Линейная алгебра
.pdf
Министерство образования и науки РФ
Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина
Кафедра высшей математики
С.И. ВАСИН
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебно-методическое пособие для студентов
Москва 2010
В пособии изложены вводные разделы из курса линейной алгебры. Опре-
делены операции над матрицами и рассмотрены основные методы решений систем линейных уравнений: метод Крамера, матричный и Гаусса. Представле-
ны четкие алгоритмы решений задач. Теоретическое изложение материала со-
провождается множеством примеров. В пособие включены разделы, предна-
значенные для самостоятельного изучения, что позволит сделать внеаудитор-
ную работу студента более эффективной.
Отзывы и замечания просьба отправлять автору по адресу s.vasin@rambler.ru
Рецензенты:
Ролдугин В. И., зав. лабораторией института физической химии и электрохи-
мии им. А.Н. Фрумкина РАН, доктор ф-м. наук, профессор;
Скугорев В. П., доцент кафедры ВиПМ МГУПП, канд. техн. наук, доцент
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
1. |
Матрицы, действия над ними ................................................................................ |
3 |
2. |
Определитель матрицы. Миноры и алгебраические дополнения ..................... |
5 |
3. |
Обратная матрица.................................................................................................. |
11 |
4. |
Понятие линейной зависимости. Базисный минор. Ранг матрицы ................. |
12 |
5. |
Система линейных алгебраических уравнений................................................. |
15 |
|
Метод Крамера ...................................................................................................... |
16 |
|
Матричный метод ................................................................................................. |
17 |
|
Метод Гаусса ......................................................................................................... |
18 |
6. |
Однородная система линейных уравнений........................................................ |
23 |
7. |
Собственные значения и собственные векторы матрицы................................ |
27 |
8. |
Упражнения ........................................................................................................... |
30 |
Список литературы ................................................................................................... |
32 |
|
МАТРИЦЫ, ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
1. МАТРИЦЫ, ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Определение. Таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, называ-
ется матрицей размерности m × n .
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
11 |
12 |
1n |
Обозначения матрицы: A = A |
m× n |
= (a |
ij |
) |
= a21 |
a22 |
a2n . |
|
|
m× n |
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 am2 |
amn |
|
Числа aij называются элементами матрицы. Первый индекс i указывает номер
строки, в которой стоит элемент, а второй индекс j – номер столбца.
Определение. Матрицы А и В равны, если они имеют одинаковую размер-
ность и их соответствующие элементы равны.
Определение. Матрица A m×1 , состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом.
Определение. Матрица A1×n , состоящая из одной строки, называется мат-
рицей-строкой.
Определение. Матрица A n × n у которой число строк равняется числу столб-
цов называется квадратной размерности n.
Определение. Диагональ a11 , a22 , a33... – называется главной диагональю
матрицы.
Определение. Квадратная матрица, у которой ниже (выше) главной диаго-
нали расположены только нулевые элементы, называется верхней (нижней)
треугольной матрицей и обозначается T(T), т.е.
|
a |
a |
a |
a |
0 |
0 |
|
|
|||
|
|
11 |
12 |
1n |
11 |
|
|
|
|
||
T = |
|
0 a22 |
a2n |
|
|
a21 |
a22 |
0 |
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
. T = |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
an2 |
|
|
|
||
|
|
ann |
an1 |
ann |
|
||||||
Определение. Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной матрицей и обозначается D.
3
МАТРИЦЫ, ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Определение. Диагональная матрица, у которой все элементы на главной диагонали равны 1, называется единичной матрицей и обозначается Е.
Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется ну-
левой и обозначается О.
Операции над матрицами
1) Сложение и вычитание
Матрицы одинаковой размерности складывают и вычитают по правилу:
(aij )m× n ± (bij )m× n = (aij ± bij )m× n ,
т.е. при сложении матриц соответствующие элементы складываются.
Роль нулевой матрицы: А+О = А.
2) Умножение матрицы на скаляр (число)
Матрицу умножают на скаляр по правилу: λ(aij )m× n = (λaij )m× n ,
т.е. при умножении матрицы на скаляр каждый элемент умножается на скаляр.
Пример 1. Дано |
|
2 |
6 |
|
− 9 |
7 |
|
Вычислить 2А-3В. |
|
A = |
− 5 |
|
, |
B = |
|
− 10 |
. |
||
|
|
10 |
|
|
14 |
|
|
||
|
2 2 + 3 9 |
2 6 − 3 7 |
|
31 |
− 9 |
Решение. 2 A − 3 B = |
|
= |
|
|
. |
|
− 2 5 − 3 14 2 |
10 + 3 10 |
|
− 52 |
50 |
Свойства линейных операций:
1.A + B = B + A – переместительный закон.
