31.Частные производные. Независимость смешанных частных производных от порядка дифференцирования.

Функция z = f (M) дифференцируема в точке М, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде суммы линейной части относительно приращений аргументов и слагаемых более высокого порядка малости относительно приращений аргументов:

Δz = A Δx + B Δy + o (Δx, Δy)

где

.Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

32.Дифференцируемость функций нескольких переменных. Дифференциал функций.

Полный дифференциал функции нескольких переменных. Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных.

Функция Z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке P(x,y), если ее полное приращение ΔZ можно представить в виде Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx,Δy), где Δx и Δy – любые приращения соответствующих аргументов x и y в некоторой окрестности точки Р, А и В – постоянные (не зависят от Δx,Δy),

ω(Δx,Δy) – бесконечно малое более высокого порядка, чем расстояние:

Если функция дифференцируема в точке, то ее полное приращение в этой точке состоит из двух частей :

1. Главной части приращения функции A∙Δx+B∙Δy – линейное относительно Δx,Δy

2. И нелинейное ω(Δx,Δy) – бесконечно малое более высокого порядка, чем главная часть приращения.

Главная часть приращения функции – линейная относительно Δx,Δy называется полным дифференциалом этой функции и обозначается: Δz = A∙Δx+B∙Δy, Δx=dx и Δy=dy или полный дифференциал функции двух переменных:

Достаточные условия дифференцируемости.

Теорема 1:Если функция Z=f(x,y) дифференцируема в точке P(x,y), то она имеет в точке Р первые частные производные:

Теорема 2:Если же частные производные непрерывны в окрестности точки Р, то эта функция дифференцируема, т.е существует дифференциал.

33.Частные производные сложной функции.

В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

В явном виде частная производная функции f определяется следующим образом:

Функции нескольких переменных

Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области W ставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y). z=f(x,y) Геометрическое изображение функции двух переменных - поверхность.

Частное и полное приращение функции.

Полное приращение функции Dz=f(x+Dx, y+Dy)-f(x,y)

Частное приращение функции Dx z=f(x+Dx)-f(x,y)

Dy z=f(x,y+Dy)-f(x,y)

Вообще, полное приращение функции не равно сумме частных приращений.

Пример. z=xy. Dx z=(x+Dx)y-xy=yDx

Dy z=x(y+Dy)-xy=xDy

Dz=(x+Dx)(y+Dy)-xy=yDx+xDy+DyDx № Dy z+Dx z.

Непрерывность функции нескольких переменных

Предел функции.

Пусть z=f(x,y) определена в некоторой окрестности A(x0,y0).

Определение. Постоянное число b называют пределом z=f(x,y) при P(x,y) стремящемся к A, если для любого e > 0 можно указать такое значение d > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенству |AP| < d, имеет место неравенство |f(x,y)-b| < e.

Непрерывная функция