9	-8	3

28	-9	1	4	3	5	-2	4	1	1

29	-6	7	11	-1	1	3	2	5	4

30	4	1	3	-5	7	-9	1	-3	2

РАЗДЕЛ 2

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ТЕМА 1

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Таблица, состоящая из m строк и n столбцов, называется прямоугольной

матрицей размера m ×n :

	a11	a12	...	a1n
	a	a	...	a		,	(2.1)
	А= 21	22	...		2n	,	(2.1)
	... ...		...	...
	a	a	...	a
	m1	m2		mn
где aij – элементы матрицы (i =1,2,....., m ;							j =1,2,....., n ). Сокращенная запись
A = (aij )	.
	m×n

Если m = n , то матрица называется квадратной. В этом случае число n называется ее порядком. В квадратной матрице n-го порядка диагональ, со-

стоящая из элементов a11, a22 ,......., ann , называется главной диагональю.
Две матрицы A =(aij )	m×n	и B =(bij )			одинакового размера называются
	m×n				m×n
равными, если все их соответствующие элементы равны.
Действия над матрицами
Суммой (разностью) двух матриц					A =(aij )	m×n	и B =(bij )	одинакового
						m×n		m×n
размера называется матрица C = A ± B , элементы которой определяются равен-
ством
cij = aij ±bij (i =1,2,....., m ;				j =1,2,.....,n ).				(2.2)
Произведением матрицы		A = (aij	)		на число k называется матрица C ,
				m×n

каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число k

k (aij )	m×n	= (kaij )	(i =1,2,....., m ; j =1,2,.....,n ).	(2.3)
	m×n		m×n
				51

Произведением AB матрицы A =(aij )m×k на матрицу B =(bij )k×n называется матрица С = (сij )m×n , элемент сij которой равен сумме произведений элементов i- ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B , т.е.

cij = ai1 b1 j + ai2 b2 j +... + aik bkj , ( i =1,2,....., m ; j =1,2,....., n ).

(2.4)

Произведение матрицы A на матрицу B определено только в том случае, когда число столбцов первого множителя (матрицы A ) равно числу строк второго множителя (матрицы B ). При этом размер матрицы C = AB равен

(m ×k) (k ×n) = (m ×n) .

A B AB

Матрица, полученная из матрицы A заменой всех строк соответствующими по номеру столбцами, называется транспонированной по отношению к

матрице A и обозначается

или

′

, т.е.

a11

a12

...

a1n

a11

a21

...

am1

...

′

...

А=

... ...

...

, A

= A =

... ...

(2.5)

...

Определители

Каждой квадратной матрице по определенному закону ставится в соответствие некоторое число А , называемое определителем (детерминантом)

этой матрицы. Обозначают определители следующим образом:

∆ = А = det( A).

Определителем второго порядка называется число, записанное в виде таблицы и равное

det( A) =				а11	а12	= а а	22	− а	а .
				а21	а22	11	22	12	21
				а21	а22
Например,
	1	2	=1 (−7) − 2 3 = −13.
	1	2	=1 (−7) − 2 3 = −13.
	3	−7

Определителем 3-го порядка называется число, равное

a11 a12 a13 det( A) = a21 a22 a23 =

a31 a32 a33

(2.6)

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32.

Каждое слагаемое равно произведению трех элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки, число слагаемых при этом равно

3!=1 2 3 = 6 .

Определитель 3-го порядка можно вычислить по правилу треугольника (правилу Саррюса). Если соединить линией каждые три элемента определителя (по одному из каждой строки и каждого столбца), то получим легко запоминающуюся схему

∆ =	*	*	*		*	*	*
∆ =	*	*	*	-	*	*	*	.
	*	*	*		*	*	*

На левой схеме линиями соединены каждые три элемента определителя, произведение которых входит в определитель со знаком “+”, на правой схеме приведены произведения, которые входят со знаком “–”.

Определителем n -го порядка ( n ≥ 2 ) называется число, обозначаемое

			a11	a12	...	a1n
det A = ∆ =	А	=	a21	a22	...	a2n	.
det A = ∆ =	А	=	a21	a22	...	a2n	.
			... ... ... ...					(2.7)
			... ... ... ...
			an1	an2	...	ann
			an1	an2	...	ann

Основные свойства определителей

1. При транспонировании матрицы величина ее определителя не изменя-

ется.

