3

Введение

Современное состояние общества характеризуется внедрением достижений научно-технического прогресса во все сферы деятельности. Создание сложных технических систем, проектирование и управление сложными комплексами, анализ экологической ситуации, особенно в условиях агрессивного техногенного воздействия, исследование социальных проблем коллективов, планирование развития регионов и многие другие направления деятельности требуют организации исследований, которые имеют нетрадиционный характер. Таким образом, в различных сферах деятельности приходиться сталкиваться с понятиями больших или сложных систем.

Вразных сферах практической деятельности развивались соответствующие методы анализа и синтеза сложных систем: в инженерной деятельности – системотехника, методы проектирования; в военной сфере – методы исследования операций, теория оптимального управления; в научных исследованиях – имитационное моделирование, теория эксперимента.

В80-е гг. XX в. все эти теоретические и прикладные дисциплины приобретают общую направленность, они образуют «системное движение».

Ввиду того, что сложные системы стали предметом изучения, проектирования и управления, потребовалось обобщение методов исследования систем. В последнее время это движение оформилось в науку, которая получила название «системный анализ». Основу математического аппарата системного анализа составляют линейное и нелинейное программирование, теория принятия решений, теория игр, имитационное моделирование, теория массового обслуживания, теория статистических выводов и т.п.

Внастоящее время методы системного анализа получили широкое применение при перспективном и текущем планировании научно-

4

исследовательских работ, проектировании различных объектов, управлении производственными и технологическими процессами, прогнозировании развития отдельных отраслей промышленности и сельского хозяйства. Особенно часто к ним обращаются при решении задач распределения трудовых ресурсов и производственных запасов, назначения сроков профилактического ремонта оборудования, выбора средств транспортировки грузов, составления маршрутов и расписаний перевозок, размещения новых производственных комплексов и целого ряда других.

Отметим еще одну особенность задач системного анализа, а именно, требование оптимальности принимаемых решений. То есть, в настоящее время перед системными аналитиками ставится задача не просто разрешения той или иной проблемы, а выработка таких рекомендаций, которые бы гарантировали оптимальность решения.

5

Раздел 1. Основные понятия

1.1. Теория систем. Системный анализ. Исследование операций

Существенной особенностью процесса развития прикладных наук, используемых в сфере организационного управления, явилось отсутствие одного важного элемента: функция общего руководства развивалась без привлечения науки.

Всегда, когда общая задача организационного управления разбивается на ряд частных задач, возникает необходимость объединения, или интеграции, этих функций в интересах достижения общей цели. Решение такой задачи и составляет содержание функции общего руководства.

Для реализации этой функции общего руководства должны быть обязательно определены цели подразделений, подчиненных руководителю, и заданы критерии, позволяющие оценивать степень достижения этих целей (критерии оценки деятельности подразделений). Так, например, для основных функциональных подразделений руководители фирм обычно устанавливают следующие цели.

Производство. Максимизировать количество производимых товаров (или услуг) и минимизировать удельные издержки производства.

Сбыт. Максимизировать объем проданных товаров и минимизировать удельные издержки сбыта.

Финансирование. Минимизировать объем капитала, требуемого для обеспечения заданного уровня производства продукции.

Кадры. Обеспечить добросовестное выполнение персоналом своих служебных обязанностей и высокую производительность труда.

С такими целями в принципе все согласны, но, так как они часто противоречивы, их очень трудно реализовать на практике. Вследствие этого возникают конфликты между функциональными подразделениями.

6

Рассмотрим в качестве примера отношение к стратегии управления запасами, характерное для каждого из перечисленных функций подразделений.

Производственный отдел стремится выпускать как можно больше продукции при наименьших затратах. Этого можно достичь, производя непрерывно всего один вид продукции. Если нужно выпускать различные изделия, то самым дешевым способом является выпуск максимально возможного количества изделий в течение производственного цикла. Такая стратегия минимизирует потери времени на переналадку оборудования, обеспечивая получение выгод, связанных с длительными производственными циклами. Если бы производственному отделу удалось настоять на выпуске относительно небольшой номенклатуры изделий в течение длительных и непрерывных производственных циклов, то возникли бы большие запасы продукции при относительно небольшом числе изделий. И действительно, производственный отдел, как правило, предпочитает стратегию, допускающую образование больших запасов при узкой номенклатуре выпускаемых изделий.

