64 лекции по математике кн1
.pdfПример. Найти экстремумы функции f (x, y) = x2 + y2 при условии, что её аргументы связаны соотношением5x2 − 6xy + 5y2 − 32 = 0.
Образуем функцию Лагранжа
F(x, y,λ) = x2 + y2 + λ( 5x2 − 6xy + 5y2 − 32).
Приравнивая к нулю её частные производные, получаем следующую систему для нахождения координат стационарных точек
|
x + λ(5x − 3y) = 0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y + λ(−3x + 5y) = 0 |
|
||||||||
|
5x |
2 |
− 6xy + |
5y |
2 |
− 32 |
= 0 |
||
|
|
|
|||||||
Исключаем из первых двух уравнений параметр |
λ, разделив одно из них |
||||||||
на другое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = −3+ 5k , |
k = |
y0 |
. |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
5− 3k |
|
|
|
x0 |
|
|
Откуда k = ±1 или y0 = ±x0 . Третье уравнение системы даёт возмож- |
ность найти конкретные значения координат стационарных точек. В случае
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
= x0 находим точки ( 2 |
|
2; 2 2; − 0,5 ), ( − 2 |
2; − 2 |
|
2; − 0,5 ). А если |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y0 |
= −x0 , то получаем точки |
( 2; − 2; −1 8 ), (− |
2; |
|
2; −1 8 ) . |
|||||||||||
|
Мы не касаемся вопроса о достаточных условиях экстремума в об- |
щем случае. Его исследование завело бы нас слишком далеко. Как и в случае безусловного экстремума, в практических приложениях обыкновенно заранее известно, что экстремум существует и каков его характер. Так, например, если на нашу задачу посмотреть с геометрической точки зрения (см. рис. 39.3), то мы находим на эллипсе
5x2 − 6xy + 5y2 − 32 = 0
точки, наиболее удалённые от начала координат и наиболее близкие к нему, т.к. функция
f (x, y) = x2 + y2
это квадрат искомого расстояния. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что в точках |
A (2 2; 2 2 ) и |
B (−2 |
2; − 2 2 ) дости- |
|||||||
гается максимум fmax = OA = OB = 4, и отрезок |
AB = 8 |
это большая ось |
||||||||
|
283 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эллипса. В точках C ( 2; − 2 )и D (− |
2; |
2 ) расстояние от начала ко- |
||||||
ординат до точек эллипса минимально |
fmin |
= OC = OD = 2, и отрезок |
CD = 4 является малой осью эллипса. Более того, мы знаем направление осей эллипса. Большая ось эллипса образует угол α = 450 с осью абсцисс.
Таким образом, в системе координат |
x1Oy1 уравнение эллипса имеет вид |
||||||||
|
|
|
x2 |
|
y2 |
||||
|
|
|
1 |
|
+ |
1 |
=1 . |
||
16 |
|
4 |
|||||||
|
|
|
|||||||
Решая задачу на условный экстремум, мы «попутно» привели уравне- |
|||||||||
ние эллипса 5x2 − 6xy + 5y2 − 32 = 0 |
к каноническому виду. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D
x
C
B
Рис. 39.3
284