таблица производных и интегралов

Таблица производных

Таблица интегралов

1. (C )' = 1, (x )' = 1

1.

∫dx = x +C

2. (xa )' = αxα−1

2.

∫xkdx =

xk +1

+C

, (k ≠ −1 )

k +1

1

1

'

1

dx

dx

3.

( x )' =

,

= −

3.

∫ x

= 2

x

+C ,

∫

x

= ln

x

+C

2 x

x 2

x

4. (ax )' = ax ln a ,

(ex )' = ex

4.

∫axdx =

ax

+C ,

∫exdx = ex +C

ln a

(loga x )

1

(ln x )

1

∫

dx

= ln

x

+C

5.

' =

,

' = x

5.

tg

2

x ln a

sin x

6.

(sin x )' = cos x

6.

dx

= ln

tg

x

+

π

x +C

∫cos x

4

2

7.

(cos x )' = −sin x

7.

∫sin xdx = −cos x +C

8.

(tgx )' =

1

8.

∫cos xdx = sin x +C

2

x

cos

9.

(ctgx )' = −

1

9.

∫

dx

= tgx +C

sin2 x

cos2 x

10. (arcsin x )' =

1

10. ∫

dx

= −ctgx +C

1 − x 2

sin2 x

11. (arccos x )' = −

1

11. ∫

dx

= arcsin x

+C

1 − x

2

2

2

a

− x

a

12. (arctgx )' =

1

12. ∫

dx

= ln

x +

x

2

±a

2

+C

x 2 ±a2

1 + x 2

13. (arcctgx )' = −

1

13. ∫

dx

=

1

ln

x −a

+C

1 + x 2

x 2

−a2

2a

x +a

14. ∫

dx

1

x

= a arctg a

+C

x 2

+a2

Правила дифференцирования и

Некоторые тригонометрические

интегрирования

формулы:

а)

Правила дифференцирования

1

sin2 x + cos2 x = 1; 1 − sin2 x = cos2 x;

1 − cos2 x = sin2 x.

1

Производная суммы:

2

sin2 x = 1 − cos 2x , cos2

x = 1 + cos 2x ,

(u ± v )' = u '± v '

2

2

2

Производная произведения:

3

1

(u v )'

= u ' v + u v '

sin α sin β = 2 (cos(α

− β) − cos(α + β))

3

(

)

'

= c u '

4

1

c u

sin α cos β = 2 (sin(α − β) + sin(α + β))

Производная частного:

5

1

u l

=

u ' v −u v '

cos α cos β = 2 (cos(α

+ β) + cos(α − β))

v2

v

5

Сложная функция:

Формулы сокращённого умножения

((f (ϕ(x)))' = f 'ϕ ϕ '(x)

б)

Правила интегрирования

1

(a ±b)2 = a2 ± 2ab +b2

1

∫(

f (x) ± g(x) dx =

∫

f (x)dx ±

∫

g(x

)

2

∫k f (x)dx = k ∫f (x)dx

2

a2 −b2 = (a −b)(a +b)

3

∫f (ax +b)dx =

=

1 ∫f (ax +b)d(ax +b)

a

4

∫f (ϕ(x)) ϕ '(x)dx ± ∫f (ϕ(x))dϕ(x

3

(a ±b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ±b3

a3 ±b3 = (a ±b)(a2 ab +b2 )

5

Интегрирование по частям

∫u dv = u v − ∫v du