Отдел сбыта также заинтересован в больших запасах, чтобы удовлетворить любые запросы потребителя в любой момент времени. Этот отдел стремится продать как можно больше продукции, и поэтому должен предлагать максимально широкую номенклатуру изделий. Вследствие этого между производственным отделом и отделом сбыта обычно возникает конфликт по поводу номенклатуры выпускаемых изделий.

Также и финансовый отдел и отдел кадров имеют различные представления о том, какова должна быть стратегия управления запасами фирмы.

Но задача руководителя как раз в том и заключается, чтобы выбрать такую стратегию управления запасами, которая наилучшим способом служит интересам фирмы в целом, а не интересам одного из подчиненных ему подразделений. Решение этой задачи требует, чтобы учитывались интересы

7

всей системы.

Итак, в основе современного научного подхода к управлению лежит

системный принцип.

Ценность системного принципа для управления предприятием можно понять, рассмотрев два аспекта работы управляющего. Во-первых, он стремится добиться суммарной эффективности своей организации и не допустить, чтобы частные интересы какого-либо одного элемента организации повредили общему успеху. Во-вторых, он должен добиваться этого в условиях организационной среды, которая всегда содержит противоречащие друг другу цели.

Системный принцип, или системный подход, - это всего лишь признание того, что всякая организация представляет собой систему, состоящую из частей, каждая из которых обладает своими собственными целями. Управляющий понимает, что достигнуть общих целей организации можно только в том случае, если рассматривать ее как единую систему.

Таким образом, можно утверждать, что системный анализ занимается в основном анализом функциональных систем, т.е. систем, работа которых определяется решениями людей (в противоположность, например, физическим системам, которые подчиняются лишь законам природы).

Теория систем традиционно всегда была тесно связана с проектированием и разработкой сложных систем (первая разработка в этой области предпринята для телефонии), тогда как системный анализ обеспечивал математическое описание процессов функционирования и управления. Системный анализ ориентирован на решение задач, для которых можно построить математические модели, позволяющие получать оптимальные решения. Что касается теории систем, то она, используя формальные построения, имеет дело с более сложными задачами и ее методы являются более глобальными и абстрактными. В теории систем учитываются социальные и биологические факторы, которые пока трудно оценить количественно.

8

Система является совокупностью динамически взаимосвязанных элементов, смыслом эволюции которой является достижение некоторой цели. Теория систем занимается прежде всего выявлением механизма достижения этой цели, а также механизмов саморегулирования и перехода в состояние равновесия. Системный анализ, ориентированный на построение количественных моделей упомянутых выше механизмов функционирования сложных систем, способен внести в эту теорию важный вклад. Таким образом, правомерно рассматривать системный анализ как одну из дисциплин, способствующих развитию общей теории систем.

1.2. Системы и их свойства

Определение. Система – это множество объектов вместе с отношениями между объектами и между их атрибутами.

Это определение предполагает, что система имеет свойства, функции и цели, отличные от свойств, функций и целей составляющих ее объектов, отношений и атрибутов.

Определение. Объекты – это просто части системы.

Большинство систем состоит из физических частей: атомов, переключателей, пружин и т.д., но в систему могут входить и абстрактные объекты: математические переменные, уравнения, законы и т.п.

Определение. Атрибуты – это свойства объектов.

Например, приведенные выше в качестве примера объекты наряду с другими имеют следующие атрибуты: атомы – число электронов на орбитах, атомный вес; пружины – упругость, перемещение.

Определение. Отношение – одна из форм всеобщей взаимосвязи всех предметов, явлений, процессов в природе, обществе, мышлении.

Отношения предметов друг к другу исключительно многообразны: причина и следствие, часть и целое, подчинение и соподчинение, аргумент и функция, следование во времени, и т.д. В математике и логике используют

9

такие виды отношений, как «… больше чем…», «…включено в…», «…влечет за…» и т.п.

В определении системы отмечено, что для всех систем характерно наличие отношений между объектами и между их атрибутами.

Определение. Если каждая часть системы так соотносится с каждой другой частью, что изменение в некоторой части вызывает изменения во всех других частях и во всей системе в целом, то система ведет себя как целостность, или как некоторое связанное образование.

Определение. Если в совокупности совершенно не связанных между собой объектов изменение в каждой части совокупности зависит только от самой этой части, а изменение в совокупности в целом является физической суммой изменений в ее отдельных частях, то такая совокупность называется

обособленной или физически аддитивной.

Понятия целостности и обособленности могут быть использованы для того, чтобы качественно определить другие свойства, часто наблюдающиеся в физических системах. Большинство неабстрактных систем изменяются во времени.

Определение. Если изменения системы во времени приводят к постепенному переходу от целостности к обособленности, то это означает,

что система подвержена прогрессирующей изоляции.

Различают два типа прогрессирующей изоляции. Первый простейший тип соответствует распаду. Примером распада физической системы может служить, в частности, вышедший из строя радиоприемник. Второй тип прогрессирующей изоляции соответствует росту. В этом случае система изменяется в направлении возрастающего деления на подсистемы или в направлении возрастающей дифференциации функций. Этот тип изоляции возникает обычно в системах, в которых протекают процессы эволюции и развития.

10

Определение. Если изменения системы во времени приводят к постепенному переходу от обособленности к целостности, то это означает,

что система подвержена прогрессирующей систематизации.

Процесс изменения системы в отношении увеличения ее целостности может состоять в усилении ранее существовавших отношений между частями; развитии отношений между частями, ранее не связанными между собой; постепенном добавлении частей и отношений в систему или в комбинации этих изменений. Рассмотрим в качестве примера развитие телефонной сети, действующей на большие расстояния. На начальном этапе по всей стране появляются местные телефонные коммутаторы. Затем коммутаторы соединяются междугородними линиями. С усовершенствованием методов передачи прибавляются новые коммутаторы, действующие на все большие расстояния. Далее создается автоматический набор телефонного номера, что отдает сеть в распоряжение операторов и в конечном счете в распоряжение клиентов.

Определение. Централизованная система – это такая система, в

которой один элемент или одна подсистема играет главную роль в функционировании всей системы. Эта часть называется ведущей частью системы или ее центром.

Малые изменения в ведущей части отражаются на всей системе, вызывая значительные изменения в ней. Прогрессирующая изоляция и прогрессирующая систематизация могут сопровождаться прогрессирующей централизацией. В этом случае система эволюционирует так, что одна ее часть берет на себя функции центрального и управляющего органа.

Предположим, что система полностью определяется переменными x1 ,x2 ,...,xn . Тогда состояние системы можно описать множеством n чисел.

Множество всех точек n-мерного пространства, включающие возможные состояния системы, называется множеством состояний системы. Чтобы описать поведение системы рассматриваемого типа, достаточно определить возможные траектории в множестве состояний для данной системы, или,

11

другими словами, последовательность состояний, через которые проходит система в процессе эволюции. Если для простоты предположить, что систему определяют две переменные, то множеством состояний будет обычная евклидова плоскость, а возможными траекториями – кривые на плоскости.

Определение. Если систем обладает свойством, что при данном начальном состоянии однозначно определяется траектория ее эволюции, то такая система называется системой, определяемой состоянием.

Подобные системы обладают важным математическим свойством, которое приведем без доказательства.

Для того, чтобы система являлась системой, определяемой состоянием, необходимо и достаточно, чтобы ее переменные удовлетворяли следующей систем уравнений:

dxdt1 = f1 (x1 ,...,xn ),

M

dxdtn = fn (x1 ,...,xn ).

где f1 ,...,fn суть однозначные функции.

Рассмотрим в качестве примера систему, частями которой являются пружина, груз определенной массы и твердая поверхность, скажем, потолок. Вообще говоря, эти объекты не связаны друг с другом. Но если прикрепить пружину к потолку и подвесить к ней груз, то между ними появятся особые отношения, свойственные созданной таким образом системе. Длина пружины, расстояние груза от потолка, упругие свойства пружины и размер груза – все это находится в некоторых отношениях друг с другом. Определенная таким образом система есть статическая система, так как ее свойства не изменяются со временем. Задав начальное отклонение от положения равновесия, получим для груза определенное значение скорости движения, зависящее от массы груза и упругих свойств пружины. Положение груза будет изменяться во времени, и в таком случае система является

динамической системой.

12

Примером системы, не имеющей физической природы, является система уравнений действительных переменных. Наиболее очевидным атрибутом действительной переменной является ее числовое значение. Отношения между переменными обычно формулируются в виде уравнений. Для примера возьмем две переменные x1 и x2 , удовлетворяющие двум линейным уравнениям

Отношения между переменными определяются константами и ограничениями, наложенными одновременно на все данные величины. Эта система может рассматриваться как статическая по аналогии со статической системой «пружина-груз». Эта аналогия определяется тем, что числа, которые удовлетворяют уравнениям, фиксированы, точно так же как, например, была вполне определенной длина пружины в механическом примере.

С другой стороны, введение времени t дает, например, систему следующего вида:

Эта система может быть названа динамической. В этом случае решение уравнений является функцией времени, точно так же как длина пружины в динамической системе оказывается функцией времени.

Термины «статический» и «динамический» всегда относятся к системам уравнений, которые представляют собой абстрактные модели физических систем.

13

1.3. Абстрактные системы как модели

Две рассмотренные системы являются примером использования одного из самых плодотворных путей анализа физических систем – метода абстракции.

Возвращаясь к простейшему примеру соединения груза и пружины, получим иллюстрацию этого метода. В статическом случае интересующие нас атрибуты объектов системы таковы: постоянная K, определяющая свойства пружины, перемещение x и вес груза W. Они связаны в рамках закона упругости Гука линейным уравнением

чтобы изучить физическую систему, она заменяется абстрактной системой с теми же отношениями, и тогда задача становится чисто математической. Такого рода аналогия имеет место и в динамическом случае; только в этом случае физическая система представляется системой дифференциальных, а не линейных алгебраических уравнений. В этом случае говорят о создании математической модели системы. Степень, с которой модель согласуется с реальным поведением системы, является мерой применимости модели для изучения данной системы.

Для того чтобы систему можно было достаточно успешно изучать с помощью математических методов, должны быть выполнены следующие условия:

1)должны быть хорошо известны имеющиеся в системе отношения между объектами;

2)должны быть определены количественные значения существенных для системы атрибутов объектов (причем число этих атрибутов не должно быть столь большим, при котором анализ системы становится невозможным);

14

3)при заданном множестве отношений должны быть известны формы поведения системы (они определяются, например, физическими

законами).

Термин «исследование операций» был введен в послевоенные годы, когда стало очевидно, что задачи широкого класса, возникающие в самых различных сферах человеческой деятельности, имеют, несмотря на их качественное различие, одно общее – они сводятся к выбору способа действия, варианта плана, параметров конструкции, т.е. к принятию решений и этого общего достаточно для построения единой теории и единой системы методов. В этих условиях и возник термин «операция», который означает любое целенаправленное действие. Цель операции считается заданной. Кроме субъекта, т.е. оперирующей стороны, в операции всегда участвует исследователь операции. Он действует в интересах оперирующей стороны, и его задача состоит в том, чтобы найти оптимальный способ использования ресурсов оперирующей стороны, обеспечивающий достижение заданной цели. Научная дисциплина, называемая исследованием операций, наблюдает реальные явления, связанные с функциональными системами, разрабатывает модели, предназначенные для объяснения этих явлений, использует эти модели для изучения того, что произойдет при изменении условий, и проверяет предсказания новыми наблюдениями.

Исследование операций – это применение научного метода комплексными научными коллективами для решения задач, связанных с управлением организованными (человеко-машинными) системами с целью получения решений, которые наилучшим образом отвечают целям всей организации.

Отличительными особенностями исследования операций являются:

1)системный подход;

2)использование комплексных научных коллективов;

3)применение научного метода к задачам управления.

Системный подход основан на том, что в организационных системах

15

поведение любой части в конечном счете некоторым образом влияет на все остальные части. Не все такие влияния существенны, а часть из них даже невозможно обнаружить. Поэтому суть этого подхода заключается в систематическом поиске существенных взаимодействий при оценке деятельности или стратегии любой части организации.

В исследовании операций предпринимается попытка учесть все существенные факторы, установить между ними связь и оценить их в целом.

