Задача 5

Механическая система состоит из ступенчатых шкивов 1 и 2весомР₁иР₂ с радиусами ступенейR₁ = R,r₁ = 0,4R; R₂ = R, r₂ = 0,8R(массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу);грузов 3, 4и сплошного однородного цилиндрического катка 5 весомР₃, Р₄, Р₅соответственно (схемы 0 – 9). Тела системы соединены нитями, намотанными на шкивы; участки нитей парал­лельны соответствующим плоскостям. Грузы скользят по плоскостям без трения, а катки катятся без скольжения.

Кроме сил тяжести на одно из тел системы действует постоянная сила ,а на шкивы 1и 2при их вращении действуют постоянные момен­ты сил сопротивления, равные соответственноМ₁иM₂.

Составить для данной системы уравнение Лагранжа и определить из него величину, указанную в табл. 7.11 (є₁,є₂, – угловые ускорения шкивов 1и 2,a₃, a₄,a_C5 – ускорения грузов 3, 4и центра масс катка 5соответственно). Когда в задаче надо оп­ределитьє₁илиє₂, считать R = 0,25м.

Тот из грузов 3, 4,вес которого равен нулю, на чертеже не изобра­жать. Шкивы 1и 2всегда входят в систему.

Указания.Это задача на применение к изучению движения систе­мы уравнений Лагранжа. В задаче система имеет одну степень свободы, следовательно, ее положение определяется одной обобщенной координа­той, и для нее должно быть составлено одно уравнение.

Варианты схем к задаче 5

0) 2) 4) 6) 8)

1) 3) 5) 7) 9)

За обобщенную координату qпринять: в задачах, где требуется определитьa₃, a₄илиa_C5– перемещениехсоответствующего груза или центра массС₅катка 5; в задачах, где требуется определитьє₁илиє₂ – угол поворотаφсоответствующего шкива.

Для составления уравнения вычислить сначала кинетическую энергию (Т) системы (как в задаче 3) и выразить все вошедшие вТскорости через обобщенную скорость, т.е. через х,если обобщенная координатах,или через , если обобщенная координата -φ.Затем вычислить обобщенную силуQ.Для этого сообщить системе возможное (малое) перемещение, при котором выбранная координата, т.е.х(илиφ),полу­чает положительное приращение δх(или δφ),и вычислить сумму элемен­тарных работ всех сил на этом перемещении. В полученном равенстве надо все другие элементарные перемещения выразить через δх(или черезδφ,если обобщенная координата -φ) и вынести δх(или δφ)за скобки. Коэффициент при δх(или δφ)и будет обобщенной силой Q .

Таблица 7.10

Номер варианта условий	Р1	Р2	Р3	Р4	Р5	М1	М2	F	Найти
0	12Р	0	Р	0	3Р	0,2РR	0	8Р	a3
1	0	10Р	0	4Р	2Р	0	0,3PR	6Р	є2
2	0	0	0	2Р	Р	0,3PR	0	4Р	є1
3	0	12Р	2P	0	3Р	0	0,2РR	10Р	a3
4	8Р	10Р	0	0	2Р	0	0,3PR	5Р	aC5
5	12Р	0	2P	0	Р	0	0,4PR	8P	є1
6	0	12Р	0	3Р	4Р	0,2РR	0	6Р	a4
7	10Р	8P	0	0	2Р	0,3PR	0	5Р	є2
8	12Р	0	0	5Р	4Р	0	0,2РR	6Р	a4
9	0	2Р	2P	0	3Р	0,2PR	0	10Р	aC5

Пример решения задачи 5

Механическая система состоит из ступенчатого шки­ва 2(радиусы ступенейR₂иr₂), груза 1и сплошного катка 3,прикреп­ленных к концам нитей, намотанных на ступени шкива (рис. Д5). На шкив при его вращении действует момент сил сопротивленияМ₂.Массу шкива считать равномерно распределенной по внешнему ободу.

Дано: R₂ = R; r₂ = 0,6R; P₁ = 6P; P₂ = 3P;

P₃ =5P; M₂ =0,2PR; а= 30°.

Определить: а₁ – ускорение груза 1.

Решение

1.Система имеет одну степень свободы. Выберем в ка­честве обобщенной координаты перемещениехгруза 1(q = х),полагая, что груз движется вниз, и отсчитываях в сторону движения. Составим уравнение Лагранжа:

(1)

2. Определим кинетическую энергию (Т) системы, равную сумме энергий всех тел:

T = T₁ + T₂ + T₃. (2)

Так как груз 1движется поступательно, шкив 2 вращается вокруг неподвижной оси, а каток 3 движется плоскопараллельно, то

(3)

Здесь, поскольку масса шкива считается распределенной по внешнему ободу, а каток сплошной (его радиус обозначимr₃),

(4)

3.Все скорости, входящие вT₁, T₂и T₃,выразим через обобщенную скоростьх, равную, очевидно,v₁. Если при этом учесть, чтоv₁ =ω₂R₂, аv_C3 ==ω₂r₂, и что точкаКявляется для катка 3мгновенным центром скоростей, то получим:

. (5)

Подставляя значения величин (5)и (4)в равенства (3),а затем значения T₁, T₂и T₃ в равенство (2),найдем окончательно, что

, или(6)

Так как здесь Т зависит только от , то

и (7)

4.Найдем обобщенную силу Q.Для этого изобразим силы, совер­шающие при движении системы работу, т.е. силы , , и момент сил сопротивленияМ₂,направленный против вращения шкива. Затем сооб­щим системе возможное перемещение, при котором обобщенная коор­динатахполучает положительное приращение δx,и покажем перемеще­ния каждого из тел. Для груза 1это будетδs₁ =δх, для шкива 2 – пово­рот на уголδφ₂, для катка 3 – перемещение δs₃,его центра. После этого вычислим сумму элементарных работ сил и момента на данных пере­мещениях. Получим:

δА = Р₁ δs₁ – М₂ δφ₂ – Р₃ sin αδs₃. (8)

Все входящие сюда перемещения надо выразить через δx.Учтя, что зависимости между элементарными перемещениями здесь аналогичны зависимостям (5)между соответствующими скоростями, получим:

(9)

Подставляя выражения (9) в равенство (8)и вынося δхза скобки, найдем, что

. (10)

Коэффициент при õхв полученном выражении и будет обобщенной силойQ.Следовательно,

или (11)

5.Подставляя найденные величины (7)и (11)в уравнение (1), получим:

Отсюда находим искомое ускорение: .

Ответ: а₁ = 0,37g.

Примечание.Если в ответе получитсяа < 0(илиє < 0),то это озна­чает, что система движется не в ту сторону, куда было предположено. Тогда у моментаM₂,направленного против вращения шкива, изменится направление и, следовательно, как видноиз равенства (11), изменится величина Q, для которой надо найти новое верное значение.