2.Если поменять местами любые две строки или два столбца, то определитель изменит свой знак.

3.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

4.Если одна строка (столбец) определителя состоит только из нулей, то определитель равен нулю.

5.Определитель равен нулю, если имеются две одинаковые или две пропорциональные строки (столбца).

6.Величина определителя не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число.

7.Если элементы некоторой строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух

определителей ∆1 и ∆2. В определителе ∆1 указанная строка состоит из первых слагаемых, в определителе ∆2 – из вторых слагаемых. Остальные строки определителей те же, что и в исходном определителе.

Минор и алгебраическое дополнение. Вычисление определителей n-го порядка

Минором Mij элемента aij , определителя n -го порядка называется опре-

делитель ( n −1)-го порядка, полученный из исходного определителя в результате вычеркивания i -й строки и j -го столбца, на пересечении которых стоит

элемент aij . Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определителя назы-

вается число Aij = (−1)i+ j Mij .

Определитель n -го порядка ( n ≥ 2 ) равен сумме произведений элементов i -ой строки на их алгебраические дополнения

∆ = аi1 Аi1 + аi2 Аi2 +... + аin Аin

(2.8)

или сумме произведений элементов j -го столбца на их алгебраические дополнения

∆ = а1 j А1 j + а2 j А2 j +... + аnj Аnj .

(2.9)

Равенства (2.8) и (2.9) называют формулами Лапласа разложения определителя по элементам i -ой строки или j -го столбца.

Формулы (2.8) и (2.9) позволяют вычислить определитель n-го порядка разложением по любой его строке (столбцу). При этом вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению определителей ( n −1)-го порядка. Затем, вычисление каждого определителя ( n −1)-го порядка сводится к вычислению определителей ( n − 2 )-го порядка и т. д. Таким образом, в результате последовательного использования формул Лапласа вычисление исходного определителя n-го порядка сводится к вычислению определителей второго или третьего порядка.

Кроме того, для вычисления определителей n-го порядка можно исполь-

зовать метод приведения к треугольному виду. Этот метод заключается в пре-

образовании определителя к такому виду, где все элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. В этом случае определитель равен произведению элементов главной диагонали.

Обратная матрица

Пусть A – квадратная матрица. Матрица A−1 называется обратной по отношению к матрице A , если

A−1 A = A A−1 = E ,

(2.10)

где E – единичная матрица.

Для любой квадратной матрицы A , определитель которой отличен от нуля, существует единственная обратная матрица. Обратная матрица имеет вид:

		А	А	...	А
		11	21		n1
A−1 =	1	А12	А22	...	Аn2	,
A−1 =				...	...	,
	det A ... ...			...	...
		А1n	А2n	...
		А1n	А2n	...	Аnn

где Aij – алгебраические дополнения элементов aij , det A – определитель исходной матрицы A .

Если det( A) = 0 , то обратная матрица A−1 не существует и матрица A на-

зывается вырожденной.

Ранг матрицы

Рангом матрицы размера m ×n называется наивысший порядок отличного от нуля минора, образованного из элементов этой матрицы. Ранг матрицы A обозначают r = rang( A) = r( A) . При вычислении ранга матрицы переходят от

миноров меньшего порядка, отличных от нуля, к минорам более высокого порядка. Для того чтобы упростить процесс вычисления ранга матрицы можно использовать элементарные преобразования матриц. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:

1.перестановка местами двух строк (столбцов);

2.умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3.прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.

Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы. Для нахождения ранга матрицы нужно элементарными преобразованиями привести эту матрицу к диагональному виду.

Ранг матрицы также можно вычислить методом окаймления миноров. Если уже найден ненулевой минор k -го порядка M , то достаточно вычислить только миноры (k +1) -го порядка, окаймляющие минор M . Если при этом все

окаймляющие миноры равны нулю, то ранг матрицы равен k .

Матрицы A и B , которые имеют равные ранги, называются эквивалентными матрицами. Обозначают A B .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
13.04.20154.9 Mб206Полшков Ю.Н. Курс лекций по высшей математике.pdf
#
13.04.20156.31 Mб211Практикум по высшей математике_часть 1.pdf
#
13.04.20157.85 Mб231Практикум по высшей математике_часть 2.pdf