При изложении сущности научного метода утверждается, что его отличительной особенностью является эксперимент. Но, когда речь идет о государственных, военных или промышленных организациях, эксперимент в узком смысле слова, т.е. физическое изменение значений переменных, часто бывает невозможен.

Эксперимент иногда возможен, особенно на уровне подсистем. Тем не менее, как правило, вся система, являющаяся объектом изучения, не может быть подвергнута эксперименту.

Например, астроном имеет возможность наблюдать систему, которую он изучает, но не может изменить ее.

Поэтому он строит модели системы и механизмов ее функционирования, т.е. модели, на которых и проводит свои исследования.

Модели для системного анализа имеют форму уравнений, которые хотя и могут быть сложными с математической точки зрения, отличаются простой структурой.

U = f (Xi ,Yj ) ,

Где U – полезность или значение критерия, характеризующего качество функционирования системы;

Xi – переменные, которыми можно управлять;

Yj – переменные (и постоянные), не поддающиеся управлению, но влияющие на U;

f – функция, задающая соотношение между U, Xi , Yj .

16

Кроме того, одно или несколько уравнений или неравенств часто требуются для выражения того факта, что некоторые из управляемых переменных могут изменяться в определенных пределах.

Например, сумма ассигнований, направляемых в различные подразделения фирмы, не может превышать общего количества наличных денег.

Уравнение, выражающее целевую функцию, совместно с ограничениями образуют модель системы или задачи, которую надо решить. Следовательно, речь идет как о модели принятия решения, так и модели системы.

1.4. Типы моделей

Модель является представлением действительности. Но если модели были бы столь же сложны, как реальные объекты, то не было бы никакого смысла в их использовании. Обычно можно строить гораздо более простые модели, чем объекты, которые они отображают, и тем не менее применять такие модели для прогнозирования явлений с довольно высокой точностью. Это объясняется тем, что хотя для абсолютно точного предсказания какоголибо явления может потребоваться очень большое число переменных, для определения его основных особенностей обычно достаточно лишь относительно небольшого числа переменных. Сложность состоит в том, чтобы выбрать нужные переменные и правильно определить соотношения между ними.

Используют обычно модели трех типов.

1.Изобразительные модели (или модели геометрического подобия).

Визобразительных моделях существенные свойства оригинала представлены самими этими свойствами, как правило, лишь в ином масштабе. Таким образом, изобразительные модели внешне похожи на реальный объект, но отличаются от него размерами, представляя собой копии

17

этого объекта. Примерами моделей такого типа служат фотографии, чертежи, карты и натурные "модели" самолетов, кораблей, автомобилей. Изобразительные модели солнца и его планет, которые обычно демонстрируют в планетарии, значительно уменьшены в масштабе, в то время как модель атома (модель Бора) во много раз увеличена.

2. Аналоговые модели.

Ваналоговых моделях набор одних свойств используется для отображения набора совершенно иных свойств. Например, горизонтали на карте являются аналогами высоты над уровнем моря. Графики представляют собой аналоги, в которых положение в пространстве и геометрические величины отображают самые различные переменные и соотношения между ними. В общем случае аналоговые модели менее конкретны, чем изобразительные и с ними проще оперировать.

3. Символические (математические) модели.

Символические модели имеют вид математических выражений (обычно уравнений или неравенств), описывающих структуру моделируемого объекта.

При проведении многих исследований поочередно используются модели всех трех типов. Изобразительные и аналоговые модели иногда применяют в качестве первых, приближенных описаний реального объекта, уточняемых в дальнейшем в символической модели.

Строить символические модели стремятся использовать не только в силу того, что с ними проще оперировать, но также и потому, что они обычно дают более точные результаты, чем изобразительные или аналоговые модели.

Пример.

Вкачестве примера рассмотрим случайного уличного продавца газет, которому нужно принять решение, сколько газет он должен заказывать, чтобы максимизировать математическое ожидание своей прибыли. Он покупает каждый день некоторое число газет и продает либо все газеты, либо

18

какую-то их часть. Он получает прибыль на каждой проданной газете и может вернуть непроданные газеты, но при этом понесет убыток. Число людей, покупающих газеты, меняется изо дня в день. Но вероятность того, что определенное число газет будет продано в определенный день недели, можно определить путем анализа статистических данных.

