- •Глава 2 векторная алгебра
- •§1. Векторы и действия над ними
- •§2. Скалярное произведение
- •§3. Векторное произведение
- •§4. Смешанное произведение
- •Глава 3 прямая и плоскость
- •§1. Прямая на плоскости
- •§2. Уравнение плоскости
- •§3. Прямая в пространстве
- •§4. Прямая и плоскость
- •1.3.1. Векторное произведение
- •1.4.1. Смешанное произведение
- •2.1.1. Прямая на плоскости
- •Список литературы
Глава 2 векторная алгебра
§1. Векторы и действия над ними
1. Вычислить модуль вектора .
2. Даны координаты вектора x = 4, y = –12. Определить третью координату z при условии, что || = 13.
3. Даны точк A(3, –1, 2) и B(–1, 2, 1). Найти координаты векторов и.
4. Дан модуль вектора || = 2 и углы = 45, = 60, = 120, которые составляет вектор с осями координат. Вычислить проекции вектора на координатные оси.
5. Вычислить направляющие косинусы вектора {12; –15; –16}.
6. Определить координаты точки M, если ее радиус-вектор составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 3.
7. Как должны быть связаны ненулевые векторы и, чтобы имело место соотношение: 1); 2).
8. По сторонам OA и OB прямоугольника OACB отложены единичные векторы и(см. рис.1.3). Выразить черезивекторыесли || = 4 и || = 3.
Рис. 1.3
9. Построить вектор =2+3+6, определить его длину и направление (проверить по формуле).
10. Радиус-вектор точки M составляет с осью Ox угол 45 и с осью Oy угол 60. Длина его r = ||= 6 . Определить координаты точки M, если ее координата z отрицательна, и выразить вектор через орты,,.
11. Даны точки A(1, 2, 3) и B(3, –4, 6). Построить вектор =, его проекции на оси координат и определить длину и направление вектора. Построить углы векторас осями координат.
12. Построить параллелограмм на векторах и определить его диагонали.
13. Даны три последовательные вершины параллелограмма A(1, –2, 3), B(3, 2, 1) и C(6, 4, 4). Найти его четвертую вершину D.
Указание. Из равенства следует, что равны и их координаты:x – 1 = 6 – 3 и т.д.
14. На плоскости xOy построить векторы: . Разложить геометрически и аналитически вектор по векторами.
15. Установить, в каких случаях тройки векторов ,ибудут линейно зависимы, и в том случае, когда это возможно, представить векторкак линейную комбинацию векторови:
1) ={5; 2; 1};={–1; 4; 2};={–1; –1; 6};
2) ={6; 4; 2};={–9; 6; 3};={–3; 6; 3};
3) ={6; –18; 12};={–8; 24; –16};={8; 7; 3}.
16. Даны: || = 13; || = 19 и |+| = 24. Вычислить |–|.
17. Проверить коллинеарность векторов = {2; –1; 3} и= {–6; 3; –9}. Установить, какой из них длиннее и во сколько раз, как они направлены - в одну или в противоположные стороны.
18. Определить, при каких значениях и векторы = –2+3+и=–6+2коллинеарны.
19. Проверить, что четыре точки A (3, –1, 2), B (1, 2, –1), C (–1, 1, –3), D (3, –5, 3) служат вершинами трапеции.
§2. Скалярное произведение
Векторы и образуют угол 2/3. Зная, что || = 3;и|| = 4, вычислить:
20. ;21. (+)2 ; 22. (3–2)(+2);
23. 2; 24. (–)2; 25. (3+2)2.
26. Определить угол между векторами = –+ и = –2+2.
27. Определить углы ABC с вершинами A(2; –1; 3), B(1; 1; 1) и C(0; 0; 5).
28. Даны векторы = {4; –2; –4} и= {6; –3; 2}. Вычислить скалярное произведение векторов 2–3и+2.
29. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах = 2+ и = –2+.
30. Даны векторы = ++2и= –+4. Определитьи.
31. Раскрыть скобки в выражении (2–)·+(–2)·+(–2)2.
32. Дан вектор =2–, гдеи– единичные векторы с углом 120 между ними. Найти и.
33. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы вектор+был перпендикулярен вектору–.
34. Даны единичные векторы ,и, удовлетворяющие условию++= 0. Вычислить·+·+·.
35. Дано: || = 3; || = 5. Определить, при каком значении векторы (+·), (–·) будут взаимно перпендикулярны.
36. Даны три вектора: ,и. Вычислить.
37.
38.
39.