osnovnye_ponjatija_i_zakony

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Юго-Западный государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

нимум потенциальной энергии:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.04.2015

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Физические основы классической механики								21
Решение уравнения движения физического маятника:
		ϕ = ϕ0 sin(ω0t + α),						(1.67)
где α - начальная фаза колебаний.
Круговая частота, частота и период колебаний физического
маятника:	mgl		1	mgl		I
ω0 =		; ν =			; T = 2π		;	(1.68)
	I		2π
				I		mgl

в) математический маятник - тело массой m, размерами которого можно пренебречь, подвешенное на невесомой, нерастяжимой нити.

Круговая частота, частота и период колебаний математического маятника:

; ν

; T

= 2π

(1.69)

2π

Приведенная длина физического маятника - величина, числен-

но равная длине такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника:

Lпр = I/ml. (1.70)

Затухающие (свободные) колебания - движения реальной ко-

лебательной системы, сопровождающиеся силами трения и сопротивления, которые приводят к уменьшению амплитуды колебаний. При этом энергия, потерянная системой, не восполняется за счет внешних сил.

Уравнение затухающих колебаний:

m	d2 x		+ r	dx	+ kx = 0 ,
	dt	2		dt

где r - коэффициент сопротивления.

Решение уравнения затухающих колебаний: x = x 0 e−βt sin(ωt + ϕ0 ),

(1.71)

(1.72)

где А = x0 e-βt - амплитуда колебаний, убывающая по экспоненциальному закону;

β = r/(2m) - коэффициент затухания, характеризующий быстроту убывания амплитуды с течением времени;

ω0 = mk – собственная частота колебаний системы, т.е. та частота,

с которой совершались бы свободные колебания систе-

22 Физика. Основные понятия и законы

мы в отсутствие сопротивления среды (r = 0).

Круговая частота, частота и период затухающих колебаний:

ω = ω02 −β2 ; ν =	ω02 −β2	; T =	2π	.	(1.73)
	2π
			ω02 −β2

Характеристики затухающих колебаний:

1) декремент затухания - отношение двух смещений, отличающихся друг от друга по времени на период. Декремент затухания характеризует быстроту затухания в зависимости от числа колебаний:

D =	x0 e−βt sin(ω0 t + ϕ0 )		= e	βT	.	(1.74)
	x0 e−β(t+T) sin[ω0 (t + T)+ ϕ0 ]

2) логарифмический декремент затухания - величина, равная натуральному логарифму от декремента затухания. Логарифмический декремент затухания характеризует затухание колебаний за период:

λ = lnD = ln(eβΤ) = βT.

(1.75)

Вынужденные колебания – колебания, совершаемые системами под действием внешней (вынуждающей) силы, изменяющейся по ка-

кому-либо закону, например гармоническому:
F = F0 sinωt,	(1.76)

где F0 - амплитудное значение вынуждающей силы; ω - частота вынуждающей силы.

Уравнение вынужденных колебаний:

m	d2 x	+ r	dx	+ kx = F	sin ωt .

	dt2		dt	0

Решение уравнения вынужденных колебаний:

X = X1 + X2 = x0 e-βt sin(ω't + φ0') + x0 sin(ωt + φ),

где ω! = ω02 −β2 .

Амплитуда и начальная фаза вынужденных колебаний:

x0 =		F0 / m			;
x0 =	[(ω02 − ω2 )+ 4β2 ω2			]	;
	tgϕ =	2βω	.
	tgϕ =	ω2 − ω2	.
		ω2 − ω2
		0

(1.77)

(1.78)

(1.79)

(1.80)

Физические основы классической механики

Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды колебаний при некоторой определенной для данной системы частоте (резонансной частоте).

Резонансная частота
ωр = (ω02 − 2β2 ).	(1.81)

1.3. Энергия, работа, мощность

Энергия - количественная мера и качественная характеристика движения и взаимодействия материи во всех ее превращениях. Она является функцией состояния системы и характеризует способности системы к совершению работы при переходе из одного состояния в другое.

Изменение энергии при переходе системы из одного состоя-

ния в другое равно работе, совершаемой системой в процессе пере-

хода:
W = W1 – W2 = A.	(1.82)

Диссипация (рассеяние) энергии механических систем - про-

цесс перехода части их механической энергии в другие формы под влиянием внешних факторов (например, за счет наличия сил сопротивления).

Диссипативные системы - системы, в которых полная механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы, например в теплоту.

Механическая энергия - физическая величина, равная работе, которая может быть произведена при полном превращении движения данной формы в механическую форму движения материи.

Кинетическая энергия - физическая величина, характеризующая способность движущегося тела или системы совершать работу при торможении до полной остановки – одна из функций состояния ее движения.

		W	=		mv2		.				(1.83)
		W	=				.				(1.83)
		k		2
Кинетическая энергия системы - сумма кинетических энергий
отдельных тел (материальных точек) этой системы:
				m		v2			mv2
W	= ∑W	=	∑		i			=		,	(1.84)
W	= ∑W	=	∑					=		,	(1.84)
k	ki			2					2
	i			2					2

где m = ∑mi - масса тела (системы);

24	Физика. Основные понятия и законы

Wk i = m2i v2 - кинетическая энергия i-го тела системы.

Связь между кинетической энергией тела (системы) и его импульсом:

(1.85)

Кинетическая энергия при вращательном движении:

1) элементарной массы

mi:

ω2

(1.86)

где Ii = mi·ri2 - момент инерции материальной точки, относительно выбранной оси вращения;

2) тела (системы):		I ω2
W	=	I ω2	,	(1.87)
W	=		,	(1.87)
k		2
		2

где I = ∑Ii - момент инерции тела относительно той же оси вращения.

Потенциальная энергия - физическая величина, характеризующая способность системы совершать работу, связанную с изменением конфигурации и взаимного расположения тел или частей в системе.

Изменение потенциальной энергии системы зависит только от начального и конечного ее состояний и равно работе внутренних

(консервативных) сил системы, взятой с обратным знаком:
dWp = - dA.				(1.88)
Потенциальная энергия тяготеющих масс:
W	= −γ	Mm	.	(1.89)

p		r

Потенциальная энергия системы «тело-Земля», если тело находится на некоторой высоте h над поверхностью Земли:

		W = −γ		Mm	= −γ	Mm	+ mgh = W + mgh,	(1.90)
		W = −γ			= −γ		+ mgh = W + mgh,	(1.90)
			p	R + h		R	p0
		Mm		R + h		R
где Wp0	= −γ	Mm	- потенциальная энергия системы «тело – Земля», если
где Wp0	= −γ	R	- потенциальная энергия системы «тело – Земля», если
		R

тело находится на поверхности Земли.

Изменение потенциальной энергии в том случае, когда тело поднимается на некоторую высоту h над поверхностью Земли:

Физические основы классической механики	25
Wp = Wp0 − Wp = mgh.	(1.91)

Потенциальная энергия упругой деформации:

	=	k (	l)2
W				.	(1.92)

p		2

Связь потенциальной энергии материальной точки (тела, системы) во внешнем силовом поле с силой, действующей на материальную точку (тело, систему):

dWp = - Fr dr, F						=	dWp			.	(1.93)

					r			dr
В векторной форме
	G ∂		G ∂			G ∂
G
F	= − i		+ j			+ k			Wp ,		(1.94)
		dx		dy				dz

где Wp = f(x,y,z) - потенциальная энергия системы.

Признак устойчивого равновесия (положения) системы - ми-

Внутренняя энергия - энергия физической системы, зависящая от ее внутреннего состояния. Сумма кинетической энергии хаотического (теплового) движения всех микрочастиц системы, энергии взаимодействия этих частиц и внутримолекулярной энергии.

Изменение внутренней энергии системы при ее переходе из

состояния в состояние:
U = U2 – U1,	(1.96)
где U1 – внутренняя энергия системы в начальном состоянии;
U2 – внутренняя энергия системы в конечном состоянии.

Изменение внутренней энергии системы, выполняющей замк-

нутый процесс:
U = 0.	(1.97)

Полная механическая энергия системы, совершающей гармоническое колебательное движение - сумма потенциальной и ки-

нетической энергий.

Потенциальная энергия системы, совершающей гармоническое колебание:

26 Физика. Основные понятия и законы

kx2

(1.98)

Кинетическая энергия системы, совершающей гармоническое

колебание:

kx02

cos

2 (ω

t + ϕ

(1.99)

Полная механическая энергия системы, совершающей гармо-

ническое колебание:

kx2

= W

+ W

(1.100)

Работа - это процесс превращения одних форм движения материи в другие и одновременно количественная характеристика этого процесса.

Механическая работа - процесс, в котором под действием сил изменяется энергия системы, и одновременно количественная мера этого изменения.

Элементарная работа некоторой силы F, действующей на материальную точку (тело, систему), вызывающей элементарное перемещение dr:

dA = F dr = F dr cosα = Fr dr.

(1.101)

Работа нескольких сил, действующих на тело (материальную точку, систему), - алгебраическая сумма работ, совершаемых отдельно взятой силой на данном перемещении:

dA = ∫dAi = ∫Fir dr .

(1.102)

Работа по перемещению массы в поле сил тяготения:

r2		1		1
A = ∫dA = γMm		1	−	1	.	(1.103)
A = ∫dA = γMm			−	r	.	(1.103)
r	r			r
1		1		2

Работа консервативных (потенциальных) сил по замкнутой траектории равна нулю:

A = ∫(F dr )= 0.	(1.104)
L

Работа, совершаемая при движении материальной точки (тела, системы) по криволинейной траектории:

A = ∫(F dS).

(1.105)

Физические основы классической механики

Работа, совершаемая внешними силами при вращательном движении относительно неподвижной оси за время dt:

2	ϕ	t
A = ∫dA = ∫M dϕ = ∫M ωdt ,			(1.106)
1	0	0

где M – результирующий момент всех внешних сил; ω – угловая скорость.

Работа постоянной проекции результирующего момента M на выбранное направление:

ϕ		dω		Iω	2
A = ∫	M dϕ = M ϕ = I					, (1.107)

		dt	ωdt = Iωdω = d	2
0

где M = Iε = I (dω/dt); ϕ = ωdt.

Работа возвращающей силы при изменении положения колеблющейся системы на dx:

	dA = F dx = - kx dx.				(1.108)
Работа возвращающей силы при изменении положения ко-
леблющейся системы на x:			2
x		kx
A = −∫kx dx = −				,	(1.109)

0	2

где x = x0 sin(ω0t + φ0) - смещение системы от положения равновесия. Мощность - физическая величина, численно равная работе, совершаемой в единицу времени. Мощность характеризует работоспо-

собность машин и механизмов.

Средняя мощность - физическая величина, численно равная отношению работы, совершенной за некоторый промежуток времени

t, к величине этого промежутка времени:
N = A / t .	(1.110)
Мгновенная мощность определяется как первая производная от
работы по времени:
N = dA/dt = d(Fs dS)/dt = F v,	(1.111)
где F - мгновенная сила;
v - мгновенная скорость.
Максимальная мощность при равноускоренном движении
(F = const)
Nmax = F vmax; <N> = F<v>.	(1.112)

Мгновенная мощность при вращательном движении

28	Физика. Основные понятия и законы
	N = M ω,	(1.113)

где M - мгновенный момент силы; ω - мгновенная угловая скорость.

1.4. Законы сохранения в механике

Закон сохранения энергии в его общефизическом смысле -

энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой, в количественном отношении оставаясь неизменной.

Закон сохранения и превращения механической энергии - пол-

ная механическая энергия замкнутой системы (в отсутствие внешних воздействий), в которой действуют только консервативные силы, остается величиной постоянной:

Wk + Wp = const. (1.114)

Закон сохранения импульса - полный импульс замкнутой системы в отсутствии внешних воздействий остается величиной постоянной:

p = const.

(1.115)

Закон движения центра масс - центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует равнодействующая всех внешних сил:

	dvc	n	G
m	dvc	= ∑F		.	(1.116)
m		= ∑F		.	(1.116)
	dt	i=1	внешш
	dt	i=1

Импульс незамкнутой системы сохраняется, если геометриче-

ская сумма всех внешних сил равна нулю.

Удар - совокупность явлений, возникающих при столкновении движущихся твердых тел, а также при некоторых видах взаимодействия твердого тела с жидкостью или газом.

