СтройМех. чI. Статически определимые системы

Рис.3.3

Проверка: Y = 0; - 30 + 30 = 0.

6)вычисляем усилия M и Q в сечениях балки Б-2 (рис.3.4 б)

МE = 0; QE = - RE = - 30 кН; МF = - 60 кНм;

42

QF пр. = 0, QF сл. = - RF = - 30 кН.

7)строим эпюры Mp и Qp в балке Б-2 (рис. 3.4 б).

8)определяем опорные реакции в зависимой балке Б-2 (рис.3.4 в). На балку Б-2 действует местная нагрузка (сила Р = 40 кН) и давление, передаваемое с ба-

лок Б-1 и Б-3. Сила RB /. , с которой действует балка Б-1 на балку Б-2, равна по величине реакции RB . и противоположна по направлению. Сила RЕ /. , с которой действует балка Б-3 на балку Б-2, равна по величине реакции RЕ . и противопо-

ложна по направлению

МС = 0; 15 1 - 40 2 - RD 4 + 30 6 = 0; RD = 28,75 кН,

МD = 0; 15 5 - RC 4 + 40 2 + 30 2 = 0; RC = 53,75 кН. Проверка: Y = - 15 + 53,75 – 40 – 28,75 + 30 = 0.

9) вычисляем усилия M и Q в сечениях балки Б-2

МВ = 0; QВ = - 15 кН; МС = - 15 кНм;

QС лев. = - 15 кН; QС пр. = - 15 + 53,75 = 38,75 кН;

М2 = - 15 3 + 53,75 2 = 62,5 кНм;

Q2 лев. = - 15 + 53,75 = 38,75 кН; Q2 пр. = - 15 + 53,75 - 40 = - 1,25 кН;

МD = 30 2 = 60 кНм; QD пр. = - 30 кН; QD лев. = - 30 + 28,75 = - 1,25 кН.

10)строим эпюры Mp и Qp в балке Б-2 (рис. 3.4 в).

11)строим эпюры Mp и Qp в заданной многопролетной балке от заданной нагрузки (рис.3.3) на одной оси, совместив все построенные ранее эпюры (рис.

3.4а, 3.4 б, 3.4 в).

12)производим проверку правильности построения эпюр. Для этого необ-

ходимо использовать дифференциальные зависимости между эпюрами, извест-

ные из сопротивления материалов

q dQdx ; Q dMdx

Эпюра QP

Рис.3.5

45

4. ПЛОСКИЕ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ФЕРМЫ

Плоской статически определимой фермой называется шарнирно-

стержневая система, состоящая из прямолинейных стержней, соединенных по концам полными идеальными шарнирами. Стержни, ограничивающие ферму сверху, называются верхним поясом (O1, O2, O3) (рис.4.1); стержни, ограничи-

вающие ферму снизу, - нижним поясом (U1, U2, U3); стержни, расположенные между поясами, называются решеткой. Она состоит из вертикальных стержней

–стоек (V1, V2, V3, V4) и наклонных стержней – раскосов (D1, D2, D3). Расстояния между соседними узлами поясов называются панелью фермы d, расстояния ме-

жду опорами – пролетом , а максимальное расстояние между поясами – высо-

той h. Ферма называется статически определимой, если для ее расчета доста-

точно уравнений равновесия статики, т.е. 2У=С+С0 , где С – число стержней фермы, С0 – число опорных связей и У – число узлов фермы.

4.1. Способы расчета ферм

При узловой передаче нагрузки в стержнях ферм возникают только про-

дольные силы N. Для определения этих усилий существуют статические, кине-

матические и косвенные способы. Будем рассматривать только статические ме-

тоды, как наиболее удобные для практических расчетов.

4.1.1. Способ вырезания узлов заключается в последовательном определе-

нии усилий из условий равновесия узлов фермы. Каждый узел можно рассмат-

ривать как материальную точку, лежащую на плоскости и находящуюся в рав-

новесии под действием сил и усилий. Уравнения равновесия составляются в ви-

де X=0, Y=0. Для независимого определения усилий оси X, Y удобно прово-

дить перпендикулярно стержням фермы, а неизвестные усилия принимать рас-

тягивающими.

47

Решение:

1) определяем опорные реакции:

МА = 0; - 20 3 - 20 6 + R6 9 = 0, R6 = 20 кН;МВ = 0; 20 6 + 20 3 - RА 9 = 0, RА = 20 кН; В качестве проверки:

Y = 0; - 20 - 20 + 20 + 20 = 0, 0 0.

2) вырезаем узел А и рассматриваем его равновесие (рис.4.3, а):

Y = 0; 20 + O1 sin450 = 0; O1 = - 20 2 = - 28,2 кН (сжатие).

X = 0; 20 cos450 - U1 cos450 = 0; U1 = 20 кН (растяжение).

3) вырезаем узел № 1 и рассматриваем его равновесие (рис.4.3, б):

X = 0; - 20 + U2 = 0; U2 = 20 кН (растяжение);

Y = 0; - 20 + V1 = 0; V1 = 20 кН (растяжение).

X = 0; - 20 + U3 = 0; U3 = 20 кН (растяжение);

Y = 0; V2 - 20 = 0; V2 = 20 кН (растяжение).

