- •ВВЕДЕНИЕ
- •1 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
- •1.1 Методы отделения корней
- •1.1.1 Постановка задачи
- •1.1.2 Табличный метод отделения корней
- •1.1.3 Графический метод отделения корней
- •1.1.4 Метод интервалов отделения корней
- •1.2.2 Оценка погрешности приближенного корня
- •1.2.3 Метод половинного деления
- •1.2.3.1 Алгоритм метода половинного деления
- •1.2.4 Метод итераций
- •1.2.4.1 Алгоритм метода итераций
- •1.2.5 Метод Ньютона
- •1.2.5.1 Алгоритм метода Ньютона
- •1.2.6 Метод хорд
- •1.2.6.1 Алгоритм метода хорд
- •1.2.7 Комбинированный метод
- •1.2.7.1 Алгоритм комбинированного метода
- •1.2.8 Пример решения уравнения
- •1.2.8.1 Метод половинного деления
- •1.2.8.2 Метод итераций
- •1.2.8.3 Метод Ньютона
- •1.2.8.4 Метод хорд
- •1.2.8.5 Комбинированный метод
- •1.2.9 Уточнение корней уравнений в Excel с помощью циклической ссылки
- •1.2.9.1 Метод половинного деления
- •1.2.9.2 Метод итераций
- •1.2.9.3 Метод Ньютона
- •1.2.9.4 Метод хорд
- •1.2.9.5 Комбинированный метод
- •1.2.10 Решение уравнений средствами MathCAD
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
16
1.2.6 Метод хорд
Пусть на отрезке [a; b] отделен корень уравнения (1), функция f(x) дважды дифференцируема, а f ′(x) и f ′′(x) сохраняют постоянные знаки на указанном интервале.
Метод заключается в том, что на интервале [a;b] отделения корня ξ уравнения (1) дуга кривой y = f(x) заменяется стягивающей ее хордой и в качестве приближенного значения корня x принимается точка пересечения хорды с осью абсцисс (рис. 7).
Уравнение хорды определяем как уравнение прямой, проходящей через точки A(a, f(a)) и B(b, f(b)), имеющее вид
y
B(b, f(b)) f(b)
|
α |
|
|
0 |
ξ |
β |
x |
f(a) |
A(a, f(a)) |
|
|
|
|
|
x − |
a |
= |
y − f ( a ) |
. |
b − |
a |
|
f ( b ) − f ( a ) |
|
|
|
|
(19) |
Если x = x , то y = 0, тогда из (19) следует
Рис. 7. Геометрическая интерпретация метода хорд
x
x − a |
= − |
f ( a ) |
, |
b − a |
f ( b ) − f ( a ) |
откуда находим приближенное значение корня
x = a – |
f ( a ) |
(b – a). |
(20) |
f ( b ) − f ( a ) |
Для нахождения последующих приближений определяется отрезок, на концах которого функция имеет разные знаки. Если sgn f(a) = sgn f( x ), то полагается a = x , иначе b = x и повторяются вычисления по формуле (20).
Замечание. Вычисление приближенного значения x корня ξ уравнения (1)
выполняется с недостатком, т. е. x – ξ < 0, если на отрезке [a; b] имеют места неравенства:
f ′(x) > 0 и f ′′(x) > 0 – функция f(x) возрастающая, график f(x) вогнутый;
f ′(x) < 0 и f ′′(x) < 0 – функция f(x) убывающая, график f(x) выпуклый.
Вычисление приближенного значения x корня ξ уравнения (1) выполняется с избытком, т. е. x – ξ > 0, если на отрезке [a; b] имеют место неравенства: