31

2.МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

2.1. Сводка основных формул

Идеальный газ. Идеальным называют газ, в котором пренебрегают размерами и взаимодействием молекул. Параметры состояния идеального газа связаны уравнением Менделеева-Клапейрона

pV = νRT ,

где р, V и T – давление, объем и абсолютная температура газа, ν = mµ - коли-

чество молей, m и µ - масса и молярная масса газа, R = 8,31 Дж К/моль - универсальная газовая постоянная.

Для газов выделяют следующие изопроцессы: изотермический (Т = const), изохорный (V = const) и изобарный, (p = const), которые описываются законами:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории имеет вид p = nkT = 32 nε ,

где n – концентрация частиц, k = 1,38 10-23 Дж/К - постоянная Больцмана, ε -

средняя кинетическая энергия молекул.

По закону Дальтона давление р смеси газов равно сумме парциальных давлений pi каждой компоненты смеси

n

p = ∑pi

i=1

Распределения Больцмана и Максвелла. Зависимость давления газа в атмосфере Земли от высоты задается барометрической формулой

p = p0e−µghRT ,

где p0 - давление на нулевом уровне, h – высота от нулевого уровня.

Распределение Больцмана дает концентрацию частиц n в силовом поле

n = n0e−Ep kT ,

где Ep – потенциальная энергия частиц, n0 - концентрация частиц при Ep = 0.

Количество частиц dN из общего числа N , скорость которых лежит в небольшом интервале dv от v до v + dv , определяется распределением Максвелла

Характерные скорости теплового движения молекул - вероятная vв , средняя vcp и средняя квадратичная vкв - определяются выражениями

32

vâ = 2RTµ , vcp = v = 8πµRT , vêâ = 3RTµ .

Первое начало термодинамики. Первое начало термодинамики выражает закон сохранения энергии в тепловых процессах: количество теплоты, сообщенное термодинамической системе, идет на изменение ее внутренней энергии и совершение системой работы против внешних сил

Q = ∆U + A,

в дифференциальной форме для малых величин dQ = dU +dA.

Здесь Q – количество теплоты, ∆U – изменение внутренней энергии, А – работа. Различают три вида теплообмена: теплопроводность, конвекция и излучение.

При изменении объема от V1 до V2 термодинамическая система совершает работу, которая определяется выражением

V2

A = ∫ pdV .

V1

Работа термодинамической системы в различных процессах: изобарном

A = p∆V ,

изотермическом

A = νRT lnV2 , V1

адиабатическом

Отношение количества теплоты, полученного системой, к приращению ее температуры, называется теплоемкостью

c = dQdT .

Теплоемкость С одного моля называется молярной, а одного килограмма – удельной теплоемкостью с. Теплоемкость зависит от способа нагревания системы и ее состояния. Различают теплоемкости при постоянном давлении Cp и

при постоянном объеме CV .

Молярные теплоемкости идеального газа зависят от состава молекул и определяются соотношениями

СV = 2i R , Сp = i +2 2 R ,

где i – число степеней свободы молекулы; i = 3, 5 и 6 для одно-, двух- и трехатомных молекул с жесткой связью.

Для идеального газа теплоемкости Cp и CV связаны уравнением Майера

33

Cp −CV = R .

Адиабатическим называется процесс, который происходит без теплообмена с окружающими телами. В адиабатическом процессе параметры системы связаны уравнением адиабаты (адиабата Пуассона)

pV γ = const ,

где γ =Cp CV - показатель адиабаты; γ = 5/3, 7/5 и 4/3 – для одно-, двух- и

трехатомных молекул с жесткой связью.

Второе начало термодинамики. Периодически действующее устройство, преобразовывающее тепловую энергию в работу, называется тепловой машиной. Необходимыми элементами тепловой машины являются: нагреватель, от которого машина получает количество теплоты Q1 , холодильник, которому она

отдает количество теплоты Q2 , и рабочее тело, которое совершает работу А. КПД тепловой машины определятся выражением

η= A = Q1 −Q2 .

Q1 Q1

КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, зависит только от температуры нагревателя T1 и холодильника T2 и дается формулой

η = T1 −T2 .

T1

КПД реальной тепловой машины всегда меньше КПД идеальной, работающей в тех же условиях.

Второе начало термодинамики устанавливает направление протекания термодинамических процессов в системе. Существует несколько эквивалентных формулировок II начала термодинамики:

формулировка Томсона: невозможно организовать круговой процесс, единственным результатом которого является полное преобразование тепла одного тела в работу;

формулировка Клаузиуса: тепло не может самопроизвольно переходить от горячего тела к холодному;

закон возрастания энтропии: в замкнутой системе энтропия не убывает; вечный двигатель II рода: невозможна тепловая машина с КПД равным

единице (η < 1).

Энтропия. Энтропией называют функцию состояния, приращение которой в обратимом процессе равно приведенному теплу, полученному системой

∆S = ∫2 dQ .

1 T

По II началу термодинамики в замкнутой системе энтропия не убывает

∆S ≥ 0.

Приращение энтропии для одного моля идеального газа равно

∆S =CV ln T2 + RlnV2 .

T1 V1

34

Основное уравнение термодинамики имеет вид

TdS = dU + pdV .

Явления переноса. Молекулы газа при движении сталкиваются между собой. Средняя длина λ свободного пробега молекул (среднее расстояние между двумя последующими соударениями молекулы) определяется выражением

λ = 21σn ,

где σ = πd 2 - площадь эффективного сечения, d - эффективный диаметр молекул, n – концентрация молекул.

При нарушении термодинамического равновесия в системе возникают потоки массы, импульса и тепла. Плотность потока j переносимой величины G

пропорциональна ее градиенту

j = −13 nλv G ,

где v - средняя скорость теплового движения молекул.

Сила вязкого трения определяется согласно закону Ньютона по формуле

τ = ηdudx = 13 nλvm0 dudx ,

где η- коэффициент вязкости, m0 - масса молекулы, u – скорость упорядоченно-

го движения газа, координата х направлена по нормали к скорости u. По закону Фурье для теплопроводности плотность потока тепла

где α - коэффициент теплопроводности, Т – температура. По закону Фика для диффузии плотность потока массы

jmi = −D dndxi = 13 λv dndxi ,

где D - коэффициент диффузии, ni - концентрация i - той компоненты в смеси.

Реальные газы. Газ Ван-дер-Ваальса. Уравнение Ван-дер-Ваальса учи-

тывает взаимодействие и размеры молекул и для одного моля газа имеет вид

(p + aV 2 )(V −b)= RT ,

где а и b – поправки, которые учитывают взаимодействие и размеры молекул. Внутренняя энергия газа Ван-дер-Ваальса для одного моля

U =CV T − Va .

Поверхностное натяжение. По разные стороны искривленной поверхности жидкости давление разное. Избыточное давления ∆p под искривленной по-

верхностью жидкости задается формулой Лапласа

35

где σ - коэффициент поверхностного натяжения, R1 и R2 - главные радиусы кривизны поверхности. Для сферической поверхности R1 = R2 = R и

∆p = 2Rσ .

Высота h подъема жидкости внутри круглого капилляра радиуса r равна h = 2σρcosgr θ,

где θ - краевой угол (θ = 0 или π при полном смачивании и несмачивании).

С наличием свободной поверхности S в жидкости связана поверхностная энергия US , которая определяется выражением

US = σS .

Фазовые переходы. Вещество может находиться в 3х агрегатных состояниях (фазах): твердое, жидкое и газообразное. Переход вещества из одного агрегатного состояния в другое называется фазовым переходом: плавление и кристаллизация (твердое ↔ жидкое), испарение и конденсация (жидкое ↔ газообразное), сублимация (твердое ↔ газообразное).

Количество теплоты при нагревании тела определяется по формуле

Q = cm(T2 −T1 )

где m – масса тела, с – удельная теплоемкость, T1 и T2 начальная и конечная

температура тела.

Количество теплоты при фазовом переходе определяется по формуле

Q = qm ,

где q – удельная теплота фазового перехода, m – масса тел.

При теплообмене выполняется уравнение теплового баланса

∑Qi + ∑Qj = 0 , Qi = mici (Ti −T ), Qj = q j m j ,

где Qi и Qj - тепло, полученное при нагревании и фазовых переходах тел.

Уравнение Клапейрона – Клаузиуса связывает параметры состояния для фазового перехода

где q – удельная теплота фазового перехода, v1 =1ρ1 ,v2 =1ρ2 и v2 - удельные объемы первой и второй фазы, Т – абсолютная температура фазового перехода.

2.2.Примеры решения типовых задач

1.Давление воздуха внутри плотно закупоренной бутылки при температу-

ре t1 = 7 °С было р1 = 100 кПа. При нагревании бутылки пробка вылетела. До какой температуры t2 нагрели бутылку, если известно, что пробка вылетела при давлении воздуха в бутылке р2 = 130 кПа?

Решение. При нагревании закупоренной бутылки происходит изохорный процесс (V = const ), который описывается законом Шарля

описывается законом Бойля-Мариотта

Решая систему уравнений (1) и (2), находим начальное давление

p0 = p(h2h− ∆l l2 ) = 50 кПа = 375 мм рт. ст.

