1. Матрицы и операции над ними

2. Определение. Элементарными преобразованиями матрицы:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам одной строки элементов другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование

Ступенчатой называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:

1. если эта матрица содержит нулевую строку (т.е. строку, все элементы которой равны нулю), то все строки, расположенные под нею, также нулевые;

если первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером , то первый ненулевой элемент следующей строки должен находиться в столбце с номером большим, чем.

Ступенчатой называется матрица, которая содержит строк и у которой первыедиагональных элементов ненулевые, а элементы, лежащие ниже главной диагонали и элементы последнихстрок равны нулю, то есть это матрица вида:

3.Обратная матрица

Определение: Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице, если

.

Обратная матрица существует только для квадратной матрицы, определитель которой не равен нулю. Такая матрица называется невырожденной. Так как , то обратная матрицасуществует.

Укажем следующие свойства обратных матриц:

1. (A^-1)^-1 = A;

2. (AB)^-1 = B^-1A^-1

3. (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

4. Определитель и его свойства

 Для каждой квадратной матрицы определено число, называемое определителем матрицы.Определителем матрицы первого порядка  называется число, равное единственному

элементу этой матрицы: A = {a}, detA = |A| = a.

Свойства определителей:

1.   При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется: 

2.    Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.

Пример

3.    

То есть, если квадратная матрица -го порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицына числов степени, равной порядку матриц.

Пример

Задание. Пусть определитель матрицы третьего порядка равен 3, вычислить определитель матрицы.

Решение. По свойству 

Ответ. 

4.    Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем.

5.   Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.

Пример

6.    Определитель с двумя равными строками равен нулю.

Пример

7.    Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Пример

8.    Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.

Пример

9.    Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.

Пример

Пусть задан определитель третьего порядка . Прибавим ко второй строке определителятретью его строку, при этом значение определителя не измениться:

10.    Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

Пример

11.    Определитель произведения матриц равен произведению определителей: