Тема 8. Закон больших чисел и центральная предельная теорема

Неравенства Маркова и Чебышева. Теорема Чебышева. Сущность теоремы Чебышева и ее значение для практики. Теорема Бернулли, устойчивость относительной частоты и статистическое определение вероятности события. Понятие сходимости по вероятности. Понятие о центральных предельных теоремах теории вероятностей. Центральная предельная теорема в форме Ляпунова.

Л и т е р а т у р а

[2], гл.4, §7, гл.5, § 1-5; [3], гл.13, 13.1-13.9; [5], гл.9, § 1-6, гл.12, § 8; [6], гл.6; [7], гл.11, § 26-28; [8], гл.5, § 1-4; [9], гл.4, § 4,5, гл.7; [10], гл.4, § 3, гл.6, § 1-5; [11], гл.30, § 209-213; [12], ч.2, гл.4, § 13, 14; [13], гл.20, § 30; [14], § 4; [15], гл.6, § 5, гл.7, § 1-4.

О с н о в н ы е п о л о ж е н и я и ф о р м у л ы

Приведем несколько неравенств А.А.Маркова и П.Л.Чебышева, имеющих важное теоретическое значение.

Пусть случайная величина Х принимает неотрицательные значения. Тогда для любого  >0 имеют место неравенства Маркова (в двух формах записи)

Р(Х  )  ,Р(Х < )  1- . (8.1)

Для любого >0 имеют место следующие неравенства Чебышева для произвольной случайной величиныХс конечной дисперсией:

Р,Р. (8.2)

Эти неравенства дают, соответственно, оценки сверху для вероятностей события Х , и оценки снизу для вероятностей противоположных им событийХ<, .

Приведем некоторые из законов больших чисел в простейшей форме.

Пусть Х₁,…, Х_n ,… - последовательность независимых случайных величин, имеющих конечные математические ожидания, а дисперсии которых ограничены одной и той же постоянной С (равномерно ограничены). Пусть и - любое положительное число. Тогда имеют место неравенства

Р ,Р . (8.3)

Эти неравенства называют теоремой Чебышева в непредельной форме. В предельной форме теорема Чебышева дает следующие утверждения:

Р , Р (8.4)

Будем рассматривать повторные независимые испытания, в каждом из которых событие А имеет одну и ту же вероятность Р(А)=р (вероятность противоположного события равнаq=1-р). Пусть n – число независимых испытаний, m – частота наступления события А, W=- относительная частота появления А. Тогда для любого положительного числа имеют место неравенства Бернулли

Р ,Р . (8.5)

В предельной форме утверждения теоремы Бернулли имеют вид

(8.6)

Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч

Задача 1. Средний вес яблока 200 г. Определить вероятность того, что вес наудачу взятого яблока не превысит 600 г.

Решение. Применяя неравенство Маркова (8.1), находим Р(Х<600)1- илиР(Х<600)  . Таким образом, с вероятностью, большей чем, можно утверждать, что вес наудачу взятого яблока не будет превышать 600 г.

Задача 2. Средний урожай сои в совхозе составил 12 ц с гектара. Определите вероятность того, что урожай сои с наудачу взятого гектара будет больше 15 ц.

Решение. Применяя формулу (8.1), находим Р(Х15). Следовательно, вероятность того, что урожай сои с наудачу выбранного гектара превысит 15 ц не больше чем 0,8.

Задача 3. Бригада маляров в количестве 10 человек взялась выполнить некоторую работу по сдельной оплате. Вероятность того, что заработок наудачу взятого маляра не превысит 100 руб больше чем 0,7. Определить сумму денег, которую, возможно, придется заплатить бригаде за всю работу.

Решение. Используя неравенство Маркова (8.1), находим ожидаемый заработок одного члена бригады:

Р(Х<100)  1 - = 0,7 или= 0,3.

Отсюда М(Х)=30. Следовательно, возможно, что всей бригаде придется уплатить за работу сумму в 3010=300 (руб).

Задача 4. Средний вес арбуза из поступившей в продажу партии равен 4 кг, а дисперсия принимается равной 0,1 кг. Определить вероятность того, что взятый наудачу арбуз окажется по весу не менее 3,5 кг и не более 4,5 кг.

Решение. Определяем число  - величину, на которую возможно отклонение веса арбуза от среднего значения: =Применяя неравенство Чебышева (формула (8.2)), находим

Р илиР

Итак, с вероятностью, большей чем 0,6, можно утверждать, что вес наудачу взятого арбуза будет находиться в пределах от 3,5 до 4,5 кг.

Задача 5. Вероятность того, что ячейка автоматической камеры хранения будет в течение суток свободна, равна 0,2. На железнодорожном вокзале в автоматической камере хранения 800 ячеек. Оценить вероятность того, что в течение суток число свободных ячеек будет заключено в пределах от 140 до 180.

Решение. Определяем математическое ожидание и дисперсию числа свободных ячеек автоматической камеры хранения:

М(Х) = np = 8000,2=160; Д(Х) = 8000,20,8=128.