Ударный импульс - мера механического взаимодействия тел при ударе ударной силы F за время удара τ:

G	τ	G	G
S = ∫		F dt = Fср τ.		(1.117)
	0

Коэффициент восстановления k – величина, характеризующая потери энергии при ударе, численно равная отношению скорости взаимодействующих масс после взаимодействия к их скорости до взаимодействия:

Физические основы классической механики		29
k =	uА − u В .	(1.118)
	v А − v В

Центральный удар – такой удар, при котором центры масс тел лежат на линии удара.

Прямой центральный удар – такой, при котором скорости v1 и v2 центров масс в начале удара направлены параллельно линии удара.

Центральный абсолютно неупругий удар шаров характеризу-

ется тем, что выполняется только закон сохранения импульса. Скорость шаров после центрального абсолютно неупругого удара:

u = m1v1 + m2 v 2 . (1.119) m1 + m2

Центральный абсолютно упругий удар шаров характеризуется тем, что выполняются законы сохранения полной механической

энергии и импульса. Скорости шаров после взаимодействия:
u1	=	(m1 − m2 )v1 ± 2m2 v 2 ;	(1.120)
		m1 + m2
u2	=	(m2 − m1 )v 2 ± 2m1v1 .	(1.121)
		m1 + m2

Закон сохранения момента импульса - момент импульса замк-

нутой системы в отсутствие внешних воздействий остается величиной постоянной:

		dL0		= 0, а L0 = const.	(1.122)
		dt

Скорость изменения момента импульса (уравнение момен-
тов):				G
	dL		0
				= Mвн ,	(1.123)
		dt

где L0 - момент импульса тела (системы) относительно начала координат;

Mвн - суммарный вращающий момент внешних сил, действующих на тело (систему).

1.5. Поле тяготения

Поле тяготения создается взаимодействующими массами покоя тел и поэтому является характерным для тел с большими массами и

30 Физика. Основные понятия и законы

со значениями скорости движения гораздо меньшими, чем скорость распространения света в вакууме.

Напряженность поля тяготения - векторная физическая вели-

чина, равная по величине и направлению силе, действующей на еди-

ничную массу, помещенную в данную точку поля:
		G
gG	=	F	= γ	Mm	Gr	= γ	M	Gr .	(1.124)

		m		mr2	0		r 2	0

Ускорение, приобретаемое в поле тяготения массой m, на-

правлено к центру большей массы:

aG = γ Mr3 Gr0 = gG. (1.125)

Ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли:

gG = γ		M			Gr .			(1.126)

		R 2				0
Ускорение силы тяжести при круговой траектории движе-
ния является центростремительным:
G G			v 2				G
g = a n	=						n0 .	(1.127)
				r

Потенциал поля тяготения - скалярная физическая величина, равная потенциальной энергии единичной массы, помещенной в данную точку поля:

ϕ =	Wp	= −γ		M	.	(1.128)
	m			r

Связь между напряженностью и потенциалом поля тяготе-
ния:			dϕ
	gr	= −		.		(1.129)
В векторной форме:			dr


gG = −gradϕ.						(1.130)

Знак “ – “означает, что напряженность поля тяготения направлена в сторону уменьшения потенциала поля тяготения.

Уравнение движения массы m в поле тяготения при скорости движения тела v0<< с:

FG = ma = γ Mm . (1.131)

r02

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.04.20151.39 Mб185nachertalka.docx
#
12.04.2015270.34 Кб71Nanotekhnologii.doc
#
12.04.20152.76 Mб5neoprint.doc
#
04.12.20181.09 Mб7NSV.doc
#
25.04.20191.34 Mб6OOP.doc
#
12.04.20151.35 Mб25osnovnye_ponjatija_i_zakony.pdf
#
12.04.2015261.63 Кб23Osnovy_TD.doc
#
12.04.20154.54 Mб13Otchet_LISP_Prolog.docx
#
12.04.2015276.74 Кб75Otchet_po_Strategicheskomu_menedzhmentu (2).docx
#
12.04.2015125.98 Кб6OTChYoT_DUKhINA-3.docx
#
12.04.20151.17 Mб105Otvety_po_strategicheskomu_mened_s_1-77.docx