6) вырезаем узел № 4 и рассматриваем его равновесие (рис.4.3, д):

X = 0; 20 + O3 sin450 = 0; O3 = - 20 2 = - 28,2 кН (сжатие).

7) вырезаем узел В и проверяем справедливость результатов (рис.4.3, е):

X = 0; - 20 + 20 2 cos450 = 0; 0 0.

Y = 0; - 20 cos450 + 20 cos450 = 0; 0 0.

Несмотря на простоту, в этом способе имеются определенные недостатки: 1) наличие тригонометрических функций влияет на точность решения; 2) ошибка в определении усилия для одного стержня приводит к неверному решению для всей фермы; 3) для определения усилия в одном или нескольких конкретных стержнях необходимо последовательно рассматривать несколько узлов фермы. Используя способ последовательного вырезания узлов можно получить

48

частные случаи равновесия наиболее часто встречающихся узлов фермы. Двух-

стержневой ненагруженный узел (рис.4.4, а) будет находиться в равновесии, ес-

ли оба усилия N1 и N2 нулевые, что следует из уравнений X = 0, Y = 0. Рав-

новесие нагруженного двухстержневого узла в зависимости от направления на-

грузки будет при однозначных усилиях N1 и N2 (рис.4.4, б), разнозначных - N1 ,

N2 (рис.4.4, в) или одном нулевом N2 = 0 (рис.4.4, г). Трехстержневой ненагру-

женный узел (рис.4.4, д) будет находиться в равновесии, если усилия N1 и N2

равны, а усилие N3 равно нулю. Равновесие нагруженного трехстержневого узла в зависимости от направления нагрузки будет при разнозначном по сравнению с нагрузкой усилии N3 (рис.4.4, е), однозначном N3 (рис.4.4, ж) или попарно рав-

ных значениях усилий N1 = N2 , N3 = - P (рис.4.4, з). Четырехстержневой нена-

груженный узел в зависимости от положения стержней будет в равновесии при разнозначных усилиях N1 и N2 (рис.4.4, и), однозначных - N1 и N2 (рис.4.4, к) и

попарно равных N1 = N2 , N3 = N4 (рис.4.4, л).

4.1.2. Способ простых сечений заключается в определении неизвестных усилий из условия равновесия любой отсеченной части фермы. На отсеченную часть действуют силы и усилия, образуя плоскую, произвольную систему сил,

для которой можно составить три уравнения статики в виде М1 = 0, М2 = 0,

М3 = 0. Здесь 1, 2, 3 – моментные точки, выбираемые на пересечении двух из трех стержней, попавших в сечение. Поэтому сквозное сечение следует прово-

дить не более чем через три стержня. В фермах с параллельными поясами урав-

нениями равновесия будут следующие: М1 = 0; М2 = 0; Y = 0, где ось Y про-

водится перпендикулярно поясам.

Пример 4.1.2. Определить от заданной нагрузки усилия O2 , D2 , U2 , D3 , V5

в стержнях фермы (рис.4.5) способом простых сечений.

Решение:

1)определяем опорные реакции:

МА = 0; - 15 3 - 35 9 - 12 15 + R8 18 = 0, R8 = 30 кН;МВ = 0; 15 15 + 35 9 + 12 3 - RА 18 = 0, RА = 32 кН;

В качестве проверки

49

Y = 0; - 15 – 35 – 12 + 32 + 30 = 0; 0 0.

2) определяем усилие O2 . Проводим сечение I-I, назначаем моментную точку «1», рассматриваем равновесие левой отсеченной части, составляем урав-

нение равновесия в виде

М1 = 0; - RА 6 + 15 3 - O2 hO2 = 0,

где hO2 = 3 cos - плечо усилия O2 относительно точки «1», tg = 3/9 = 1/3; = arctg(1/3) = 0,3218 рад , cos = 0,9487, hO2 = 3 0,9487 = 2,85 м и определяем O2 = (45-32 6)/2,85 = - 51,58 кН (сжатие).

3) определяем усилие D2 . Используя сечение I-I, назначаем моментную точку «3», рассматриваем равновесие левой отсеченной части, составляем урав-

нения равновесия:

М3 = 0; 32 3 - 15 6 - D2 hD2 = 0,

где hD2 = 9 sin - плечо усилия D2 относительно точки «3», tg = 2/3; = arctg(2/3) = 0,5880 рад , sin = 0,5547, hD2 = 9 0,5547 = 4,99 м и определяем D2 = (32 3 - 90)/4,99 = 1,20 кН (растяжение).

4)определяем усилие U2 :

М2 = 0; - RA 3 + U2 2 = 0, U2 = 32 3/2 = 48 кН (растяжение).

5) определяем усилие D3 . Проводим сечение II-II, рассматриваем равнове-

сие левой отсеченной части, составляем уравнение равновесия в виде

Y = 0; RА - 15 - D3 sin = 0, где = 450, sin = 0,7071 и определяем D3 = (32-

15)/0,7071 = 24,04 кН (растяжение).

6) определяем усилие V5 . Проводим сечение III-III, назначаем моментную точку «4», рассматриваем равновесие правой отсеченной части, составляем уравнение равновесия в виде

М4 = 0; - V5 9 - RВ 3 + 12 6 = 0 и определяем V5 = (72-30 3)/9 = - 2 кН (сжа-

тие).