Определяем величину наибольшего допустимого по условию задачи отклонения: =. Применяя неравенство Чебышева (8.2), оцениваем искомую вероятность:

Р

Задача 6. Дисперсия каждой из 2 500 независимых случайных величин не превосходит 9. Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превзойдет 0,5.

Решение. Согласно теореме Чебышева (8.3) можно записать РилиР. Здесьn=2 500, С=9, =0,5.

Задача 7. Для определения средней продолжительности горения электролампочек в партии из 80 одинаковых ящиков было взято на проверку по одной лампочке из каждого ящика. Оценить вероятность того, что отклонение средней продолжительности горения лампочек из числа выбранных от средней продолжительности горения лампочки во всей партии превзойдет 6 часов, если среднее квадратическое отклонение принять равным 8 часам.

Решение. Согласно условию задачи =8. Следовательно, Д(Х)=64.

Применяя теорему Чебышева (8.3), находим, что РилиР.

Задача 8. Дисперсия каждой из независимых случайных величин не превышает 9. Определить с вероятностью, не меньшей чем 0,997, число таких величин, при котором отклонение их средней арифметической от средней арифметической их математических ожиданий не превзойдет числа 0,2.

Решение. Согласно условию задачи имеем Д(Х)  9, =0,2, Р=0,997. Применяя теорему Чебышева (8.3), находим

1-. Решая это неравенство, получим следующее:,n ,n 75 000.

Следовательно, при n 75000 отклонение средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превзойдет числа 0,2 и это утверждается с вероятностью большей чем 0,997.

Задача 9. При штамповке деталей брак составляет в среднем 3%. Оценить вероятность того, что при осмотре 2500 деталей отклонение доли пригодных деталей от вероятности того, что деталь должна быть пригодной, не превысит по абсолютной величине числа 0,01.

Решение. Применяя неравенство (8.5) теоремы Бернулли, находим:

Р ,Р .

Задача 10. Вероятность того, что автомат по продаже газированной воды сработает, равна 0,97. Определить, сколько нужно опустить монет, чтобы с вероятностью, превышающей 0,975, можно было утверждать, что отклонение частости числа случаев, когда автомат сработает, от вероятности его срабатывания не превысит по абсолютной величине числа =0,04.

Решение. Применим формулу (8.5) теоремы Бернулли:

1 -

Решая это неравенство, находим следующее:

0,025  ,n  .

Окончательно получаем n 727,5. Следовательно, нужно опустить не менее 728 монет.

З а д а ч и

1. Средний расход воды для некоторого многоквартирного дома составляет 450 000 л в день. Оценить вероятность того, что для этого дома расход воды не будет превышать 1 125 000 л в день.

2. Средняя заработная плата водителя автобуса городского маршрута составляет 1 400 рублей. Определить вероятность того, что заработная плата случайно выбранного водителя автобуса городского маршрута будет превышать 1 525 рублей.

3. Вероятность того, что у отдельного вкладчика некоторого сберегательного банка сумма вклада меньше 5 000 рублей, превышает 0,8. Банк обслуживает 1 240 вкладчиков. Какова общая сумма вкладов этого сберегательного банка?

4. Средняя длина болта, изготовляемого на станке-автомате, равна 8 см, а дисперсия равна 0,15. Оценить вероятность того, что изготовленная деталь окажется по длине не меньше 7,5 см и не более 8,5 см.

5. Вероятность того, что студент учебного заведения в период работы читального зала посетит его, равна 0,3. Оценить вероятность того, что среди 900 студентов читальный зал посетят от 240 до 300 человек.

6. Среднее квадратическое отклонение каждой из 3 000 независимых случайных величин не превосходит 2,5. Оценить вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превзойдет по абсолютной величине числа =0,2.

7. Для определения среднего веса детали в партии, размещенной в 100 ящиках, было взято по одной детали из каждого ящика. Дисперсия по каждому ящику не превышает 5. С какой вероятностью можно утверждать, что отклонение среднего веса деталей во всей партии будет по абсолютному значению больше чем 0,4?

8. Дисперсия каждой из 900 независимых случайных величин не превышает пяти. Какой должна быть верхняя граница абсолютной величины отклонения средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий, чтобы вероятность такого отклонения превышала 0,95?

9. Вероятность вызревания кукурузного стебля с тремя початками равна 0,75. Оценить вероятность того, что среди 4 000 стеблей опытного участка отклонение частости стебля с тремя початками от вероятности его созревания по абсолютной величине не превзойдет числа =0,05.

10. Вероятность срабатывания телефона-автомата равна 0,98. Каков наиболее возможный предел отклонения частости правильной работы телефона от вероятности в каждом отдельном вызове можно гарантировать при 2 000 вызовах с вероятностью, не меньшей чем 0,99? Определить границы, в которых будет находиться число сбоев работы автомата при этих условиях.

11. Сколько должно быть произведено независимых измерений диаметров колец, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,96, можно было утверждать, что среднее арифметическое результатов измерений отличается от истинного значения по абсолютной величине меньше чем на 0,02, если дисперсия отдельного результата измерения не превосходит 1?