Введем обозначения:

n – число заказываемых в день газет;

a – прибыть на каждую проданную газету; b – убыток на каждую возвращенную газету;

d – спрос, то есть число газет, которое можно продать в день при n ≥ d ,

p(d) – вероятность того, что спрос равен d в случайно выбранный

день;

P – чистая прибыль в день (отрицательное значение P есть убыток). Рассмотрим два случая. Во-первых, если спрос в некоторый день превышает число заказанных газет, то есть d > n , то прибыль продавца

P(d > n) = n a .

Во-вторых, если спрос не превышает числа заказанных газет, то есть n ≥ d , то прибыль составит P(n ≥ d) = da − (n − d)b .

Тогда математическое ожидание чистой прибыли P можно выразить уравнением:

Таким образом, получена модель принятия решения в условиях неопределенности, в которой P - критерий качества функционирования, n – управляемая переменная, d – неуправляемая переменная, a, b – неуправляемые константы.

Для решения задачи, описываемой такой моделью, необходимо

19

отыскать значение n, максимизирующее P . Очевидно, такая модель «продавца газет» применима при заказе многих скоропортящихся продуктов.

Если модель построена, то ее можно использовать для отыскания точных или приближенных оптимальных значений управляемых переменных, то есть таких значений, которые обеспечивают наилучший показатель качества функционирования системы при заданных значениях неуправляемых переменных. Другими словами, можно получить решение на модели.

В некоторых алгоритмах затраты на отыскание оптимального решения могут оказаться слишком большими по сравнению с выгодой, даваемой таким решением в сравнении с достаточно "хорошим" решением, которое иногда можно определить сравнительно просто. Всякий раз, когда вычисляется значение U, соответствующее новому набору значений Xi при заданных значениях Yj , получают некоторую новую информацию о том, как функционирует система. Из этой информации можно сделать вывод, что иной набор значений Xi обеспечивает определенное улучшение функционирования системы. Если есть возможность оценить размер улучшения до выполнения вычислений, то можно сравнить затраты на вычисления и решить, целесообразны ли дальнейшие попытки.

Оптимальным является решение, которое минимизирует или максимизирует (в зависимости от существа задачи) критерий качества на модели при заданных условиях и ограничениях, представленных в этой модели.

В любом проекте по системному анализу можно выделить следующие пять составных частей:

1)постановка задачи;

2)построение модели;

3)отыскание решения;

4)проверка модели и оценка решения;

20

5) внедрение решения и контроль его правильности.

Важным следствием применения системного анализа для решения широкого спектра задач явилось выделение небольшого числа классов, к которым принадлежит большинство из них. Вследствие частой повторяемости задач определенных классов были разработаны методы построения их моделей и получения решений на этих моделях.

Различают задачи следующих классов:

1)распределения;

2)управления запасами;

3)замены;

4)массового обслуживания;

5)упорядочения и координации;

6)выбора маршрута;

7)состязательные;

8)поиска.

21

1.5. Вопросы для самопроверки

1.Что такое системный принцип?

2.Какую дисциплину стало принято называть системным анализом?

3.Что такое теория систем?

4.Что называют системой?

5.Что такое объект системы? Приведите примеры.

6.Что такое атрибут объекта системы? Приведите примеры.

7.Что такое отношение? Приведите примеры.

8.Какая система называется целостной?

9.Какая система называется обособленной?

10.Что такое прогрессирующая изоляция?

11.Назовите типы прогрессирующей изоляции.

12.Что такое прогрессирующая систематизация?

13.Какая система называется централизованной?

14.Какая система называется системой, определяемой состоянием?

15.Сформулируйте свойство систем, определяемых состоянием.

16.Приведите пример физической системы. Что в этой системе является объектами, их атрибутами, отношениями? Можно ли рассматривать эту систему как статическую или как динамическую?

17.Приведите пример системы, не имеющей физической природы. Что в этой системе является объектами, их атрибутами, отношениями? В какой роли выступают такие системы?

18.Перечислите условия, которые должны выполняться, чтобы систему можно было изучать математическими методами.

19.Перечислите типы моделей.

20.Какая модель называется изобразительной? Как по-другому называют такие модели?

21.Приведите примеры изобразительных моделей.

22.Какая модель называется аналоговой?

