§10. Основной закон релятивистской механики

Первый постулат специальной теории относительности (принцип относительности Эйнштейна) требует сохранения формы фундаментальных законов физики во всех инерциальных системах отсчета.

Основной закон классической динамики Ньютона для материальной точки описывается уравнением

^,

в котором масса m считается постоянной и одинаковой во всех инерциальных системах отсчета. При переходе от одной системы отсчета к другой форма записи закона видоизменяется. Следовательно, он не может служить основой релятивистской динамики.

Эйнштейн показал, что форма второго закона Ньютона сохраняется, если под массой понимать выражение

(10.1)

где m₀ - масса покоя материальной точки, то есть ее масса, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой точка покоится, С- скорость света в вакууме.

Массу m называют релятивистской массой (массой движения). Зависимость релятивистской массы от скорости представлена на рис.10.1.

Векторную величину называютрелятивистским импульсом материальной точки:

Рис. 10.1

(10.2)

На рис. 10.2 показаны для сравнения графики зависимости от скорости релятивистского и классического импульсов материальной точки. Как видно, различие между ними становится весьма значительным по мере приближения скорости точки к скорости света.

Рис. 10.2

Заметим, что при , то есть при относительно малых скоростях движения, из выражений (10.1) и (10.2) следует:

и ,

что соответствует представлениям о массе и импульсе в классической механике Ньютона.

С учетом введенного понятия релятивистской массы уравнение основного закона релятивистской динамики может быть записано следующим образом:

или (10.3)

Формулировка закона формально совпадает с аналогичным законом классической механики: скорость изменения импульса материальной точки равна силе, действующей на эту точку.

Заметим, что при выражение (10.3) превращается в запись второго закона Ньютона.

§11. Закон взаимосвязи массы и энергии

В специальной теории относительности сделан важный вывод о взаимосвязи массы и энергии тела.

Определим сначала кинетическую энергию материальной точки таким же путем, как и в классической механике, то есть как величину, приращение которой равно работе действующей на точку силы. Известно, что малое приращение кинетической энергии точки под действием силына элементарном перемещениичисленно равно совершаемой элементарной работе:

, (11.1)

где - скорость точки,dt - малый промежуток времени.

Согласно уравнению (10.3) основного закона релятивистской динамики

, (11.2)

где m -релятивистская масса.

Подставляя (11.2) в (11.1), получим

или

, (11.3)

так как из правил скалярного умножения векторов следует, что

(11.4)

Выражение (11.3) можно упростить, используя формулу (10.1) зависимости массы от скорости. Возведем эту формулу в квадрат:

и приведем к виду

. (11.5)

Найдем дифференциал этого выражения, имея в виду, что m₀ и С - постоянные величины:

или после сокращения на 2m

. (11.6)

Сравнивая выражения (11.3) и (11.6), видим, что их правые части совпадают, следовательно, равны и левые части, то есть

, (11.7)

где dm - приращение релятивистской массы.

Из (11.7) следует, что приращение кинетической энергии материальной точки пропорционально приращению ее релятивистской массы.

Проинтегрировав (11.7), получим

или

. (11.8)

Легко показать, что при малых скоростях движения, то есть при , выражение (11.8) переходит в классическое. Действительно, используя бином Ньютона, можно записать:

При можно ограничиться первыми двумя членами этого ряда, тогда

или

Перепишем выражение (11.8) в виде

. (11.9)

Величину называют полной энергией , то есть

. (11.10)

Если материальная точка покоится (), то она обладает энергией

, (11.11)

называемой энергией покоя (собственной энергией).

Выражение (11.10) представляет собой математическую запись фундаментального вывода, сделанного Эйнштейном и носящего название закона взаимосвязи массы и энергии: полная энергия тела равна произведению релятивистской массы этого тела на квадрат скорости света в вакууме.

Из (11.9) следует, что полная энергия тела равна сумме кинетической энергии и энергии покоя этого тела, то есть

. (11.12)

Заметим, что в полную релятивистскую энергию не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле.

Таким образом, масса тела, которая в классической механике представляла собой меру инертности (во втором законе Ньютона), теперь представляет собой меру энергосодержания тела. Даже покоящееся тело согласно теории относительности обладает энергией - энергией покоя.

Изменение полной энергии тела как следует из (11.10), сопровождается эквивалентным изменением его массы, то есть

(11.13)

Для иллюстрации этого соотношения рассмотрим процесс излучения Солнца. Из астрономических наблюдений установлено, что энергия, излучаемая Солнцем за 1с, составляет приблизительно . Следовательно, Солнце ежесекундно теряет массу

^.

С точки зрения земных масштабов это огромное число, однако по сравнению с массой Солнца m_c эта потеря ничтожно мала, так как

^.

Существует определенная количественная связь между релятивистским импульсом и энергией. Используя выражения (10.2) и (11.8), можно получить соотношения

(11.14)

и

. (11.15)

133