1.8. Теоремы алгебры логики

Теоремы алгебры логики отражают связи между операциями, выполняемыми над логическими переменными. Основные двенадцать теорем представлены в таблице 1.7. Эти операции подчиняются принципу двойственности, поэтому в таблице расположены попарно: левый столбец для логического сложения, правый – для логического умножения.

Таблица 1.7

Теоремы алгебры логики

№ п.п	для логического сложения	для логического умножения
1	Х + 0 = Х	Х  1 = Х
2	Х + 1 = 1	Х  0 = 0
3	Х + Х = Х	Х × Х = Х
4
5
6	Х1+Х0 = Х0+Х1	Х1  Х0 = Х0  Х1
7	(Х2+Х1) + Х0 = Х2 + (Х1 + Х0)	(Х2  Х1)  Х0 = Х2  (Х1  Х0)
8	Теорема Де-Моргана
9	Теорема поглощения Х1  Х0 + Х0 = Х0	(Х1 + Х0)  Х0 = Х0
10	Х2  Х1 + Х0 = (Х1 + Х0)  (Х2 + Х0)	(Х2 + Х1)  Х0 = Х2  Х0 + Х1  Х0
11
12	Теорема склеивания

Теоремы алгебры логики можно доказать непосредственной подстановкой.

Контрольные вопросы

1. Перечислите известные вам системы счисления.

2. В чём заключается преимущество дискретных сигналов?

3. В каких единицах измеряется информация, представленная дискретными сигналами?

4. Что такое логические константы и логические переменные?

5. Какие операции применяются в алгебре логики? Приведите таблицы истинности и алгебраические выражения этих операций.

6. Изобразите условные графические обозначения логических элементов И, ИЛИ, НЕ. Какое количество входов может быть у этих логических элементов?

7. Что такое ДНФ и КНФ? Как получить запись функции алгебры логики (ФАЛ) в виде алгебраического выражения, пользуясь таблицей истинности?

8. Приведите классификацию логических устройств.

9. Как строится структурная схема логического устройства по записи ФАЛ? Покажите на произвольном примере.

10. Сформулируйте принцип двойственности. Докажите, что логические элементы И-НЕ и ИЛИ-НЕ образуют функционально полные системы ЛЭ.

11. Докажите теоремы алгебры логики №9, 10, 11 и 12.

2. Минимизация функций алгебры логики

2.1. Цель минимизации фал

Логическое устройство можно синтезировать непосредственно по алгебраическому выражению, представленному в виде ДНФ или КНФ. Однако полученная схема не будет оптимальной. Поэтому полученные из таблицы истинности ФАЛ необходимо минимизировать.

Целью минимизации ФАЛ является снижение стоимости её технической реализации. Если проанализировать формулу ДНФ (1.2), то можно заметить, что в ней возможны вынесения за скобки общих сомножителей (значений переменных или их инверсий). Такие же преобразования можно провести и в формуле КНФ (1.3), если алгебраически перемножить элементарные логические суммы, а затем привести подобные члены и вынести за скобки общие сомножители. В конечном итоге можно получить выражение, содержащее гораздо меньше переменных. Например, для формулы (1.2) можно провести следующие преобразования:

;

.

Воспользовавшись теоремами №4 и №1Х  1 = Х(см таблицу 1.7), ФАЛ можно ещё более упростить:

. (2.1)

В результате мы получили минимальную дизъюнктивно нормальную функциюМДНФ. Для её технической реализации (без учёта инверторов для получения инверсных значений входных переменных) потребуется шесть ЛЭ: четыре 2И и два 2ИЛИ. В технической реализации по ДНФ из формулы (1.2) требовалось пять элементов: четыре 3И и один 4ИЛИ (см. рис. 1.4).

Попробуем ещё раз преобразовать формулу (1.2):

;

;

.

Воспользовавшись теоремой №11 , получим МДНФ:

. (2.2)

Для технической реализации такой МДНФ потребуется четыре ЛЭ: один 3И, один 2И и два 2ИЛИ.

Мы получили неоднозначные результаты. С одной стороны по ДНФ пять многовходовых (число входов >2) ЛЭ, с другой стороны по МДНФ шесть простых двухвходовых ЛЭ или четыре ЛЭ, из которых один многовходовый. Окончательный выбор варианта технической реализации будет зависеть от типа заданных (или имеющихся в наличии) ЛЭ.

Рассмотренный пример для трёх входных переменных позволил достаточно просто воспользоваться теоремами алгебры логики. Если же входных переменных будет больше, то преобразования становятся не столь очевидными.