2 ∆

3. Каков должен быть вес Р оболочки детского воздушного шарика, наполненного водородом, чтобы результирующая подъемная сила шарика F = 0, т. е. чтобы шарик находился во взвешенном состоянии? Воздух и водород находятся при нормальных условиях. Давление внутри шарика равно внешнему давлению. Радиус шарика r = 12,5 см.

Решение. На шарик действует сила тяжести mg и сила Архимеда FA , ко-

торые при равновесии скомпенсированы. Шарик находится во взвешенном состоянии, значит сумма силы тяжести m2 g шарика с водородом и веса оболочки

Массу воздуха и водорода найдем из уравнения Менделеева-Клайпейрона

37

m = µp0V , RT0

где V = 43 πr3 – объем шарика, p0 =105 Па, Т0 = 273 К - давление и температура при нормальных условиях (НУ). Молярная масса воздуха µ1 = 29 г/моль, мо-

4. Закрытый сосуд объемом V = 2 л наполнен воздухом при нормальных условиях. В сосуд вводится диэтиловый эфир (С2Н5ОС2Н5). После того, как весь эфир испарился, давление в сосуде стало р = 0,14 МПа. Какая масса mэ

эфира была введена в сосуд?

Решение. Согласно уравнению Менделеева-Клайперона, в начальный момент, когда сосуд был заполнен воздухом

где µэ- молярная масса диэтилового эфира (С2Н5ОС2Н5), которую определим по его химической формуле: µэ = 12×4+1×10+16 = 74 г/моль.

Из уравнения (2) найдем массу эфира

mэ = (p − p0 )Vµэ = 2,5 г.

RT0

5. Найти плотность ρ воздуха: а) у поверхности Земли; б) на высоте h = 4 км от поверхности Земли. Температуру воздуха считать постоянной и равной t = 0 °С. Давление воздуха у поверхности Земли р0 = 100 кПа.

Решение. Для решения задачи воспользуемся распределением Больцмана

где n0 и n – начальная концентрация молекул и концентрация на высоте h, µ - молярная масса, R – универсальная газовая постоянная, Т – температура.

Учитывая, что плотность ρ пропорциональна концентрации (ρ = m0n , где m0 – масса молекулы), получаем из (1) выражение для плотности

38

Плотность ρ0 найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона

ρ0 = p0µ = 1,28 кг/м3.

RT0

Из (2) найдем плотность на высоте h:

ρ=ρ0 exp − µgh = 0,774 кг/м3.

RT

6.Какая часть молекул n кислорода при температуре t = 0 °С обладает скоростями v в интервале от v1 = 100 до v2 = 110 м/с?

Решение. Количество молекул, имеющих скорость в заданном интервале скоростей, найдем по распределению Максвелла

Учитывая, что ширина интервала ∆v = v2 − v1 = 10 м/с значительно меньше

значений скорости на концах интервала, интеграл (1) вычислим приближенно по формуле о среднем значении

где v = (v1 + v2 )2 = 105 м/с – среднее значение скорости в заданном интерва-

ле. Подставляя числовые значения, находим

n = 0,004 = 0,4 %.

7. Масса m = 10 г кислорода находится при давлении р = 0,3 МПа и температуре t = 10 °С. После нагревания при p = const газ занял объем V2 = 10 л. Найти количество теплоты Q, полученное газом, и энергию теплового движения молекул газа U до и после нагревания.

Решение. Так как кислород - двухатомный газ, то у его молекул і = 5 степеней свободы. Значит, энергия теплового движения молекул кислорода до и после нагревания будет

где ∆U =U2 −U1 - изменение внутренней энергии газа.

Неизвестные V1 и T2 найдем из уравнений для начального и конечного состояний газа

Подставляя числовые данные, получим

39

U1 =1,8 кДж, U2 =7,6 кДж, Q = 7,9 кДж.

8. Для нагревания некоторой массы газа на ∆t1 = 50 °С при р = const необ-

ходимо затратить количество теплоты Q1 = 670 Дж. Если эту же массу газа охладить на ∆t2 = 100 °С при V = const, то выделяется количество теплоты

9. В сосуде под поршнем находится масса m = 1 г азота. Какое количество теплоты Q надо затратить, чтобы нагреть азот на ∆T = 10 К? На сколько при этом поднимется поршень? Масса поршня М = 1 кг, площадь его поперечного сечения S = 10 см2. Давление над поршнем р = 100 кПа.

Решение. Согласно первому закону термодинамики

где ∆U - изменение внутренней энергии газа, А – совершенная газом работа. Для двухатомного газа азота количество степеней свободы і = 5 и

где µ = 28 г/моль – молярная масса азота.

При расширении газ совершает работу против сил тяжести и атмосферного давления, которую найдем по формуле

Из условия задачи следует, что давление газа будет постоянным, т.к. определяется весом поршня и внешним атмосферным давлением. Из уравнения Менде-

леева-Клайперона pV = mµ RT найдем приращение объема

∆h = ∆SV = 2,8 см.

10. Газ расширяется адиабатически так, что его давление уменьшается от p1 = 200 кПа до р2 = 100 кПа. Затем он нагревается при постоянном объеме до первоначальной температуры, причем его давление становится равным p = 122 кПа. Найдите отношение Cp CV для этого газа. Начертите график это-

11. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Рабочим телом является воздух, который при давлении р1 = 708 кПа и температуре t1 = 127 °C занимает объем V1 = 2 л. После изотермического расширения воздух занял объем V2 = 5 л; после адиабатического расширения объем стал V3 = 8 л. Найти: а) координаты пересечения изотерм и адиабат; б) работу А, совершаемую на каждом участке цикла; в) полную работу А, совершаемую за весь цикл; г) КПД цикла; д) количество теплоты Q1, полученное от нагревателя за цикл; е) количество теплоты Q2, отданное холодильнику за цикл.

температуру воздуха

T3 =T2 p3V3 = 330 К. p2V2

Точка 4 лежит на изотерме, поэтому температура T4 =T3 = 330 К. Кроме

того, эта точка лежит на пересечении изотермы 3-4 и адиабаты 1-4. Поэтому параметры в этой точке связаны уравнениями Бойля-Мариотта и адиабаты

Поделив почленно уравнения, найдем объем, а затем и давление воздуха

Таким образом, параметры состояния воздуха во всех точках рассчитаны. Работу газа в изотермическом процессе 1-2 определим по формуле

Работу газа в изотермическом процессе 3-4 определим по формуле

42

Работу газа в адиабатическом процессе 4-1 определим по формуле

Как видно, при сжатии газа его работа отрицательная. А это означает, что в этих процессах над газом совершается работа. Полную работу за цикл найдем как алгебраическую сумму всех работ

A = ∑Ai = 230 Дж.

Как известно, КПД цикла Карно можно найти по формуле

η= T1 −T2 = 0,175,

T1

где Т1 и Т2 – температуры нагревателя и холодильника.

С другой стороны КПД тепловой машины определяется выражением

η= A = Q1 −Q2 ,

Q1 Q1

где Q1 и Q2 – количество теплоты, полученное от нагревателя и отданное холодильнику.

Отсюда находим Q1 и Q2:

Q1 = ηA = 1300 Дж, Q2 =Q1 − A = 1070 Дж.

Количество теплоты Q1 можно найти другим способом, используя I начало термодинамики. Для процесса 1 – 2 по I началу термодинамики с учетом

U = const имеем: Q1 = ∆U + A12 = A12 = 1300 Дж.

12. Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено газом. Радиусы цилиндров равны r = 5 см и R = 5,2 см. Высота внутреннего цилиндра h = 25 см. Внешний цилиндр вращается с частотой n = 360 об/мин. Для того чтобы внутренний цилиндр оставался неподвижным, к нему надо приложить касательную силу F = l,38 мН. Рассматривая в первом приближении случай как плоский, найти из

данных этого опыта вязкость η газа, находящегося между цилиндрами.

Решение. Эта задача связана с вязкостью газа, которая проявляется, если соседние слои газа движутся с разными скоростями. По условию прилипания вязкий газ вблизи поверхности движется со скоростью поверхности. В данном примере газ возле внешнего цилиндра движется со скоростью вращения цилиндра v = 2πRn , а возле внутреннего цилиндра – покоится (рис. 2.4). По закону вязкого трения Ньютона, сила трения равна

тр ∆x

площадь поверхности, вдоль которой действует сила вязкого трения. Направлена эта сила против относительного h движения слоев газа.

По условию задачи Fтр скомпенсирована внешней силой F, для которой получаем уравнение

из которого находим коэффициент вязкости

η= F(R − r)= 18 мкПа с.

4π2 Rrnh

13. Между двумя пластинами, находящимися на расстоянии d = 1 мм друг от друга, находится воздух. Между пластинами поддерживается разность температур ∆T = 1 К. Площадь каждой пластины S = 0,01 м2. Какое количество теплоты Q передается за счет теплопроводности от одной пластины к другой за время t = 10 мин? Считать, что воздух находится при нормальных условиях. Диаметр молекул воздуха d = 0,3 нм.

Решение. Количество теплоты, передаваемое через воздух от одной пластины к другой за время t определим по закону Фурье

ния молекул воздуха, Cv = 52 R - молярная теплоемкость при постоянном объеме, n – концентрация молекул, N A - число Авогадро.

Концентрацию молекул найдем из основного уравнения молекулярнокинетической теории

p = nkT ,

где k = RN A = 1,38 10-23 Дж/К- постоянная Больцмана.

Подставляя все выражения в (1), и учитывая нормальные условия (Т= 273 К, р = 105 Па), находим количество переданнойтеплоты

14. Найти изменение ∆S энтропии при превращении массы m = 10 г льда

44

при температуре t = - 20 °С в пар при температуре tп = 100 °С.

Решение. Изменение энтропии при переходе вещества из состояния 1 в состояние 2 определяется выражением

∆S = ∫2 dQ .

1 T

При переходе вещества из одного агрегатного состояния в другое, общее изменение энтропии складывается из ее изменений в отдельных процессах:

∆S = ∆S1 + ∆S2 + ∆S3 + ∆S4 , где ∆S1 , ∆S2 , ∆S3 и ∆S4 - изменение энтропии при нагревании льда, плавлении льда, нагревании воды и испарении воды. При

нагревании льда от T =t + 273 = 253К до температуры плавления T0 = 273 К

15. Найти изменение энтропии ∆S при переходе массы m = 6 г водорода от объема V1 = 20 л под давлением p1 = 150 кПа к объему V2 = 60 л под давлением

р2 = 100 кПа.

Решение. Изменение энтропии при переходе вещества из состояния 1 в состояние 2 определяется выражением

По первому началу термодинамики

45

где ν = mµ - количество молей вещества, µ = 2 г/мольмолярная масса водорода, CV =5R2 - молярная теплоемкость водорода как двухатомного газа при по-

стоянном объеме.

Подставляя (2) в (1) и интегрируя, получаем

где температура исключена на основании уравнения состояния pV = νRT .

Подставляя числовые данные, находим приращение энтропии

∆S = 70,6 Дж/К.

2.3. Задачи для работы в аудитории

1.Каким должен быть наименьший объем V баллона, вмещающего мас-

су m = 6,4 кг кислорода, если его стенки при температуре t = 20 °C выдерживают давление р = 15,7 МПа?

Ответ: V = 31 л.

2.Посередине откачанного и запаянного с обоих концов капилляра, расположенного горизонтально, находится столбик ртути длиной l = 20 см. Если

капилляр поставить вертикально, то столбик ртути переместится на l = 10 см. До какого давления р0 был откачан капилляр? Длина капилляра L = 1 м.

Ответ: р0 = 375 мм рт. ст. = 50 кПа.

3. Масса m = 10 г кислорода находится при давлении p = 304 кПа и температуре t1 = 10 °C. После расширения вследствие нагревания при постоянном давлении кислород занял объем V2 = 10 л. Найти объем V1 до расширения, тем-

пературу t2 газа после расширения, плотности ρ1 и ρ2 газа до и после расширения.

Ответ: V1 = 2,4 л; t2 = 1170 °К; ρ1 = 4,14 кг/м3; ρ2 = 1 кг/м3.

4. В закрытом сосуде объемом V = 1 м3 находится масса m1 = 1,6 кг кислорода и масса m2 = 0,9 кг воды. Найти давление р в сосуде при температуре

t = 500 °С, зная, что при этой температуре вся вода превращается в пар. Ответ: р = 640 кПа.

5.Закрытый сосуд объемом V = 2 л наполнен воздухом при нормальных

условиях. В сосуд вводится диэтиловый эфир (С2Н5ОС2Н5). После того, как весь эфир испарился, давление в сосуде стало равным р = 0,14 МПа. Какая масса m эфира была введена в сосуд?

Ответ: m = 2,5 г.

6.Какая часть молекул n кислорода при температуре t = 0 °С обладает скоростями v в интервале от 100 до 110 м/с?

Ответ: n = 0,4 %.

7.Найти плотность ρ воздуха: а) у поверхности Земли; б) на высоте h = 4 км от поверхности Земли. Температуру воздуха считать постоянной и

равной t = 0 °С. Давление воздуха у поверхности Земли р0 = 100 кПа.

Ответ: а) ρ = 1,28 кг/м3 б) ρ = 0,78 кг/м3.

8.Масса m = 10 г кислорода находится при давлении р = 0,3 МПа и температуре t = 10 °С. После нагревания при p = const газ занял объем V2 = 10 л.

46

Найти количество теплоты Q, полученное газом, и энергию теплового движения молекул газа U1 и U2 до и после нагревания.

Ответ: Q = 7,9 кДж; U1 = 1,8 кДж; U2 = 7,6 кДж.

9. Для нагревания некоторой массы газа на ∆t1 = 50 °С при р = const необходимо затратить количество теплоты Q1 = 670 Дж. Если эту же массу газа охладить на ∆t2 = 100 °С при V = const, то выделяется количество теплоты Q2 = 1005 Дж. Какое число степеней свободы i имеют молекулы этого газа?

Ответ: i = 6.

10. В сосуде под поршнем находится масса m = 1 г азо та. Какое количество теплоты Q надо затратить, чтобы нагреть азот на ∆T = 10 К? На сколько при этом поднимется поршень? Масса поршня М = 1 кг, площадь его поперечного сечения S = 10 см2. Давление над поршнем р = 100 кПа.

Ответ: Q = 10,4 Дж, ∆h = 2,8 см.

11. В сосуде под поршнем находится газ при нормальных условиях. Расстояние между дном сосуда и поршнем h = 25 см. Когда на поршень положили груз массой m = 20 кг, поршень опустился на ∆h = 13,4 см. Считая сжатие адиабатическим, найти для данного газа отношение CpCV . Площадь попереч-

ного сечения поршня S = 10 см2. Массой поршня пренебречь. Ответ: CpCV = 1,4.

12. Газ расширяется адиабатически от давления p1 = 200 кПа до давления р2 = 100 кПа. Затем он нагревается при постоянном объеме до первоначальной температуры, причем его давление становится равным p = 122 кПа. Найдите отношение CpCV для этого газа. Начертите график этого процесса.

Ответ: CpCV = 1,4.

13. Масса m = 10 г кислорода, находящегося при нормальных условиях, сжимается до объема V2 = 1,4 л. Найти давление р2 и температуру t2 кислорода после сжатия, если кислород сжимается: а) изотермически; б) адиабатически. Найти работу А сжатия в каждом из этих случаев.

Ответ: а) р2 = 510 кПа; Т2 = 273 К; А = - 1140 Дж; б) р2 = 960 кПа; Т2 = 520 К; А = - 1590 Дж.

14. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Воздух при

давлении р1 = 708 кПа и температуре t1 = 127 °C занимает объем V1 = 2 л. После изотермического расширения воздух занял объем V2 = 5 л; после адиабатического расширения объем стал равным V3 = 8 л. Найти: а) координаты пересечения изотерм и адиабат; б) работу А, совершаемую на каждом участке цикла; в) полную работу А, совершаемую за весь цикл; г) КПД цикла; д) количество теплоты Q1, полученное от нагревателя за цикл; е) количество теплоты Q2, отданное холодильнику за цикл.

Ответ: а) V1 = 2 л, р1 = 708 кПа, V2 = 5 л, р2 = 284 кПа, V3 = 8 л, р3 = 146 кПа, V4 = 3,22л, р4 = 365 кПа;

б) А1 = 1300 Дж, А2 = 620Дж, А3 = - 1070 Дж, А4 = - 620 Дж;

в) А = ∑Ai = 230 Дж; г) КПД = 0,175;

д) Q1 = 1300 Дж; е) Q2 = 1070 Дж.

47

15. Найти изменение ∆S энтропии при превращении массы m = 10 г льда при температуре t = - 20 °С в пар при температуре tп = 100 °С.

Ответ: ∆S = 88 Дж/ К.

16. Найти изменение ∆S энтропии при переходе массы m = 8 г кислорода от объема V1 = 10 л при температуре t1 = 80 °С к объему V2 = 40 л при темпера-

туре t2 = 300 °С.

Ответ: ∆S = 5,4 Дж/ К.

17.Объем V1 = 1 м 3 воздуха, находящегося при температуре t1 = 0 °С и давлении p1 = 98 кПа, изотермически расширяется от объема V1 до объема V2 = 2V1. Найти приращение энтропии ∆S в этом процессе.

Ответ: ∆S = 500 Дж/К.

18.Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено газом. Радиусы цилиндров равны r = 5 см и R = 5,2 см. Высота внутреннего цилиндра h = 25 см. Внешний цилиндр вращается с частотой n = 360 об/мин. Для того чтобы внутренний цилиндр оставался неподвижным, к нему надо приложить касательную силу F = l,38 мН. Рассматривая в первом приближении слу-

чай как плоский, найти из данных этого опыта вязкость η газа, находящегося между цилиндрами.

Ответ: η = 18 мкПа с.

19.Между двумя пластинами, расположенными на расстоянии а = 1 мм

друг от друга, находится воздух. Между пластинами поддерживается разность температур ∆T = 1 К. Площадь каждой пластины S = 0,01 м2. Какое количество теплоты Q передается за счет теплопроводности от одной пластины к другой за время t = 10 мин? Считать, что воздух находится при нормальных условиях. Диаметр молекул воздуха d = 0,3 нм.

Ответ: Q = 78 Дж.

20.Найти среднюю длину свободного пробега λ атомов гелия, если известно, что плотность гелия ρ = 0,021 кг/м3, а диаметр молекул d = 0,2 нм.

Ответ: λ = 1,8 мкм.

2.4.Задачи для самостоятельной работы

2.Какая должна быть масса m оболочки воздушного шарика, наполненного гелием, чтобы шарик находился во взвешенном состоянии? Воздух и гелий находятся при нормальных условиях. Давление внутри шарика равно внешнему давлению. Диаметр шарика d = 20 см.

Ответ: m = 4,6 г.

3.В запаянном сосуде находится вода, занимающая объем, равный половине объема сосуда. Найти давление р и плотность ρ водяного пара при тем-

пературе t = 400 °С, зная, что при этой температуре вся вода обращается в пар. Ответ: р = 155 МПа; ρ = 500 кг/м3.

48

4.В первом сосуде объемом V1 = 3 л находится газ под давлением р1 = 0,2 МПа. Во втором сосуде объемом V2 = 4 л находится тот же газ под давлением р2 = 0,1 МПа. Температуры газа в обоих сосудах одинаковы. Под каким давлением р будет находиться газ, если соединить оба сосуда трубкой? Объемом трубки пренебречь.

Ответ: р = 415 кПа.

5.В сосуде находятся масса m1 = 14 г азота и масса m2 = 9 г водорода

при температуре t = 10 °С и давлении р = 1 МПа. Найти молярную массу µ смеси и объем V сосуда.

Ответ: µ = 0,0046 кг/моль; V = 11,7 л.

6.Какая часть молекул азота при температуре Т имеет скорости, лежащие

винтервале от vв до vв + ∆ v, где vв – вероятная скорость, ∆ v = 20 м/с, если: а) T =

400 К; б) T = 900 К?

Ответ: a) vв = 487 м/с, ∆N/N = 3,4 %; б) vв = 731 м/с, ∆N/N = 2,2 %;

7.На какой высоте h плотность газа вдвое меньше его плотности на уровне моря? Температуру газа считать постоянной и равной t = 0 °С. Задачу решить для: а) воздуха, б) водорода.

Ответ: a) h = 5,5 км; б) h = 80 км.

8.Масса m = 12 г азота находится в закрытом сосуде объемом V = 2 л

Ответ: Q = 4,15 кДж.

9. Азот находится в закрытом сосуде объемом V = 3 л при те мпературе t1 = 27 °С и давлении р1 = 0,3 МПа. После нагревания давление в сосуде повысилось до р2 = 2,5 МПа. Найти температуру t2 азота после нагревания и количество теплоты Q, сообщенное азоту.

Ответ: T2 = 2500 K; Q = 16,5 кДж.

10. Двухатомному газу сообщено количество теплоты Q = 2,1 кДж. Газ расширяется при p = const. Найти работу А расширения газа.

Ответ: A = 600 Дж.

11. Двухатомный газ занимает объем V1 = 0,5 л при давлении р1 = 50 кПа. Газ сжимается адиабатически до некоторого объема V2 и давления p2. Затем он охлаждается при V2 = const до первоначальной температуры, причем его давление становится р0 = 100 кПа. Начертить график этого процесса. Найти объем V2

и давление р2.

Ответ: V2 = 0,25 л; р2 =132 кПа.

12. Масса m = 28 г азота, находящегося при температуре t1 = 40 °C и давлении p1 = 100 кПа, сжимается до объема V2 = 13 л. Найти температуру t2 и давление р2 азота после сжатия, если азот сжимается: а) изотермически; б) адиабатически. Найти работу А сжатия в каждом из этих случаев.

Ответ: а) Т2 = Т1 = 313 К; р2 = 0,20 МПа; А = - 1,80 кДж; б) Т2 = 413 К; р2 = 0,26 МПа; А = - 2,08 кДж.

13. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, за цикл получает от нагревателя количество теплоты Q1 = 2,512 кДж. Температура нагре-

49

вателя T1 = 400 К, температура холодильника T2 = 300 К. Найти КПД машины, работу А, совершаемую машиной за один цикл, и количество теплоты Q2, отдаваемое холодильнику за один цикл.

Ответ: КПД = 0,25; Q2 = 1,88 кДж; A = 630 Дж.

14. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. При этом n = 80 % количества теплоты, получаемого от нагревателя, передается холодильнику. Машина получает от нагревателя количество теплоты Q1 = 6,28 кДж. Найти КПД η цикла и работу А, совершаемую за один цикл.

Ответ η = 20 %, A = 1,26 кДж.

15.Найти приращение ∆S энтропии при превращении массы m = 1 г воды (t = 0 °С) в пар (tп = 100 сС).

Ответ: ∆S = 7,4 Дж/ К.

16.Найти изменение ∆S энтропии при переходе массы m = 6 г водорода

от объема V1 = 20 л под давлением p1 = 150 кПа к объему V2 = 60 л под давл е- нием р2 = 100 кПа.

17. Изменение энтропии на участке между двумя адиабатами в цикле Карно ∆S = 4,2 кДж/К. Разность температур между двумя изотермами ∆T = 100 К. Какое количество теплоты Q превращается в работу в этом цикле?

Ответ: Q = 420 кДж.

18. Найти среднюю длину свободного пробега λ, молекул водорода при давлении p = 0,133 Па и температуре t = 50 °С. Эффективный диаметр молекул водорода d = 0,23 нм.

Ответ: λ = 14,2 см.

19. Какое количество теплоты Q теряет помещение за время t = 1 ч через окно за счет теплопроводности воздуха, заключенного между рамами? Площадь каждой рамы S = 4 м2, расстояние между ними d = 30 см. Температура помещения t1 = 18 °С, температура наружного воздуха t2 = - 20 °С. Диаметр мо-

лекул воздуха d = 0,3 нм. Температуру воздуха между рамами считать равной среднему арифметическому температур t1 и t2 , давление воздуха р = 105 Па.

Конвекцией пренебречь. Ответ: Q = 24 кДж.

2.5. Задачи для контроля

1.В воздухе содержится с1 = 23,6 % кислорода и с2 = 76,4 % азота (по массе) при давлении р = 100 кПа и температуре t = 13 °С. Найти плотность ρ воздуха и парциальные р1 и р2 давления кислорода и азота.

2.В сосуде объемом V = 2 л находится m = 16 г кислорода при давлении

р= 0,1 МПа. Какое количество теплоты Q надо сообщить газу, чтобы его объем увеличился в два раза при постоянном давлении? Какая при этом совершена работа A, чему равно изменение внутренней энергии ∆U ?

50

3.При какой температуре t газа, состоящего из смеси азота и кислорода, наиболее вероятные скорости молекул азота и кислорода будут отличаться друг от друга на ∆v = 30 м/с?

4.Кислород в количестве ν = 1 кмоль, который находился при нормаль-

ных условиях (НУ: р0 = 105 Па, t0 = 0 °С), расширяется адиабатически от объема V1 до объема V2 = 5V1. Найти изменение внутренней энергии ∆U и работу A газа в этом процессе.

5.Один моль идеального газа расширяется изобарно от начального объема V1 до объема V2 в два раза больше начального. Затем газ охлаждается изо-

хорно до первоначальной температуры. Определить приращение внутренней энергии ∆U , работу А и количество теплоты Q, полученное газом. Изобразить процесс графически на диаграмме (p,V).

6. В закрытом сосуде объемом V = 1 м3 находится масса m1 = 1,6 кг кислорода и масса m2 = 0,9 кг воды. Найти давление р в сосуде при температуре t = 500 °С, зная, что при этой температуре вся вода превращается в пар.

7. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, получает от нагревателя Q1 = 1,5 кДж тепла и отдает холодильнику n = 75 % полученной

энергии. Найти КПД η цикла, работу A за цикл, количество теплоты Q2 , отданное холодильнику, отношение температур нагревателя и холодильника T1 T2 .

8. Тепловая машина, работающая по циклу Карно, совершает за один цикл работу А = 73,5 кДж. Температура нагревателя t1 = 100 °С, температура холодильника t2 = 0 °С. Найти КПД η машины и количество теплоты Q1 , полу-

ченное от нагревателя, и Q2 , отданное холодильнику.

9.Давление воздуха на уровне моря р0 = 100 кПа, а на вершине горы р1 = 78,6 кПа. Какова высота горы, если температура воздуха t = 15 °С?

10.Плотность газа ρ = 1,3 кг/м3, а средняя квадратичная скорость молекул vкв = 500 м/с. Найти давление р газа.

11.Найти изменение энтропии ∆S для m = 12,8 г кислорода при изобар-

ном нагревании от температуры t1 = 50 °С до температуры t2 =150 °С.

12. Найти изменение ∆S энтропии m = 6,6 г водорода при изобарном расширении от объема V до объема 2V.