Метод хорд

Метод хорд

Метод хорд при тех же предположениях обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод половинного деления. Для этого отрезок делится не пополам, а в отношении .

Геометрически метод хорд эквивалентен замене кривой хордой, проходящей через точки и .

Уравнение хорды имеет вид

.

Полагая и , получим

.

Предположим, что производная второго порядка сохраняет знак, и рассмотрим два случая: , и , . Случай сводится к рассматриваемому, если уравнение записать в форме: .

Первому случаю соответствует формула

(1)

а второму случаю –

(2)

В первом случае остается неподвижным конец , а во втором случае – конец .

Замечание. Для выявления неподвижного конца используется условие , где или . Если неподвижен конец , применяется формула (1), а если конец – формула (2).

Пример. Найти корень уравнения методом хорд с точностью .

Решение.

Рассмотрим задачу нахождения корня на отрезке . Так как , , а на отрезке , то и, следовательно, имеем второй случай.

Положим , . Тогда по формуле (3.6) получим

.

Так как , то положим и продолжим процесс:

Так как , то положим и продолжим процесс:

Поскольку , положим :

Так как , положим :

Поскольку , положим :

Так как , то корень уравнения .

Таким образом, сходимость метода хорд более быстрая, чем сходимость метода половинного деления.