ТР-ДУ
.pdfМ И Н И С Т Е Р С Т В О |
Т Р А Н С П О Р Т А |
Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И |
|||||||||
Ф Е Д Е Р А Л Ь Н О Е |
А Г Е Н Т С Т В О |
П У Т Е Й |
С О О Б Щ Е Н И Я |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
С а м а р с к и й |
г о с у д а р с т в е н н ы й |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
СамГУПС |
|
у н и в е р с и т е т |
п у т е й |
с о о б щ е н и я |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К а ф е д р а в ы с ш е й м а т е м а т и к и
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
У Р А В Н Е Н И Я
Т И П О В О Й Р А С Ч Е Т
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
СОСТАВИТЕЛЬ: Л.В. КАЙДАЛОВА
Cамара – 2009
УДК 002.6: 519.6: 075.5
Дифференциальные уравнения: Типовой расчет по высшей математике / Л.В. Кайдалова; Самара: СамГУПС, 2009. 28 с.
Утвержден на заседании кафедры, протокол № от
Печатается по решению редакционно-издательского совета университета.
Методические указания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом, с действующей программой по высшей математике для технических специальностей.
В пособии приведены индивидуальные задания, а также необходимые теоретические сведения и примеры решения задач.
Предназначено для студентов первого курса технических специальностей очной формы обучения.
Библиогр.: 5 назв.
Составитель Л.В. Кайдалова, к. ф.-м. н.
Рецензенты: д. ф.-м. н., проф. СамГТУ |
Радченко В.П., |
к. ф.-м. н., доцент СамГУПС |
Миронов Ф.С. |
Кайдалова Л.В.
Самарский государственный университет путей сообщения, 2009
2
П О Р Я Д О К В Ы П О Л Н Е Н И Я И З А Щ И Т Ы Т И П О В О Г О Р А С Ч Е Т А П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е
1.Выполнение учебного задания проводится по графику, устанавливаемому кафедрой высшей математики.
2.Решения задач необходимо представлять в письменном виде. Нумерация задач должна совпадать с их нумерацией в учебном задании.
3.Во время защиты студент должен уметь отвечать па теоретические вопросы, пояснять решения примеров из задания, решать примеры аналогичного типа.
4.Студенты, не отчитавшиеся по типовому расчету, не допускаются к сдаче экзамена по курсу.
5.При выполнении типового расчета необходимо соблюдать следующие пра-
вила:
на обложке тетради указать Ф.И.О., название предмета, номер группы, номер варианта;
представлять решения задач последовательно со всеми развернутыми расчетами и краткими пояснениями;
рисунки выполнять карандашом с использованием чертежного инструмента;
проверять правильность решения задач.
ЗАДАНИЕ № 1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРА ВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Установить вид и найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка.
1.1. |
а) |
ln cos y dx x tgy dy 0 ; |
б) |
(x |
2 2xy)dx xy dy 0 ; |
|
в) xy y x3 ; |
г) 2yy x 2y2 ; |
|||
|
д) |
5extgy dx (1 ex )sec2 y dy 0 . |
|
|
|
1.2. |
а) |
y sin(x y) sin(x y) ; |
б) |
x dy y dx y dy ; |
|
|
в) x2 y xy 1 0 ; |
г) y y / x y4 x2 ; |
|||
|
д) |
y(cos x 2xy)dx (sin x sin y 2x2 y)dy 0 . |
|||
1.3. |
а) |
xy y y2 ; |
б) |
(x |
2 y2 )dx xy dy 0 ; |
|
в) |
ysin x y cos x 1 ; |
г) |
y |
9x2 y x2 y2 / 3 ; |
д) (4x3 y y4 )dx (x4 4y3x)dy 0 .
3
1.4. а) e y (y 1) 1; |
|
б) |
x dy y ln |
x |
dx 0 ; |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
в) |
|
2 |
1) 4xy 3 |
; |
г) |
(x 1)y |
|
y y |
2 |
; |
||
y (x |
|
|
|
д) (sin y y sin x)dx (xcos y cos x)dy 0 .