23.Приведите примеры аналоговых моделей.

22

24.Какая модель называется символической или математической?

25.Вспомните задачу «уличного продавца газет». В чем она заключается?

26.Какое решение называют оптимальным?

27.Назовите пять основных частей системного проекта.

28.Перечислите основные классы задач, решаемых с применением системного анализа.

1.6. Задачи для самостоятельного решения

Вернемся к задаче «уличного продавца газет». Попробуем решить конкретную задачу.

Продавец закупает газеты по 50 коп. за штуку, а затем перепродает по 1 рублю за штуку. Спрос на газеты является случайным. Если у продавца остаются непроданные газеты, то предполагается, что на следующий день все они будут проданы по 20 коп. за штуку. Необходимо определить количество n газет, которое нужно закупать продавцу ежедневно, чтобы иметь в будущем максимальный доход.

Составим таблицу (табл.1) возможных доходов, указывая количество закупленных и проданных газет в десятках. Строки таблицы соответствуют количеству закупленных газет, столбцы – заданному спросу; на пересечении строки и столбца указан доход (в рублях).

Таблица 1

23

Таким образом, закупая 50 газет, продавец может заработать 25 рублей, но и рискует понести убыток в 15 рублей. Закупая 20 газет, он может заработать 10 рублей, но может понести убыток в 6 рублей. Возникает вопрос: какую стратегию выбрать?

Проведем наблюдение за спросом в течение 100 дней. Результаты занесем в таблицу (табл.2).

Таблица 2

Предположим, что в будущем сохранится такой же спрос на газеты, что

и в прошлом. Тогда отношение числа дней, когда объем спроса был равен d,

кобщему числу дней, в течение которых проводилось наблюдение, условно назовем вероятностью объема спроса d.

Примечание. Здесь при использовании термина «вероятность» предполагается, что общее число дней, в течение которых велось наблюдение, является достаточно большим, чтобы частота соответствующих событий могла быть принята за вероятность этого события с приемлемой точностью.

Таблица 3

Доход, получаемый ежедневно является случайной величиной. Возможные значения этой случайной величины приведены в табл.1, а вероятности ее значений равны вероятностям соответствующего объема спроса и приведены в табл.3. Вычислим средний доход в день (за 100 дней) при условии ежедневной закупки одного и того же количества газет. Расчет приведен в табл.4.

24

Из расчетов следует, что нужно ежедневно закупать 30 газет и средний доход будет составлять 8.60 рубля.

Варианты задач для самостоятельного решения

Продавец ежедневно закупает некоторое количество газет по a рублей за штуку, и продает их в первый день по b рублей за штуку. Непроданные в первый день газеты, обязательно будут проданы на следующий день по c рублей за штуку. Спрос на газеты является случайным. Данные о различных объемах спроса приведены в табл.5.

Определить количество n газет, которое нужно закупать ежедневно, чтобы обеспечить максимальный доход в будущем и соответствующий средний доход.

Варианты заданий:

26

Раздел 2. Распределительные задачи

2.1. Классификация распределительных задач

Распределительные задачи связаны с распределением ресурсов по работам, которые необходимо выполнить. Задачи этого класса возникают тогда, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой работы наиболее эффективным образом, поэтому целью решения задач этого типа является отыскание такого распределения ресурсов по работам, при котором либо минимизируются общие затраты, связанные с выполнением работ, либо максимизируется получаемый в результате общий доход. Большинство распределительных задач можно представить в виде матриц.

Элементы Cij , стоящие в клетках матрицы, соответствуют затратам

или доходу, отвечающим выделению одной единицы ресурса Ri на работу

распределительную задачу.

Для их решения были развиты методы линейного программирования.

n

Если общий объем наличных ресурсов ∑aj равен общей потребности

j=1

n

вних ∑bi , то имеет место сбалансированная (закрытая) распределительная

i=1

условиях имеем задачу о назначениях. В задачах этого класса для выполнения каждой работы требуется один и только один вид ресурса, а каждый ресурс может быть использован на одной и только одной работе.

Если работы и ресурсы измеряются в единицах одной и той же шкалы, то такие задачи называются транспортными. Если же работы и ресурсы выражаются в различных единицах измерения, то задача называется общей распределительной задачей.

2.2. Транспортная задача