2.( A + B ) + C = A + ( B + C ) – сочетательный закон.
3.λ( A + B ) = λA + λB – распределительный закон относительно матриц.
4.A(λ+β) = λA+βA – распределительный закон относительно чисел.
Доказательство свойств следует из определений линейных операций. 3) Умножение матриц
Произведением матрицы Am× n |
= (aij ) на матрицу Bn × p = (bij ) называется |
n |
|
матрица Cm× p = (cij ), где cij = ∑aik |
bkj , т.е. элемент сij матрицы С=АВ равен |
k =1 |
|
сумме попарных произведений соответствующих элементов i-й строки матри-
цы А и j-го столбца матрицы В.
4
МАТРИЦЫ, ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Из определения произведения матриц следует, что матрицу А можно ум-
ножить не на всякую матрицу В: необходимо, чтобы количество столбцов в матрице А было равно количеству строк в матрице В. В результате получится матрица С, количество строк которой равно количеству строк в матрице А, а
количество столбцов – количеству столбцов в матрице В.
|
2 |
3 |
1 |
|
2 |
1 |
Пример 2. Дано: A = |
|
− 5 |
, |
B = |
|
. Вычислить произведения АВ, ВА. |
4 |
2 |
3 |
4 |
|||
Решение. Матрицу А2×3 умножить на матрицу B 2×2 нельзя, т.к. количество столбцов матрицы А –3 неравно количеству строк матрицы В–2.
В |
|
А |
|
2 |
1 2 |
3 1 |
|
2 2 +1 4 2 3 −1 5 2 1+1 2 |
8 1 4 |
|
||
2×2 |
2×3 |
= |
|
|
|
= |
|
= |
. |
|||
|
|
3 |
4 |
4 |
− 5 2 |
3 2 + 4 4 3 3 − 4 5 3 1+ 4 2 |
|
22 −11 11 |
2×3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства произведений:
1.AB ≠ BA – некоммутативность.
2.(AB)C = A(BC) – сочетательный закон.
3.С(A + B) = СA + СB – распределительный закон.
4.(λА)В=λ(АВ).
Доказательство свойств следует из определения произведения матриц.
Роль единичной и нулевой матриц: АЕ=ЕА=А, АО=ОА=О.
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Дано: A = |
|
|
, E |
= |
|
|
. Вычислить АЕ, ЕА. |
|
|
||||
|
|
3 |
4 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
|
|
1 |
0 1 |
2 1 |
2 |
|
|
Решение. AE = |
|
0 |
|
= |
3 |
|
= A; EA = |
0 |
|
= |
4 |
= A. |
|
3 |
4 |
1 |
4 |
|
|
1 3 |
4 3 |
|
|||||
2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ.
МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Для квадратных матриц определена числовая характеристика, которая
называется определителем матрицы.
Обозначения определителя матрицы А: det А, А, |A|.
Определение. Определителем матрицы размерности 1х1 называется число её составляющее.
5
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Определение. Определителем матрицы второго порядка называется выра-
жение A = |
a11 |
a12 |
= a |
a |
22 |
− a a |
21 |
. |
|
a21 |
a22 |
11 |
|
12 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Схема для вычисления определителя 2-го порядка |
A = |
|
|
|
|
− +
Определение. Определителем матрицы третьего порядка называется выра-
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
жение |
A = |
a21 |
a22 |
a23 |
= a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − |
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
− a13a22 a31 − a11a23a32 − a12 a21a33 . |
Схема для вычисления определителя 3-го порядка (правило треугольни-
ков). Три слагаемых со знаком плюс и три – со знаком минус представляют со-
бой произведения элементов матрицы, взятых по три, как указано различными линиями на нижеприводимых схемах.
+
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
Свойства определителей
Определение. Транспонированием матрицы называется операция, в ре-
зультате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. Транспонированная матрица А обозначается АТ.
Свойство 1(о равноправности строк и столбцов). При транспонирова-
нии величина определителя сохраняется, т.е. |A|=|AТ|.
Пример 4.
|
1 |
|
8 |
6 |
|
|
|
det A = |
3 |
|
12 |
4 |
|
= 120 + 64 + 90 − 144 − 20 − 240 = −130, |
|
|
2 |
|
5 |
10 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|||
|
1 |
|
|
||||
det A T = |
8 |
12 |
|
5 |
= 120 + 90 + 64 − 144 − 240 − 20 = −130 = det A. |
||
|
6 |
4 |
10 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойство 2. Если в определителе поменять местами две строки или два
столбца, то определитель изменит знак.
6
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
|
|
|
|
1 |
|
3 |
8 |
|
|
Пример 5. det A = |
6 |
|
2 |
4 |
= 14 + 240 + 120 − 160 |
− 20 − 126 = 68. |
|||
|
|
|
|
10 |
5 |
7 |
|
|
|
Поменяем местами 1 и 2 строки и вычислим определитель получившейся |
|||||||||
~ |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|||
= |
1 |
3 |
|
8 |
= 126 |
+ 160 + 20 − 120 − 240 |
− 14 = −68 = − det A. |
||
матрицы: det A |
|
||||||||
|
|
10 |
5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойство 3. Если в определителе две одинаковых строки или два одина-
ковых столбца, то он равен нулю.
|
6 |
3 |
9 |
|
Пример 6. |
6 |
3 |
9 |
= 180 + 216 + 54 − 54 − 216 − 180 = 0. |
|
2 |
4 |
10 |
|
|
|
|
|
|
Свойство 4. Если в определителе есть нулевая строка (столбец) то он ра-
вен нулю.
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
2 |
7 |
|
Пример 7. |
1 |
3 |
9 |
= 0; |
0 |
6 |
3 |
= 0. |
|
4 |
5 |
7 |
|
0 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойство 5. Если строку (столбец) в определителе умножить на число λ ,
то определитель тоже умножится на число λ , т.е. общий множитель всех эле-
ментов некоторой строки (столбца) определителя можно вынести за знак опре-
делителя
~ |
1 |
6 |
3 |
|
1 |
6 |
3 |
|
|
2 |
5 |
1 |
= 3 |
2 |
5 |
1 |
= 3 (15 + 12 + 24 − 60 − 2 − 36) = −141. |
||
Пример 8. det A = |
|||||||||
|
12 |
6 |
9 |
|
4 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Множитель 3 из третьей строки перед вычислением был вынесен за знак опре-
делителя.
Свойство 6. Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропор-
циональны, то определитель равен нулю.
7
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Пример 9.
2 4 5 4 8 9 = 112 + 40 + 36 − 40 − 36 − 112 = 0, столбцы1 и 2 пропорциональны. 1 2 7
Свойство 7. При сложении двух определителей, различающихся только одной строкой (столбцом), соответствующие элементы этой строки (столбца)
складываются.
Пример 10. Проиллюстрируем свойство 7 на примере.
1 |
4 |
2 |
|
1 |
4 |
2 |
|
1 |
4 |
2 |
|
1 |
4 |
2 |
|
3 |
− 2 |
3 |
+ |
1 |
− 1 0 |
= |
3 + 1 − 2 − 1 3 + 0 |
= |
4 |
− 3 |
3 |
; |
|||
2 |
0 |
1 |
|
2 |
0 |
1 |
|
2 |
0 |
1 |
|
2 |
0 |
1 |
|
(-2+24+0+8-12-0)+(-1+0+0+4-4)= -3+24+0+12-16; |
|
|
|||||||||||||
18-1=17; |
17=17; верно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Свойство 8. Если к какой-нибудь строке (столбцу) прибавить другую
строку (столбец), умноженную на число λ , то определитель не изменится.
Свойство 9. Определитель треугольной матрицы равен произведению эле-
ментов главной диагонали.
Используя свойства 8 и 9 определители можно вычислять следующим об-
разом: с помощью свойства 8 привести определитель к треугольному виду и
вычислить его, как произведение элементов главной диагонали (свойство 9).
