- •Экономико-математические методы и модели
- •Содержание
- •Лекция 1. Теоретические основы экономико-математического моделирования
- •1 Объекты изучения и методы исследования курса «Экономико-математические методы и модели»
- •2 Понятие экономико-математической модели и моделирования
- •3 Классификация экономико-математических моделей
- •4 Основные этапы экономико-математического моделирования
- •5 Программное обеспечение экономико-математического моделирования
- •Лекция 2. Система экономико-математических моделей оптимального планирования и управления
- •1 Понятие оптимизационных задач и оптимизационных моделей
- •2 Методика построения оптимизационной модели
- •3 Основные типы линейных экономико-математических моделей
- •1.3 Модели рационального распределения материальных ресурсов. В общем виде данная задача может быть сформулирована следующим образом:
- •Лекция 3. Экономико-статистическое моделирование и прогнозирование
- •1 Понятие экономико-статистической модели
- •2 Основные инструменты анализа экономических данных1
- •3 Применение корреляционного анализа для решения экономических задач1
- •4 Применение регрессионного анализа для решения экономических задач1
- •5 Трендовые модели прогнозирования экономических процессов
- •Лекция 4. Модели оптимального управления товарными запасами
- •1 Основные понятия экономико-математических моделей управления запасами
- •2 Модели управления однономенклатурными запасами1
- •3 Модели управления многономенклатурными запасами2
- •Лекция 5. Модели систем массового обслуживания
- •1 Понятие о системах массового обслуживания (смо)
- •2 Основные характеристики смо1
- •3 Классификация смо
- •4 Экономико-математическая постановка задач массового обслуживания
- •Лекция 6. Методы и модели сетевого планирования и управления
- •1 Особенности и назначение систем сетевого планирования и управления
- •2 Основные понятия, определения и графические обозначения спу
- •3 Правила построения сетевых графиков
- •4 Основные параметры сетевых моделей и методы их расчета
- •5 Постановка задач для решения методами спу
- •6 Виды и сущность оптимизации сетевых моделей
- •Лекция 7. Экономико-математические методы и модели теории игр
- •1 Предмет и задачи теории игр
- •2 Матричные игры с нулевой суммой
- •3 Решение матричных игр в чистых стратегиях
- •4 Решение матричных игр в смешанных стратегиях
- •5 Решение статистических игр по различным критериям
- •Лекция 8. Модели межотраслевого баланса
- •1 Общие понятия балансового метода
- •2 Принципиальная схема межотраслевого баланса
- •3 Экономико-математическая модель межотраслевого баланса
- •Литература
3 Экономико-математическая модель межотраслевого баланса
Основу информационного обеспечения модели межотраслевого баланса составляет технологическая матрица, содержащая коэффициенты прямых материальных затрат на производство единицы продукции. Эта матрица является также основой экономико-математической модели межотраслевого баланса. Предполагается, что для производства единицы продукции в j-й отрасли требуется определенное количество затрат промежуточной продукции i-й отрасли, равное аij. Оно не зависит от объема производства в j-й отрасли и является довольно стабильной величиной во времени.
Величины аij называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:
. (8.6)
Таким образом, имеет место определение 1. Коэффициент прямых материальных затрат аij показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.
С учетом формулы (8.6) систему уравнений баланса (8.2) можно переписать в виде
. (8.7)
Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат ,вектор-столбец валовой продукции Х и вектор-столбец конечной продукции Y:
, ,
то система уравнений (8.7) в матричной форме примет вид
X = AX + Y. (8.8)
Система уравнений (8.7), или в матричной форме (8.8) называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью В. Леонтьева) или моделью «затраты - выпуск». С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:
1) задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Xi), можно определить объем конечной продукции каждой отрасли (Yi):
Y = (Е - А) ∙ Х; (8.9)
2) задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Хi):
X = (E – A)-1 ∙ Y; (8.10)
3) задав для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых; в этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели (8.8), а системой линейных уравнений (8.7).
В формулах (8.9) и (8.10) Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, a (E - A)-1 обозначает матрицу, обратную к матрице (Е - А). Если определитель матрицы (Е - А) не равен нулю, т. е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через B = (E – A)-1, тогда систему уравнений в матричной форме (8.10) можно записать в виде
X = B ∙ Y . (8.11)
Элементы матрицы В будем обозначать через bij, тогда из матричного уравнения (8.11) для любой i-й отрасли можно получить следующее соотношение:
, (8.12)
где ΔХi и ΔYj - изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции соответственно.
Из соотношений (8.12) следует, что валовая продукция выступает как взвешенная сумма величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты bij, которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли. В отличие от коэффициентов прямых затрат аij коэффициенты bij называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.
Дадим определение коэффициента полных затрат (определение 2): коэффициент полных материальных затрат bij показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.
Коэффициентами полных материальных затрат можно пользоваться, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей.