Lektsii

Лекция 1

Цифровые системы. Основные понятия.

Различают:

• Аналоговые;

• Дискретные сигналы;

Дискретный сигнал – последовательность чисел. Для описания дискретных систем используются разностные уравнения, которые определяют законы преобразования числовых последовательностей.

Дискретное преобразование Лапласа. Такая разностная форма записи уравнений позволяет использовать такое средство анализа, как методы пространства состояний.

Цифровая система – это такая система, в которой цифровой регулятор используется для управления непрерывным объектом.

Системы могут быть:

• Замкнутые;

• Разомкнутые;

Цель управления: поддержание определённых значений.

В такой системе управление возможно только в том случае, если модель процесса известна точно, а значения управляющих величин полностью управляются сигналами величин, которые вырабатывает компьютер на основании заданных значений. Учесть влияние внешних возмущений не возможно.

Замкнутая система, главный принцип – обратная связь.

Цифровой компьютер

Цифровая обработка информации.

Аналоговый сигнал поступает на АЦП, где преобразуется в цифровую форму. АЦП выполняет это преобразование периодически, с некоторым интервалом Т, которое называется интервалом квантования или периодом квантования.

Амплитудно-импульсная модуляция.

Из непрерывного сигнала выбираются дискретные значения и это называется квантование, первый этап преобразования называют амплитудной модуляцией, при этом исходный сигнал превращается в последовательность импульсов, появляющихся в определённые моменты времени за счёт периодического прерывания непрерывного сигнала с заданным интервалом Т. Высота импульса пропорциональна текущему значению, то есть амплитуде исходного сигнала в момент замыкания квантователя.

При малых H можно считать, что сигнал Y(t) представляет собой последовательность мгновенных значений амплитуд импульсов, которые можно преобразовать в числа и ввести в микропроцессор. Это уже второй этап. ЦАП восстанавливает непрерывный сигнал управления.

Лекция 2

Есть квантование по уровню и по времени. Квантование – перевод из аналогового в дискретный сигнал.

Квантование – аналоговый сигнал заменяется его последовательностью его значений в дискретные моменты времени.

Системы с квантованием по времени называются импульсными системами.

Квантование по уровню связано с тем, что ЦАП и АЦП имеют конечное число двоичных разрядов (от 8 до 16). Это значит, что на выходе можно получить ограниченное число различных кодовых значений, поэтому при квантовании значения входного сигнала искажаются или округляются.

Квантование по уровню не линейная операция, поэтому при малом количестве разрядов АЦП и ЦАП замкнутой системе могут возникать автоколебания и тогда системы с квантованием по уровню относятся к классу релейных систем.

Если за квантователем (без инерционный ключевой элемент) стоит линейное динамическое звено, энерция которого много больше H, то последовательность сигнала после модуляции можно описать следующим образом:

При таком преобразовании сигналы продолжают оставаться линейными и к ним, соответственно, разные теоремы (суперпозиции и т.д.). Но для описания таких сигналов, которые проходят через линейные звенья, применяются уже не обыкновенные дифференциальные уравнения, а уравнения в разностной форме, представляющие собой рекурентные зависимости.

Разностные уравнения могут быть получены из обыкновенных при помощи приближённых методов, один из которых называется методом конечных разностей.

Методы синтеза цифровых систем управления отличаются от уже известных тем:

1. При проектировании цифровой системы в основу положены разностные уравнения, т.к. сигналы в цифровой системе представляют собой временные последовательности дискретных величин, поэтому здесь мы будем использовать дискретное преобразование Лапласа;

2. Дискретная или разностная форма записи позволяет широко использовать методы пространств и состояний, это удобно для применения наших вычислительных устройств;

3. Использование управляющих вычислительных средств в контурах управления расширяет возможности проектировщика в плане синтеза не серийных усложнённых алгоритмов с улучшенными свойствами, в том числе и с самооптимизацией регуляторов (синтез систем с элементами адаптации управляющих устройств);

Понятие о решетчатых функциях. Дискретное преобразование Лапласа и Z преобразование.

Основной метод математического описания функций дискретного аргумента или цифровых функций основан на замене последовательностей реальных импульсов, получаемых за счёт квантования так называемой решетчатой функции, состоящей из идеальных импульсов.

Идеальный импульс – особая функция вида:

Идеальный импульс – это дельта функция, площадь которой равна:

Идеальный квантователь позволяет ввести понятие решетчатой функции, представляющей собой последовательность идеальных импульсов, ордината каждого из которых равна мгновенному значению непрерывного сигнала в момент соответствующего замыкания квантователя, то есть:

При условии что X(t) = 0 для t меньше 0. Отсюда следует, что последовательность импульсов может быть описана:

Решетчатая функция физически не реализуема. Сделана для того, чтобы получить форму, удобную для дальнейших расчётов и для упрощения описания математических аппаратов прохождения сигналов через линейное динамическое звено.

Применим к X(дельта)(t) преобразование Лапласа:

Дискретное преобразование Лапласа:

Свойства сходны со свойствами простого, есть тоже таблица дискретного преобразования.

Лекция 3

Понятие о методе конечных разностей

Пусть X(t) функция вещественного переменного t, для множества равноотстоящих от значения t(0) аргументов

где: К=0, +-1, +-2

t(0) = const

Определим восходящие или левые разности

N – порядок разности, с его помощью можно перейти от ДУ к алгеброическим уравнениям в разностной форме, если рименить следующие приближённые равенства.

Пример: получить разностные уравнения, соответствующие дифференциальным.

Вариант 1

Вариант 2

Ответ

Вывести передаточную функцию фиксирующего элемента (экстраполятор нулевого порядка).

Экстраполятор – математическая модель для восстановления дискретизированного сигнала.

Введение этого элемента позволяет удерживать или фиксировать мгновенное значение сигнала X_kT₀ на периоде T₀ до прихода следующего значения, (X(K+1)T₀). Таким образов на выходе фиксирующего элемента формируется кусочно-непрерывный сигнал, который может быть подан, например, к аналогово-исполнительному механизму.

Другими словами, имеет место экстраполяция мгновенных значений сигнала, отрезками прямых линий, с 0 наклоном.

На вход поступает последовательность импульсов, на выходе формируется ступенчатый сигнал, который равен:

Дискретное преобразование Лапласа примет следующий вид:

Отсюда следует, что передаточная функция передаточного элемента:

Лекция 4

Лабораторная работа

Получение дискретной функции

Цель: получить дискретную передаточную функцию в матлабе.

Аккуратов Сергей 10-ИУ-3