Лекция 9. Атом. физ
..pdf
|
|
|
|
Лекция 9 |
4.6. Свойства момента импульса частицы |
|
|||
|
|
|
|
|
Момент импульса L |
является одной |
из |
важнейших |
характеристик |
|
|
|
|
|
движения. Его значение связано с тем, что |
L |
сохраняется, |
если система |
|
изолирована или движется в центральном поле. |
|
|
||
Определим оператор |
момента импульса |
в квантовой |
механике. В |
|
|
|
|
|
|
классической механике L [r , p]. Такое определение в квантовой механике
не имеет смысла, поскольку не существует состояния, в котором оба вектора
|
|
|
бы |
|
определенные |
значения. |
В |
|
квантовой механике |
|
||||||||||||||||||
r |
и |
p имели |
|
|
[r , p] |
|||||||||||||||||||||||
соответствует |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
(4.23) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
[r , p] i Lx jLy |
kLz , |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
rˆ i xˆ jyˆ |
kzˆ , |
|
pˆ i pˆ x jpˆ y kpˆ z . |
|
Учитывая |
(4.9) |
можно |
|
найти |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проекции оператора L : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
L |
x |
( yˆpˆ |
z |
zˆpˆ |
y |
) |
i y |
|
|
|
z |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Ly (zˆpˆ x |
xˆpˆ z ) |
i z |
x |
|
x |
|
|
|
, |
|
|
|
(4.24) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
L |
z |
(xˆpˆ |
y |
yˆpˆ |
x |
) |
i x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Выясним |
смысл |
этого векторного |
|
|
оператора. |
Для |
этого |
найдем |
||||||||||||||||||
результат действия |
ˆ |
на произвольную функцию : |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.25) |
|||
|
|
|
|
|
L i (Lx ) j (Ly ) |
k (Lz ) . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Таким |
образом, |
произвольной волновой |
|
функции |
соответствует |
вектор, определяющийся приведенной формулой. Возникает вопрос, всегда ли существует такая функция , для которой все три проекции вектора имеют определенные значения, т.е. одновременно выполняются три равенства
|
|
|
ˆ |
Lx , |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Lx |
|
Ly Ly , |
Lz Lz ). |
|
|
|||||||||||||||||||||
Для ответа на этот вопрос |
необходимо найти |
правила коммутации |
|||||||||||||||||||||||||||
ˆ |
ˆ |
ˆ |
. |
Перемножая |
|
ˆ |
|
|
и |
|
|
ˆ |
и сохраняя порядок их |
||||||||||||||||
операторов Lx , Ly , Lz |
|
Lx |
|
Ly |
|||||||||||||||||||||||||
расположения, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ˆ ˆ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Lx Ly |
|
y |
z |
|
z |
y |
z |
x |
x |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y |
|
|
z |
|
|
y |
|
|
x |
|
|
|
z |
|
|
|
z |
|
|
z |
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
x |
|
z |
z |
|
|
|
y |
x |
|
y |
|
z |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
||
|
|
yz |
|
yx |
|
|
z |
|
zx |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y |
x |
z x |
z |
2 |
|
y x |
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y z |
|||||||||
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
L L |
|
|
|
|
z |
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
z |
|
z |
|
y |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 z |
|
|
|
|
y |
|
|
z |
|
z |
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
x |
|
z |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
z |
|
|
|
x |
|
y |
|
|
z |
|
|
z |
|
|
|
z |
|
|
y |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
x |
|
|
xz |
|
|
|
|
|
|||||||
zy |
|
x z |
|
|
x y |
z |
2 |
|
y |
z y |
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Операции дифференцирования по двум независимым переменным
перестановочные, т.е. 2 2 , поэтому
x y y x
ˆ |
|
ˆ |
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
2 |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
L |
x |
L |
y |
L |
y |
L |
x |
|
|
y |
|
x |
|
|
i L |
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
Аналогично получаются и два других правила коммутации. Тогда
ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
|
Ly Lz Lz Ly i Lx |
|
|||
ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
(4.26) |
Lz Lx Lx Lz i Ly |
||||
ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
|
Lx Ly Ly Lx i Lz |
|
Таким образом, любые де проекции оператора момента импульса не коммутируют между собой, поэтому не существует состояния, в котором бы вес три проекции и даже любые две из трёх имели бы определенные
значения. Т.е. оператор |
ˆ |
не имеет собственных функций и |
L |
соответствующих им собственных значений. Это означает, что не существует состояния, в котором бы вектор момента импульса был бы полностью определен как по величине, так и по направлению.
Возникает вопрос, какими же физическими величинами (а не их операторами) характеризуется в квантовой механике момент импульса частицы? Оказывается, что существует состояние, в котором одновременно имеют определенные значения квадрат момента импульса и одна из его проекций на выбранное направление.
Квадрат момента импульса принято обозначать L2 . Но это не квадрат |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора L (которого не существует), а собственное значение оператора |
|||||||
квадрата момента импульса, т.е. |
ˆ |
|
|
|
|
||
ˆ2 |
ˆ |
ˆ |
2 |
ˆ2 |
ˆ2 |
ˆ2 |
|
L |
(i Lx jLy kLz ) |
|
Lx |
Ly Lz . |
|||
Чтобы убедиться в том, что величина L2 |
и одна из проекций момента |
импульса, например Lz , могут быть одновременно измерены в одном и том
же состоянии, необходимо показать, что операторы |
ˆ2 |
и |
ˆ |
коммутируют |
L |
Lz |
|||
между собой. Для этого пишем |
|
|
|
|
ˆ2 ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 ,
L Lz (Lx Ly Lz )Lz Lx (Lx Lz ) Ly (Ly Lz ) L z
или в силу соотношений коммутации (4.23):
ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3
L Lz Lx (Lz Lx i Ly ) Ly (Lz Ly i Lx ) L z .
Аналогично
ˆ ˆ2 |
ˆ ˆ2 |
ˆ2 |
ˆ2 |
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ3 |
|
Lz L |
Lz |
(Lx Ly Lz ) (Lz Lx )Lx ) |
(Lz Ly )Ly ) L z |
||||||
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ |
ˆ3 |
|
|
(Lx Lz i Ly )Lx |
(Ly Lz i Lx )Ly L z . |
|
||||||
Почленным вычитанием найдём |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ˆ2 ˆ |
ˆ ˆ2 |
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
L Lz Lz L |
|
|
|
что и требовалось досказать. Конечно, такие же соотношения коммутации
справедливы и для операторов |
ˆ |
ˆ |
Lx , |
Ly . |
Таким образом, оператор квадрата момента импульса имеет общие собственные значения с операторами каждой из его проекций.
4.7. Собственные функции и собственные значения оператора проекции момента импульса
Рассмотрим задачу на нахождение собственных функций и собственных значений оператора проекции момента импульса частицы на определенное направление. Вследствие изотропии пространства вектор
направления может быть произвольным. |
|
|
|
|
|
|||
Задачу удобно решать |
в сферической |
системе координат. |
В ней |
|||||
наиболее простой формулой выражается оператор |
ˆ |
|
||||||
Lz . Поэтому выделенное |
||||||||
направление обычно совмещают с осью z. |
|
|
|
|
||||
Для решения поставленной задачи служит уравнение |
|
|||||||
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
(4.27) |
|
|
|
|
Lz Lz . |
||||
В декартовых координатах |
|
|
|
|
|
|
||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
z |
i x |
|
y |
|
. |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
С полярными декартовы координаты связаны соотношениями (рис.4.7):
x r sin cosy r sin sin
z r cos
|
|
|
Найдем |
|
|
|
, где (x, y, z) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
y |
|
z |
r sin sin |
|
r sin cos |
|
x |
|
y |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
y |
z |
x |
y |
y |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ˆ |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отсюда Lz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и уравнение (4.24) в полярных координатах приобретает вид
z |
|
|
|
|
|
|
i |
L z . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
Это уравнение имеет решения вида |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C(r, )exp i |
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
|
|
|
|
должна |
быть |
|||||||
|
|
|
однозначной, |
поэтому |
необходимо |
||||||||||
|
|
y |
выполнение условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
( 2 ) ( ) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
||||||
|
|
|
exp i |
|
( 2 ) |
|
exp i |
|
|
. |
|||||
Рис. 4.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Так как показательная функция периодическая с периодом 2 i , то это равенство может выполняться только при условии
i Lz 2 m2 i
или
Lz m , где m 0, 1, 2, ... (4.28)
Это означает, что проекция момента импульса на любое направление квантуется. По причинам, которые выяснятся в дальнейшем, m называется магнитным квантовым числом. В теории атома Бора результат (4.28) фактически постулируется, здесь же он получен из требования
однозначности собственной функции оператора ˆ .
Lz
4.8. Собственные функции и собственные значения оператора квадрата момента импульса
ˆ2
Собственные значения оператора L можно найти, используя только правила коммутации (4.26). Но сначала приведем эти правила к другому, более удобному для нашей цели, виду. Введем два оператора:
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
L Lx iLy , |
|
L Lx iLy |
|
||||
и учитывая (4.26) найдем их коммутацию: |
|
|
|
||||||
ˆ ˆ ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ ˆ ˆ |
ˆ |
L L L L (Lx |
iLy )(Lx |
iLy ) (Lx iLy )(Lx iLy ) 2i(Lx Ly Ly Lx ) 2 Lz |
|||||||
Применяя |
|
аналогичные |
преобразования, |
получим |
новые |
||||
коммутационные соотношения: |
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
|
L L L L 2 Lz |
|
||
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
|
Lz L L Lz L , |
|
||
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
|
Lz L L Lz L . |
|||
|
|
ˆ2 |
ˆ2 |
Из соотношений (4.29), учитывая то, что L |
Lx |
(4.29)
ˆ2 ˆ2 , получим:
Ly Lz
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
2 |
|
ˆ |
ˆ |
2 |
|
|
|
|
ˆ2 |
|
L |
L |
|
|
L |
L |
|
ˆ2 |
|
|
|||
L |
|
|
2 |
|
|
|
|
2i |
|
|
Lz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.30) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ˆ ˆ |
|
|
1 |
|
ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ |
|
ˆ2 |
ˆ ˆ |
ˆ2 |
ˆ |
|
|
L L |
2 |
(L L L L ) Lz |
L L Lz |
Lz |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина L2 ограничена. Учитывая то, что проекция вектора не может превышать его модуль, квантовое число m – ограничено. Обозначим через l
наибольшее положительное значение числа m при заданном значении L2 .
|
|
|
|
ˆ2 |
ˆ |
Пусть – общая волновая функция операторов L и |
Lz , причем m = l. Тогда |
||||
|
ˆ2 |
2 |
|
ˆ |
(4.31) |
|
L |
L , |
|
Lz l . |
|
Из соотношений коммутации (4.29) для такой функции получим |
|||||
ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
Lz |
(L ) |
(L Lz |
L ) (l 1)(L ) . |
||
Отсюда видно, |
что |
функции |
ˆ |
ˆ |
|
L |
и L являются собственными |
||||
|
ˆ |
|
|
|
|
функциями оператора Lz , имеющими собственные значения (l 1) и (l 1) |
|||||
соответственно. Но величина (l 1) |
не может быть собственным значением |
ˆ |
|
оператора Lz , так как максимальное собственное значение этого оператора, |
|
как мы договорились, равно l . |
|
ˆ |
, но |
Устранить противоречие можно только тогда, если принять L 0 |
ˆ ˆ |
, |
это означает, что L L 0 |
|
Но в силу (4.31) |
|
тогда из (4.30) имеем
ˆ2 |
ˆ2 |
ˆ |
(L |
Lz |
Lz ) 0 . |
|
ˆ2 |
|
|
|
|
2 |
l |
2 |
, |
ˆ |
|
|
2 |
l , |
|
|
|
||
|
Lz |
|
|
|
Lz |
|
|
|
|
||||||||||
отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ2 |
|
2 |
l |
2 |
|
|
2 |
l) 0 , или |
ˆ2 |
2 |
l(l |
1) 0 . |
|
|
|
||||
(L |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, является собственной функцией оператора |
ˆ2 |
с |
|||||||||||||||||
L |
|
||||||||||||||||||
собственным значением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 2l(l 1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть L2 имеет определенное значение |
2l(l 1) , тогда проекция |
|
Lz |
||||||||||||||||
также имеет определенное значение, если m l, (l 1), ...0, ...(l 1), l , |
т.е. |
||||||||||||||||||
существует (2l 1) возможных состояния |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Lz . |
|
|
|
|
|
|
|
Квантовое число l называют орбитальным квантовым числом.
Причины такого названия выясним позднее.