- •Введение
- •Раздел 1. Элементы аналитической геометрии
- •Раздел 2. Элементы линейной алгебры
- •Раздел 3. Элементы векторной алгебры
- •Раздел 4. Элементы линейного программирования
- •Список рекомендуемой основной и дополнительной литературы
- •Контрольные задания, правила выполнения и оформления контрольных работ
- •Задание 2. Линии второго порядка
- •Задание 4. Действия над векторами
- •Алгоритм симплексного метода
Задание 2. Линии второго порядка
Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить линию.
Таблица 3 – Данные задания 2 «Линии второго порядка»
Задача № |
|
Уравнения кривых |
|
Задача № |
|
Уравнения кривых |
1 |
а |
11 |
а | |||
б |
б | |||||
2 |
а |
12 |
а | |||
б |
б | |||||
3 |
а |
13 |
а | |||
б |
б | |||||
4 |
а |
14 |
а | |||
б |
б | |||||
5 |
а |
15 |
а | |||
б |
б | |||||
6 |
а |
16 |
а | |||
б |
б | |||||
7 |
а |
17 |
а | |||
б |
б | |||||
8 |
а |
18 |
а | |||
б |
б | |||||
9 |
а |
19 |
а | |||
б |
б | |||||
10 |
а |
20 |
а | |||
б |
|
б |
Пример 2. Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить линию.
х2 + 4у2 - 4х + 16у - 16 = 0;
9x2-4y2-54x-8y+41 = 0.
Решение:
х2 + 4у2 - 4х + 16у - 16 = 0. Приведём данную кривую к каноническому виду и построим.
Выделим полные квадраты при х и у:
(х2-4х+4)-4+4(у2+4у+4)-16-16=0 , (х-2)2+4(у+2)2-36=0, (х-2)2+4(у+2)2=36, .
Получили каноническое уравнение эллипса вида
. (7)
Центр эллипса лежит в точке O/(α,β), оси параллельны осям координат ОХ и OY. Точка O/(2,-2) – центр данного эллипса. Отложим от точки O/ отрезки в направлениях, параллельных ОХ иOY, CС/=2=12 ВВ/=2=6 (рисунок 2).
Рисунок 2 ─ Эллипс
2) 9x2-4y2-54x-8y+41 = 0. Приведём данную кривую к каноническому виду и построим.
Выделим полные квадраты при х и у:
9(х2-6х+9)-81-4(у2+2у+1)+4+41 = 0 , 9(х-3)2-4(у+1)2-36 = 0,
9(х-3)2─ 4(у+1)2 = 36 ,
Получили каноническое уравнение гиперболы вида
. (8)
Центр гиперболы лежит в точке А(α,β), оси параллельны осям координат. Центр данной гиперболы лежит в точке А(3,-1), =2,=3. Построим основной прямоугольник гиперболы, откладывая от точки А отрезки=2,=3 в направлениях, параллельных основным осям координат.BB/=2∙=4, СС/=2∙=6. Диагонали прямоугольника будут являться асимптотами. Вершиныгиперболы – точки B и B/ (рисунок 3).
Рисунок 3 ─ Гипербола
Задание 3. Системы линейных уравнений
1) Решить систему линейных уравнений матричным способом.
2) Найти базисное решение системы уравнений методом Жордана – Гаусса.
Таблица 4 – Данные задания 3 « Системы линейных уравнений»
№ |
Системы уравнений |
1 |
1) 2) |
2 |
1) 2) |
3 |
1) 2) |
4 |
1) 2) |
5 |
1) 2) |
6
|
1) 2) |
7 |
1) 2) |
8 |
1) 2) |
9 |
1) 2) |
10 |
1) 2) |
11 |
1) 2) |
12 |
1) 2) |
13 |
1) 2) |
14 |
1) 2) |
15 |
1) 2) |
16 |
1) 2) |
17 |
1) 2) |
18 |
1) 2) |
19 |
1) 2) |
20 |
1) 2) |
Пример 3
1) Решить систему уравнений матричным способом.