|
1 |
3 |
5 |
|
Пример 11. Вычислить det A = |
2 |
1 |
4 |
. |
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Приведем матрицу к треугольному виду, используя свойство 8. Обнулим элементы а21 и а31, для этого вычтем из второй строки 2 первые строки, а из третьей строки 3 первые:
~ |
1 |
3 |
5 |
|
|
0 |
− 5 |
− 6 |
. |
||
det A = |
|||||
|
0 |
− 8 |
− 13 |
|
|
|
|
|
|
|
8
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Обнулим элемент а32, для этого вычтем из третьей строки вторую, умноженную
|
1 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
на (-8/5): det A = |
0 |
−5 |
−6 |
. |
|
|
0 |
0 |
−17 |
/ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
Мы привели матрицу к треугольному виду, определитель которой равен произ-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ведению элементов главной диагонали: |
det A = 1 (−5) (−17 / 5) = 17 = det A . |
|||||||||||||||
Свойство 10. Определитель произведения квадратных матриц одинаковой |
||||||||||||||||
размерности |
равен |
произведению |
определителей |
этих |
матриц, т.е. |
|||||||||||
det(A n×n B n×n ) = det A det B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 − 2 |
|
B |
4 |
3 |
|
|
1 − 2 |
4 3 |
|
− 6 − 1 |
|||
Пример 12. A = |
|
|
, |
= |
|
. |
A B = |
|
= |
. |
||||||
|
|
|
3 4 |
|
|
5 |
2 |
|
|
3 4 |
5 2 |
|
32 17 |
|||
|
− 2 |
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|||||||
det A = |
1 |
= 4 + 6 = 10. |
det B = |
= 8 − 15 = −7. |
|
|
||||||||||
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
det(A B) = |
− 6 |
|
= −102 + 32 |
= −70 = det A det B. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
32 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Минором к-го порядка матрицы А называется определитель
к-го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых к строк и к столб-
цов матрицы А. Обозначения минора M |
j1 j2 ... jk , где i i |
...i |
|
– выбранные строки, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i1i2 ...ik |
1 2 |
|
k |
|
|
а j1 j2 ... jk – столбцы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
5 |
|
|
|
−1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 13. A3×4 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
7 |
2 |
|
3 |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
9 |
2 |
|
|
|
4 |
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||
Минор 2 − го порядка |
M |
= |
5 |
|
= −30 − 8 = −38; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 3 |
|
|
2 |
− 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 3 4 |
|
− 1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Минор 3 − го порядка |
M |
= |
7 |
2 |
|
|
3 |
= −72 + 112 − 27 − 72 − 72 − 42 = −173; |
|||||||||
1 2 3 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9 |
4 |
|
− 6 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Минор (n-1)-го порядка квадратной матрицы A n×n n-го по-
рядка будем обозначать M ij , где i – номер строки, а j – номер столбца матрицы
не входящих в минор.
9
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
|
|
|
|
|
|
2 |
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 14. А = |
1 |
6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Миноры первого порядка M11=6, M12=1, M21= -3, M22=2. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 15. A = |
4 |
1 |
0 . Миноры 2-го порядка: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 0 |
|
|
|
|
|
4 0 |
|
|
|
|
|
4 1 |
|
||||||||||||
M 11 = |
|
|
= −1 − 0 = −1; M 12 |
= |
= −4 − 0 = −4; |
|
M 13 = |
|
= 8 − 1 = 7; |
|||||||||||||||||
|
2 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
||||
|
2 − 3 |
|
|
1 − 3 |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
||||||||||||||
M 21 = |
= −2 + 6 = 4; M 22 |
= |
= −1 + 3 = 2; |
|
M 23 = |
|
|
= 2 − 2 = 0; |
||||||||||||||||||
|
2 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− 1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|||||
|
2 |
− 3 |
|
|
|
|
1 |
− 3 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|||||||||||
M 31 = |
|
= 0 + 3 = 3; |
|
M 32 = |
= 0 + 12 = 12; |
|
M 33 = |
|
= 1 − 8 = −7. |
|||||||||||||||||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
||||
Определение. Алгебраическим дополнением элемента aij квадратной мат- |
||||||||||||||||||||||||||
рицы A = (a |
) называется выражение Aij = (–1)i + j Mij , где Mij |
– минор. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
ij |
n×n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 16. Найдем алгебраические дополнения матрицы А из примера 14. |
||||||||||||||||||||||||||
A = (− 1)1+1 * 6 = 6, A = (− 1)1+2 *1 = −1, A = (− 1)2+1 |
* (− 3) = 3, A = (− 1)2+2 * 2 = 2. |
|||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
22 |
|
|
|
|
||||||
Пример 17. Найдем алгебраические дополнения матрицы А из примера 15. |
||||||||||||||||||||||||||
A = (−1)1+1 * (− 1) = −1; |
A = (−1)1+2 * (− 4) = 4; |
A = (−1)1+3 * 7 = 7; |
||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
A = (−1) 2+1 * 4 = −4; |
A = (−1) 2+2 * 2 = 2; A = (−1) 2+3 * 0 = 0; |
|||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
= (−1)3+1 * 3 = 3; |
A |
|
= (−1)3+2 *12 = −12; |
A |
|
= (−1)3+3 |
|
* (− 7) = −7. |
|||||||||||||||||
31 |
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Свойство 11 (разложение определителя по строке или столбцу). Опреде-
литель можно разложить по любой строке или столбцу по формулам:
|
|
n |
aij |
n×n |
= ∑aik Aik – разложение по i-ой строке; |
|
|
k =1 |
|
|
n |
aij |
n×n |
= ∑akj Akj – разложение по j-ому столбцу, |
|
k =1 |
|
|
|
т.е. сумма произведений всех элементов какой-либо строки (столбца) на соот-
ветствующие им алгебраические дополнения равна значению определителя.
Пример 18. Разложим определитель матрицы А 4-го порядка по первой строке:
10