Лекция 2. Рациональные числа (обыкновенные дроби) План

1. Понятие дроби.

2. Понятие рационального числа.

3. Арифметические операции над рациональными числами.

4. Свойства множества рациональных чисел.

5. Геометрическая интерпретация рациональных чисел.

Содержание

1. Продолжая процесс расширения понятия числа, мы приходим к необходимости рассмотрения дробей. Так как на множестве целых чисел Z выполнимы только операции сложения, умножения и вычитания, то даже простейшее уравнение вида

b · x = а, (6)

где а и b – целые числа и b ¹ 0, не всегда разрешимо в этом множестве.

Поскольку появление дробей исторически связано с измерением величин, рассмотрим необходимость их введения на примере измерения длин отрезков.

Пусть даны произвольный отрезок с и единичный отрезок е. Если отрезок е укладывается в отрезке с целое число раз (например, n раз), то результат измерения выражается натуральным числом п. В этом случае пишут: с = пе.

Чаще, однако, единица длины е в измеряемом отрезке с не укладывается целое число раз. Поэтому для выражения результата измерения приходится расширять запас чисел, вводя числа, отличные от целых. В таком случае мерой отрезка с будет неизвестное числе х, отличное от целого и удовлетворяющее условию

с = х · е. (7)

Если попытаться перейти к более мелкой единице измерения, то иногда удается найти такой отрезок е₁, который укладывается целое число раз как в отрезке е, так и в отрезке с (рис. 3).

c

e

e₁

Рис. 3

Тогда отрезки с и е называются соизмеримыми и имеют место равенства:

е = b · с и с = а · е₁, (8)

где а и b – натуральные числа. Подставляя равенства (8) в уравнение (7), получим а · е₁ = х · b · e₁, или

а = х · b.

Последнее уравнение совпадает с уравнением (6) и разрешимо во множестве Z в том и только том случае, когда b является делителем а. Таким образом, мы снова поставлены перед необходимостью расширения множества Z целых чисел до нового числового множества Q, в котором уравнение (6) при b ¹ 0 было бы всегда разрешимо. Кроме того, естественно потребовать, чтобы Z Ì Q и чтобы операции над числами в Q обладали теми же основными свойствами, которыми они обладали в Z.

Прежде чем приступить к решению поставленных задач, исследуем свойства решений уравнения (6), предполагая, что число b является делителем числа а. В силу единственности частного двух целых чисел, уравнение (6) имеет единственное решение х = а : b, которое однозначно определяется парой целых чисел (а, b). Выясним условие равенства таких пар.

Пусть (а, b) = (с, d), где c, d Z и d ¹ 0 является делителем с. Тогда а : b = с : d. Обе части последнего равенства умножим на bd, получим

bd(a : b) = d(c : d).

По свойствам операций над целыми числами можем записать: (abd) : b = (bed) : d.

Получим равенство

ad = bc. (9)

Итак, условие равенства пар (а, b) и (с, d) определяется равенством (9).

Выведем правила, по которым можно найти сумму и произведение рассматриваемых пар (а, b) и (b, c).

(а, b) + (с, d) = а : b + с : d = (ad) : (bd) + (bc) : (bd) = (ad + bc) : bd = (ad +bc, bd).

(а, b) · (с, d) = (а : b) = (с : d) = ((a : b) · c) : d= ((a · c) : b) : d = (ac) : (bd) = (ac, bd).

Таким образом, сумма рассматриваемых пар определяется равенством

(а, b) + (с, d) = (ad + bc, bd), (10)

а произведение – равенством

(а, b) · (с, d) = (ac, bd). (11)

Над компонентами пар (а, b) и (с, d) в равенствах (9), (10), (11) производятся только действия сложения и умножения, которые всегда выполнимы во множестве Z целых чисел. Следовательно, равенства (9) – (11) имеют смысл и для таких пар (а, b) и (с, d), в которых b не является делителем числа а, a d не является делителем с.

Теперь при расширении множества Z до множества Q можем поступить так же, как и при введении целых чисел. А именно: элементом множества Q назовем совокупность всех пар целых чисел, удовлетворяющих соотношению (9), а сумму и произведение элементов из Q определим с помощью равенств (10), (11). При этом будем рассматривать как пары (а, b), в которых а нацело делится на b, так и пары, в которых а на b не делится нацело.

Определение 10. Пара целых чисел (а, b), где b ¹ 0, называется дробью и записывается в виде . Число а называется числителем дроби, b – знаменателем.

Например, пара целых чисел (2, 5) образует дробь , пара (3, 1) – дробь , а пара (–4, 7) – дробь .

Следует заметить, что уже в древнем Вавилоне и Египте (около 2000 лет до н.э.) дроби широко использовались для решения практических задач. Дробями свободно оперировали древние греки и индийцы. Правила действий с дробями, изложенные индийским учены Брахмагуптой (VII в.н.э.) мало отличаются от принятых в настоящее время. Индийское обозначение дробей и правила действий с ними были усвоены в арабских странах (IX в.). В Европу они были перенесены итальянским купцом и ученым Леонарде Фибоначчи лишь в XIII веке.

2. Прежде чем определить понятие рационального числа, введем отношение эквивалентности на множестве всевозможных дробей.

Определение 11. Две дроби и называются эквивалентными тогда и только тогда, когда

ad = bс.

Если две дроби и эквивалентны, то записывают: ~ . Таким образом, определение 11 можно записать в символах математической логики:

.

Примеры: .

Отношение эквивалентности на множестве дробей обладает следующими основными свойствами:

1) ~ – рефлексивность;

2) ~ Þ ~ – симметричность;

3) ~ ~ Þ ~ – транзитивность.

Справедливость всех этих свойств легко проверяется. Рассмотрим, например, транзитивность. Эквивалентности ~ и ~ , по определению 11, означают выполнение равенств ad = bс и cn = md. Умножая первое из этих равенств на п, а второе – на b, получим adn = bсn и bсп = bmd. Откуда adn = bmd, или an = bm, но последнее означает эквивалентность ~.

Далее замечаем, что если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же целое число k ¹ 0, то получим дробь , эквивалентную данной. Справедливость этого утверждения проверяется непосредственно с помощью определения 11.

Аналогично, если числитель и знаменатель данной дроби разделить на одно и то же целое число k ¹ 0, то получим дробь , эквивалентную данной. Из вышесказанного вытекает основнoe свойство дроби: если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим дробь, эквивалентную данной.

Процесс деления числителя и знаменателя дроби на число k ¹ 0 называется сокращением дроби на число k. Если при этом k ¹ 1, то дробь называется сократимой.

Так дроби являются сократимыми. Дробь при b ¹ 1 всегда сократима.

Пользуясь основным свойством, любую дробь с отрицательным знаменателем легко заменить эквивалентной дробью с положительным знаменателем. Для этого достаточно числитель и знаменатель данной дроби умножить на (–1).

Определение 12. Дробь с положительным знаменателем называется несократимой, если НОД(а, b) = 1.

Дроби , что очевидно, являются несократимыми.

Равенство дробей определяется так же, как и равенство упорядоченных пар: две дроби и равны, если а = с и b = d.

Теорема 7. Если дроби и с положительными знаменателями эквивалентны и неравны, то, по крайней мере, одна из них сократима.

Доказательство. При а = 0 или с = 0 справедливость теоремы очевидна. Поэтому будем считать, что а ¹ 0 и с ¹ 0. Предположим противное тому, что требуется доказать. Пусть ~ , b > 0, d > 0, и несократимые дроби и неравны. Из условия эквивалентности дробей следует равенство ad = bс, из которого очевидно, что ad b, а поскольку НОД(а, b) = 1, то d b. Аналогично рассуждая, приходим к выводу о том, что b d. Одновременное выполнение условий d b и b d влечет за собой равенство b = d, так как b > 0, d > 0. Подставляя b = d в равенство ad = bс, получаем а = с. Теорема доказана.

Из теоремы 7 вытекают важные следствия.

Следствие 1. Если две дроби с положительными знаменателями эквивалентны и несократимы, то они равны.

Следствие 2. Среди бесконечного множества попарно эквивалентных между собой дробей с положительными знаменателями существует только одна несократимая дробь.

Отношение эквивалентности, установленное определением 11 на множестве всевозможных дробей, разбивает его на непересекающиеся классы.