1.5.а) tgx sin2 y dx cos2 x ctgy dy 0 ;
|
б) xy y |
|
x2 y2 ; |
|
|
|
|
в) y 2xy xe x2 ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
г) xy y2 ln x y 0 ; |
|
|
|
|
д) y dx (x 3y2 )dy 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1.6. |
а) |
(xy2 x)dx (y x2 y)dy 0 ; |
б) |
y y / x tg(y / x) ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) dx / dt x et ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) y y / x y2 0 ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
д) |
(ln y y / x)dx (x / y ln x)dy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1.7. |
а) |
(xy2 x)dx (x2 y y)dy 0 ; |
б) |
y |
y 2x |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2x |
|
|
|
||||||
|
в) y (x 1)3 |
2y |
; |
|
|
|
|
|
|
г) 4xy 3y ex x4 y5 ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
д) |
|
|
|
|
|
|
|
tgy |
dx |
tgx |
|
|
|
|
|
dy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
cos |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1.8. |
а) |
(1 x2 )dy y dx 0 ; |
|
|
|
|
б) |
y xy x yy ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y |
|
1 x2 x arcsin x ; |
|
|
xy |
2y |
|
y ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
д) (2x 2y)dx (2x 3y2 )dy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1.9. |
а) |
tgx dy / dx y a, |
a const ; |
|
б) |
xyy y2 |
2x2 ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
y ay ebx , |
|
a, b const ; |
|
|
г) |
xy 3y x4 y2 0 ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
д) (yex e y )dx (ex xey )dy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1.10. |
а) |
tgx dy tgy dx 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y dy (x 2y)dx 0 ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
в) (2x 1)y 4x 2y ; |
|
|
|
|
г) xy y y2e2x ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
д) |
y exy dx (xexy 1) dy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
у |
|
||||||||
1.11. |
а) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
xy sin |
|
|
|
x y sin |
|
|
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
в) |
y y ctgx 2xsin x ; |
|
|
|
|
г) |
y dx (y3 |
x)dy ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
д) (y 2x)dx (x 3 |
|
|
/ 2)dy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
1.12. |
а) |
x |
1 y2 |
|
y 1 x2 y 0 ; |
б) |
yy 2y x ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
в) |
dx/ dt x sint ; |
|
|
|
г) |
|
|
2 |
|
y |
3 |
x |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
3y y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
д) |
y2 5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
dx 2y x dy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 x |
|
xy y2 2x2 xy y ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1.13. |
а) |
yy 2xsec y ; |
|
|
|
|
|
|
б) |
||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
г) |
2 |
|
2 |
|
dy |
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
||
|
xy |
y (x 1)2 |
|
0 ; |
x y |
|
|
dx xy |
|
a |
|
|
, a const ; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
д) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4x y dx |
|
dy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.14. |
а) |
5extgy dx (ex 1)sec2 y dy ; |
б) (x y)dx (y x)dy 0 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) y 2y / x 3x2 y4 / 3 ; |
г) (x2 1)y 4xy 3 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
д) |
(sin 2x y)dx (x sin y)dy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1.15. |
а) |
(1 x2 )dy 2xy dx 0 ; |
б) |
(y4 2x3 y) dx (2xy3 x4 ) dy ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
y y tgx sec x ; |
|
|
|
г) |
3y2 dy (x y3 )dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
д) |
sec2 x tgy dx sec2 y tgx dy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1.16. |
а) |
3y y sin x 3y2 sin x 0 ; |
б) |
2x2 dy (x2 y2 )dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) y |
2y |
(x 1)2 ex ; |
г) y y xy3 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
д) |
(x2 sin y)dx (1 xcos y)dy 0 . |
|
xy 2 y |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1.17. |
а) |
sinx sin y dx cos x cosy dy 0 ; |
б) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
xy |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) y 3y / x 2/ x3 ; |
|
|
|
г) y 2y / x y3 / x3 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
д) |
(arcsin x 2xy)dx (x2 1 arctg y) dy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x2 y2 )dy 2xy dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||
1.18. |
а) |
xy dx (1 y2 ) |
1 x2 dy 0 ; |
б) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
xy y x2 cos x ; |
|
|
|
г) |
(2xy2 y)dx x dy 0 ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
д) 2xy dx (x2 y2 )dy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1.19. |
а) |
x yx yy (1 x) 0 ; |
б) |
xy y |
|
y2 x2 |
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
y y ctgx sin x ; |
|
|
|
г) |
(x2 4)y 4y (x 2)y2 0 ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
д) |
(2x cos x2 y2 )dx 2xy dy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1.20. |
а) |
yy xey |
|
0 ; |
|
|
|
|
|
|
б) |
xy y2 (2x2 |
xy)y ; |
5
в) |
y |
|
y / x x |
2 |
|
|
|
|
|
г) |
|
|
|
2xy |
|
|
y |
||||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
arctgx ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
|
|
2 |
y |
1 y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2xy dx x |
|
|
|
dy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.21. а) |
y 3 ln(ln x)dx x ey |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||||||
dy |
0 ; |
б) x ctg |
|
y dx x dy 0 ; |
|||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
в) |
(y2 1)dx (2y2 2xy)dy ; |
г) y |
y |
cos |
y |
; |
|
||||||
x |
|
|
|||||||||||
|
5ex ysin x cos x 3e y y . |
|
|
|
|
x |
|
||||||
д) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.22. а) |
1 |
y sin y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 cos y 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 cos x sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) xy xey / x y ; |
|
в) y xy y ln y ; |
|||||||||||
|
(1 x2 )y xy xy2 ; |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
г) |
|
д) 2x |
|
dx |
2y |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
x2 dy 0 . 2y2
1.23. |
а) |
xy y ln y 0 ; |
б) |
x dy (2 |
|
xy y)dx ; |
||||||||||
|
в) t dx (x t sint)dt 0 ; |
г) |
)x2 y3 xy)y 1 ; |
|
||||||||||||
|
д) (5x4 y)dx (x 5y4 ) dy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.24. |
а) |
(x 2)e y dx y |
|
dy 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
б) |
(6xy 5y2 )dx (y2 10xy 3x2 )dy ; |
в) |
|
y dx (x y2 sin y)dy ; |
|||||||||||
|
г) |
y y / x y4 (1 x2 ) ; |
д) |
x2 sin y (1 xcos y)y 0 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.25. |
а) |
x |
2 |
y 2xy 3y ; |
б) |
x dy |
|
x |
2 |
y |
2 |
y |
||||
|
|
|
|
dx ; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
y cos x y sin x sin 2x ; |
г) |
(1 x2 )y xy xy2 ; |
|
|||||||||||
|
д) (yex 2/ x)dx (ex 1/ y)dy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.26. |
а) |
(x y2 y2 )dx (x2 y x2 )dy ; |
б) |
(xyex / y y2 )dx x2ex / y dy ; |
в) |
y y cosec x tg |
x |
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
sin y |
sin x |
|||
д) |
cos x ln y |
|
dx |
|
||
|
|
|||||
|
|
x |
|
y |
||
|
|
г) xy y xy2 ln x ;
cos y ln x dy 0 .
1.27. а) sec2 x tgy dx sec2 y tgx dy 0 ; |
|
б) y2 (x y)2 dx xy dy 0 ; |
в) xy y x3 ; |
6
|
г) |
xy y y2 ln x ; |
|
|
|
д) (y sin x e y )dx (cos x xey ) dy . |
|||||
1.28. |
а) |
1 ln2 y |
3 ln2 |
x |
|
|
; б) (2x 3y)dx (x 2y)dy 0 ; |
||||
|
dx |
|
|
|
|
|
dy 0 |
||||
|
|
y |
|
|
|||||||
|
|
x ln y |
|
|
|
|
|
||||
|
в) |
y y x 2 ; |
|
|
|
|
|
г) |
y y tgx y2 cos x 0 ; |
||
|
д) (3x2 6xy2 ) dx (6x2 y 4y3) dy 0 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
б) (3y2 3xy x2 )dx (x2 2xy)dy ; |
|||||
1.29. |
а) |
(1 x2 )y y |
1 x2 |
xy ; |
|||||||
|
в) |
(1 x2 )y 2xy (1 x2 )2 ; |
г) |
yy y2ctgx cos x ; |
д) (ex ln y)dx x dy 0 . y
1.30.а) 2x 1 y2 dx e x2
в) y y xex ;
д) (2xy ln y)dx x(x
dy 0 ; б) xy y(1 ln y ln x) 0 ; г) y cos x y sin x y4 ;
1/ y)dy 0 .
ЗАДАНИЕ № 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРА ВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Найти общее решение или общий интеграл дифференциальных уравнений.
2.1. а) xy y x 0 ; б) y (2y 3) 2(y )2 0 ;
в) (y )2 y 1.
2.2. |
а) |
xy |
|
(1 2x |
2 |
)y |
|
; |
б) |
yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 (y ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
|
|
|
2 |
4y |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(y |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2.3. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ; |
|
|
б) |
2yy |
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y tgx y |
|
|
|
|
|
(y ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
xy y 1 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2.4. |
а) |
y |
|
|
|
|
|
|
tgx sin 2x ; |
б) |
yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y |
|
|
1 (y ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
yIV tgx |
|
y 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.5. |
а) |
x |
3 |
y |
|
x |
2 |
y |
|
1; |
|
|
б) |
yy |
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
в) |
y 2(y 1)ctgx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2.6. |
а) |
y |
|
y |
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
2yy |
|
|
|
|
|
|
2 |
4y |
2 |
; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(y ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
в) |
xy y x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2.7. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
б) (1 x |
2 |
)y |
|
x |
3 |
2xy |
|
; |
|||||||||
y xln x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
|
в) xyIV y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2.8. |
а) |
xy y x2ex ; |
|
|
|
|
б) |
y3 y 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
в) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 (y |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2.9. |
а) |
xy |
|
y |
|
|
x |
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
б) |
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 y ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
x |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(y |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2.10. |
а) |
xy |
|
y |
|
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3/ 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (y ) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
xyIV |
|
|
y x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2.11. |
а) |
(1 x |
|
2 |
)y |
|
xy |
|
2 ; |
б) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(2y 3) 2(y ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
y 2(y 1)tgx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2.12. |
а) |
2x y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1; |
б) |
2yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(y ) |
|
|
1 (y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
|
|
|
2 |
|
y y |
|
y y |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
(y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2.13. |
а) |
xy |
|
y |
|
ln |
y |
|
; |
|
|
|
|
|
|
б) |
2yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
(y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
в) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(y |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2.14. |
а) |
(1 x |
2 |
)y |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 0 ; |
б) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
(y ) |
|
|
|
|
|
|
1 (y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
xy y x 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
||||||||
2.15. |
а) |
y |
y |
|
x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
(y ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
xy |
y 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2.16. |
