4.3. Равносильные преобразования формул

В отличие от табличного задания представление функции формулой не единственно. Например, две различные формулы

x₁Vx₂ и (x₁&x₂)

реализуют одну функцию – штрих Шеффера.

Две формулы, реализующие одну и ту же функцию, называются равносильными.

Равносильность формул A и B будем обозначать следующтм образом: A  B.

Для того, чтобы установить равносильность формул, можно составить таблицы значений функции для каждой формулы и сравнить их. Для равносильных формул эти таблицы совпадают. Другой способ установления равносильности формул заключается в использовании некоторых установленных равносильностей булевых формул.

Основные равносильности булевых формул.

Для любых формул A, B, C справедливы следующие равносильности:

1. Коммутативность.

а) A&B B&A (для конъюнкции);

б) AVB  BVA (для дизъюнкции).

2. Ассоциативность.

а) A&(B&C)  (A&C)&C (для конъюнкции);

б) AV(BVC)  (AVB)VC (для дизъюнкции).

3. Дистрибутивность.

а) A&(BVC)  A&BVA&C (для конъюнкции относительно дизъюнкции);

б) AV(B&C)  (AVB)&(AVC) (для дизъюнкции относительно конъюнкции).

4. Закон де Моргана.

а) (A&B)AVB (отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний);

б) (AVB) A&B (отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний).

5. Идемпотентность.

а) A&A  A (для конъюнкции);

б) AVA  A (для дизъюнкции).

6. Поглощение.

а) A&(AVB)  A (1– ый закон поглощения);

б) AVA&B  A (2– ой закон поглощения).

7. Расщепление (склеивание).

а)A&B V A&(B)  A (1–ый закон расщепления);

б) (AVB) & (AVB)  A (2–ой закон расщепления).

8. Двойное отрицание.

(A)  A.

9. Свойства констант.

а)A&1  A; б) A&0  0; в)AV1  1; г) AV0  A; д) 0 1; е) 1 0.

10. Закон противоречия.

A&A  0.

11. Закон “исключенного третьего”.

AVA  1.

Каждая из перечисленных равносильностей может быть доказана с помощью таблиц значений функций, составленных для выражений, стоящих слева и справа от символа “”. Докажем, например, равносильность 4а. Для этого составим таблицу 4.5.

Таблица 4.5

A	B	A&B	(A&B)	A	B	AVB
0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1	1 1 1 0	1 1 0 0	1 0 1 0	1 1 1 0

Из таблицы 4.5 видно, что (A&B)  AVB, что и требовалось доказать.

Следующие важные равносильности показывают, что все логические операции могут быть выражены через операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания:

12. AB AVB (A&B).

13. A~B  (AB)&(BA)  (A&B) V (A&B) АVB)&(AVB).

14. AAVB) V (A&B).

15. A¯B (AVB) A&B.

16. AïB (A&B)AVB.

Используя равносильности 3а и 3б и метод математической индукции, нетрудно получить также следующие равносильности (обобщенные законы дистрибутивности):

17. (A₁VA₂V...VA_n)&(B₁VB₂V...VB_m) 

A₁&B₁VA₁&B₂V...VA₁&B_mV...VA_n&B₁VA_n&B₂V...VA_n&B_m.

18. (A₁&A₂&...&A_n)V(B₁&B₂&...&B_m) 

(A₁VB₁)&(A₁VB₂)&...&(A₁VB_m)&...&(A_nVB₁)&(A_nVB₂)&...&(A_nVB_m).

Используя равносильности 4а и 4б и метод математической индукции, можно получить также следующие равносильности (обобщенные законы де Моргана):

19. (A₁&A₂&...&A_n) A₁VA₂V...VA_n.

20. (A₁VA₂V...VA_n) A₁&A₂&...&A_n

В равносильностях 1 – 20 в качестве A, B, A_i, B_i могут быть подставлены любые формулы и, в частности, переменные. Приведем правило, с помощью которого можно переходить от одних равносильностей к другим.