Решение. Обозначим X =− матрица-столбец неизвестных переменных;
−матрица коэффициентов при неизвестных или основная матрица;
− матрица свободных членов системы уравнений.
Систему уравнений можно представить в матричном виде А ∙ X = А0.
Тогда решение системы имеет вид:
Х = А-1 ∙ А0, (9)
где А-1 – обратная матрица к квадратной матрице А =.
Формула для вычисления обратной матрицы
А--1=. (10)
– определитель матрицы А, который вычисляется по формуле
Вычислим определитель матрицы системы:
Т.к. определитель матрицы А не равен 0, то матрица А невырожденная , для неё существует обратная матрица A-1.
Вычислим алгебраические дополнения для каждого элементаосновной матрицы по формуле, где– минор того же элемента.
Минор элемента– это определитель, полученный из данного определителя вычеркиваниемi-й строки и j-гo столбца.
Таким образом, по формуле (10) имеем следующую обратную матрицу:
Согласно формуле (9), получаем:
Проверка:
Подставим найденные числа вместо переменных в исходную систему уравнений:
Получили верные числовые равенства, следовательно, решение найдено верно.
Ответ: .
Приведение системы линейных уравнений к системе с базисом методом Жордана – Гаусса
Система уравнений называется системой с базисом, если каждое уравнение системы содержит переменную с коэффициентом 1, отсутствующую в других уравнениях.
Например, рассмотрим систему уравнений с базизом:
Переменные – базисные,– свободные. Базисное решение.
Алгоритм метода Жордана – Гаусса
Составляем таблицу Жордана – Гаусса.
Выбираем разрешающий элемент из коэффициентов при неизвестных,i-я строка и j-й столбец будут называться разрешающими.
Элементы i-й разрешающей строки делят на разрешающий элемент и полученные частные записывают в i-ю строку следующей таблицы.
Все элементы j-го столбца следующей таблицы обращаются в 0, кроме элемента, стоящего на месте разрешающего, он равен 1.
Все остальные элементы следующей таблицы вычисляются по “правилу прямоугольников”:
. (11)
2) Найти базисное решение системы уравнений:
Составим таблицу Жордана – Гаусса.
Столбец содержит свободные члены соответствующих уравнений, столбцысодержат коэффициенты при соответствующих переменных в уравнениях. В столбец “Б” будем записывать базисные переменные соответствующих уравнений.
Б |
| ||||||
|
1 2 0 |
2 -1 3 |
-1 0 -2 |
-1
1 -1 |
-2 2 -2 |
2 -1 -1 |
таблица 1 |
|
3 2 2 |
1 -1 2 |
-1 0 -2 |
0 1 0 |
0 2 0 |
1 -1 -2 |
таблица 2 |
3 5 8 |
1 0 4 |
-1 -1 0 |
0 1 0 |
0 2 0 |
1 0 0 |
таблица 3 | |
1 5 2 |
0 0 1 |
-1 -1 0 |
0 1 0 |
0 2 0 |
1 0 0 |
таблица 4 |
1. Выбираем в таблице 1 разрешающий элемент, любой из коэффициентов, не равный нулю, например .
2. Элементы разрешающей строки делим на 1 и записываем полученные значения во второй строке таблицы 2.
3. В разрешающем столбце таблицы 2 остальные элементы обращаются в ноль. Во втором уравнении неизвестная становится базисной.
4. Оставшиеся элементы таблицы 2 находим по правилу прямоугольника.
Приведем расчёты некоторых из них:
, ,,
, ,.
5. Повторяя алгоритм метода Жордана – Гаусса, перейдем к таблице 4. Полученная система уравнений является системой с базисом. Базисные переменные – ,,, свободные ─,.
Чтобы записать базисное решение, базисные переменные приравниваем к соответствующим свободным членам, свободные переменные ─ к нулю. Полученное базисное решение имеет вид.