а) |
2xy |
|
y |
|
0 ; |
|
|
|
|
|
|
б) |
yy |
|
y |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
yIV |
|
y x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2.17. |
а) |
y |
|
xy |
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
б) |
(y 1) y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(y ) |
|
|
|
|
|
|
2( y ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(y |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2.18. |
а) |
xy |
|
|
y |
|
|
0 ; |
|
|
|
|
|
|
б) |
yy |
|
y |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
yV |
|
yIV |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2.19. |
а) |
y |
|
y |
|
|
x 0 ; |
|
|
|
|
|
|
б) |
yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
xyIV |
|
|
|
|
|
y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2.20. |
а) |
y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
2 |
; |
б) |
(y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
(y ) |
|
|
|
|
|
у |
|
)y (y ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
(y |
|
|
2 |
|
y |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
2.21. |
а) |
(e |
x |
1)y |
|
y |
|
0 |
; |
|
|
б) |
yy |
|
|
|
|
2 |
y |
2 |
; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
в) xyV yIV x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||||
2.22. |
а) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
б) |
yy |
y |
|
|
|
y |
|
(y ) |
|
y ; |
||||||||
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
в) |
y / x yIV |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
3 |
x ; |
|
y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
2.23. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
2 |
|
|
|
|
0 ; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 y ctgx |
|
|
|
|
(y ) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
в) |
x3 y x2 y 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2.24. |
а) |
(x2 1)y 2xy 0 ; |
б) |
2yy y 0 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
в) |
(ex 1)yIV |
y 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2.25. |
а) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 ; |
|
|
б) |
yy |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|||
|
|
2x(y ) |
|
|
|
|
|
|
(y ) |
y y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
в) xyV yIV . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.26. |
а) |
xy xy y ; |
|
|
|
б) |
y tgx 2y ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
в) |
(x 1)y (x 2)(y 1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
0 ; |
|
|
|
|
y |
|
|
|
2y(y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2.27. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
(1 y2 ) ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
y xln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
в) |
xyIV y 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.28. а) y |
y |
y |
|
||
|
1 ln |
|
|
; |
|
|
|
||||
|
x |
x |
|
в) y tgx y sin 2x .
2.29.а) xy y x2 1; в) y y 3(y )2 0 .
2.30. а) |
yIV tgx y 1; |
в) |
y sin4 x sin 2x . |
б) 2y y y2 (y )2 ;
б) yy (y )2 ;
б) yy (y )2 y2 y ;
9
ЗАДАНИЕ № 3
ЛИНЕЙНЫЕ ОБЫКНОВЕННЫ Е ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ N - ОГ О ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМ И КОЭФФИЦИЕНТАМ И
Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям, методом неопределенных коэффициентов (п. а) и общие решения дифференциальных уравнений методом вариации произвольных постоянных (п. б).
3.1. |
а) |
y y x 1; y(0) 0, |
y (0) 2 ; |
|
|||||||
|
б) |
y 4y 1/ sin2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
||
3.2. |
а) |
y y 9xe2x ; |
y(0) 0, y (0) 5 ; |
|
|||||||
|
б) |
y 4y sec 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
||
3.3. |
а) |
y 3y 4y 17sin x; |
y(0) 4, |
y (0) 0 ; |
|||||||
|
б) y 2y y ex / x . |
|
|
|
|
||||||
3.4. |
а) |
y 5y 6y x2 x; y(0) 0, |
y (0) 1/ 9 ; |
||||||||
|
б) y y x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.5. |
а) |
y y 4ex ; y(0) |
4, |
y (0) 3; |
|
||||||
|
б) y 4y 4y e 2x ln x . |
|
|
||||||||
3.6. |
а) |
y 2y 2ex ; |
y(1) 1, y (1) 0 ; |
|
|||||||
|
б) y 2y y 3e x |
|
|
|
. |
|
|
||||
|
|
x 1 |
|
|
|||||||
3.7. |
а) |
y y 4xex ; |
y(0) 1, |
y (0) 2 ; |
|
||||||
|
б) |
y y 1/ cos3 x . |
|
|
|
|
|
|
|
||
3.8. |
а) |
y 3y 2y e3x (3 4x); y(0) y (0) 0 ; |
|||||||||
|
б) |
y y 1/ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
||||||
3.9. |
а) |
y 2y 2y xe x ; y(0) y (0) 0 ; |
|
||||||||
|
б) |
y 4y 2tgx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.10. |
а) |
y 2y 5y 5x2 |
4x 2; y(0) 0, |
y (0) 2 ; |
|||||||
|
б) y 3y 2y |
1 |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ex 1 |
|
|
|
|
10