Определение 13. Класс эквивалентных дробей, которому принадлежит дробь , будем обозначать символом К и называть рациональным числом.

При этом любая дробь, принадлежащая указанному классу, называется представителем рационального числа.

Например, дроби являются различными представителями рационального числа

.

Рациональное число

будем называть нулем и обозначать символом 0.

3. Используя равенства (10) и (11), определим во множестве рациональных чисел операции сложения и умножения и докажем, что, во-первых, эти операции не зависят от выбора представителей рационального числа, а во-вторых, как и операции над целыми числами, обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.

Определение 14. Два рациональных числа называются равными, если они представлены эквивалентными дробями:

Поскольку классы эквивалентных пар являются непересекающимися множествами, то равенство двух рациональных чисел означает полное совпадение соответствующих классов.

Из определений 11 и 14 следует, что

Определение 15. Суммой двух рациональных чисел и называется рациональное число .

. (12)

Теорема 8. Сумма двух рациональных чисел и не зависит от выбора их представителей.

Доказательство. Пусть и . Это означает, что и выполняются равенства a'd = ab', c'd = cd'. Умножая первое из этих равенств на dd', второе – на bb', складывая почленно, получим a'bdd'+c'dbb' = ab'dd' + cd'bb'. Последнее равенство после несложных преобразований можно записать в виде (a'd' + b'c') bd = (ad+bc)b'd'. Это означает, что и .

Тем самым справедливость теоремы доказана.

Определение 16. Произведением двух рациональных чисел и называется рациональное число .

. (13)

Теорема 9. Произведение двух рациональных чисел и не зависит от выбора их представителей.

Доказательство. Пусть и . Это означает, что и выполняются равенства a'd = ab', c'd = cd'. Перемножая их почленно, получим a'bc'd = ab'cd', или (а'с')(bd) = (ас)(b'd'). Последнее равенство означает, что , то есть , и теорема доказана.

Операции сложения и умножения рациональных чисел обладают следующими свойствами:

1) + = + – коммутативность сложения.

2) – ассоциативность сложения.

3) · = · – коммутативность умножения.

4) – ассоциативность умножения.

5) – дистрибутивность умножения относительно сложения.

Справедливость указанных свойств легко устанавливается сравнением левых и правых частей равенств. Докажем, например, справедливость дистрибутивного закона умножения относительно сложения:

,

Поскольку правые части полученных равенств совпадают, то справедливость свойства 5 можно считать доказанной.

Определение 17. Разностью двух рациональных чисел и называется рациональное число , удовлетворяющее уравнению

+ = .

В дальнейшем будем использовать обозначение

= = .

Действие, с помощью которого находится разность двух рациональных чисел, называется вычитанием.

Теорема 10. Разность любых двух рациональных чисел и существует и единственна.

Доказательство теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 3 и рекомендуется читателю в качестве упражнения. В процессе доказательства устанавливается, что разность двух рациональных чисел определяется по формуле

– = .

Определение 18. Частным от деления рационального числа на число ¹ 0 называется рациональное число , удовлетворяющее уравнению

· = .

В дальнейшем будем использовать обозначение

= : .

Действие, с помощью которого находится частное двух рациональных чисел, называется делением.

Теорема 11. Частное от деления любого рационального числа на число ¹ 0 существует и единственно.

Доказательство существования. Определим сначала вид числа , являющегося решением уравнения · = . По определению произведения можем записать: · = . Рациональные числа и равны в том и только том случае, когда , или bcx = ady. Но последнее равенство равносильно эквивалентности , а это означает, что = .

Покажем теперь, что число является частным от деления числа на число ¹ 0. Действительно,

· = · = = .

Справедливость последнего равенства вытекает из эквивалентности дробей . Итак, существование частного рациональных чисел доказано.

Доказательство единственности. Предположим, что существуют два частных и от деления рационального числа на ¹ 0. Тогда справедливы равенства:

· = ; · = ,

из которых получаем · = · .

По определению произведения, = .

Из последнего равенства следует, что , или cxdv = cudy. Перепишем полученное равенство в виде xv = уи, что означает эквивалентность дробей и равенство чисел = . Тем самым единственность частного доказана.

Из доказательства теоремы 11 следует, что частное двух рациональных чисел на ¹ 0 находится по формуле

: = . (15)