§ 2. Геометрический смысл производной

На рисунке изображен график функции y = f(x). На оси Ох зафиксируем точку ; значением функции в этой точке будет. Пустьх – приращение независимой переменной в точке ;;– значение функции в точке. Обозначим на рис. 3 точкиА(;),В(х; ),С(х; ). Проведём секущую – прямуюАВ, пересекающую график функции в двух точках А и В, и рассмотрим треугольник АВС. В силу известных формул, определяющих соотношения в прямоугольном треугольнике, . Но по построениюАС = х, ВС = f; поэтому

.

В правой части последней формулы стоит то же выражение, что и под знаком предела в определении производной. Пусть , тогда; секущаяАВ в пределе превращается в касательную l, а , тогда.

Для случая, когда х или f являются отрицательными величинами, рассуждения проводятся аналогично.

Таким образом, производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной (к положительному направлению оси Ох), проведённой к графику функции в точке А(,).

где α – угол между касательной к кривой в точке М(х₀, y₀) и положительным направлением оси Ох.

Уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке М(х₀, y₀) имеет вид

Нормалью к кривой y = f(x) в данной её точке М(х₀, y₀) называется перпендикуляр к касательной, проведенный через точку М(х₀, y₀).

Уравнение нормали к кривой y = f(x) в точке М(х₀, y₀) имеет вид

Направление кривой в каждой её точке определяется направлением касательной к ней в этой точке, поэтому для нахождения угла наклона кривой в данной её точке надо вычислить угол между касательной, проведенной в этой точке, и осью Ох.

Углом между пересекающимися кривыми называется угол между касательными к этим кривым, проведенным в точке их пересечения.

Пример

Под какими углами парабола y = x² + x пересекает ось Ох?

Решение:

Найдем точки пересечения параболы y = x² + x с осью Ох. Для этого решим систему уравнений:

Решением данной системы являются две точки А(-1; 0) и О(0;0).

Значит, парабола пересекает ось Ох в точках А(-1; 0) и О(0;0). Найдем угловые коэффициенты касательных к параболе в этих точках:

.

Вычислим углы α₁ и α ₂, имеем tgα₁ = –1 , тогда α₁ = 135

tgα₂ = 1, α₂ = 45

Пример

Найти уравнение касательной и нормали к кривой y = x³ + 2x в точке М(1, 3).

Решение:

Для определения углового коэффициента касательной находим производную от заданной функции: .

Вычислим угловой коэффициент касательной, подставив в производную абсциссу точки М(1, 3), имеем .

Таким образом, уравнение касательной имеет вид:

; или ,

а уравнение нормали:

, или .

§ 3. Физический смысл производной

Пусть с помощью закона s = s(t) задано прямолинейное неравномерное движение и t₀ – время начала наблюдения. Средняя скорость движения за время движенияt, начиная с момента времени t₀, определяется с помощью следующей формулы: .

Нетрудно увидеть, что, по определению производной . С другой стороны,, где– мгновенная скорость в момент времениt₀, то есть .

Таким образом, при прямолинейном неравномерном движении производная от функции, выражающей закон изменения пути от времени, равна мгновенной скорости движения точки.

Значение производной состоит в том, что при изучении любых процессов с её помощью можно оценить скорость изменения связанных между собой величин.

Пример

Смещение в ответ на одиночное мышечное сокращение (единичный импульс) описывается уравнением . Найдите скорость и ускорение в зависимости отt.

Решение:

Значение производной от функции в данной точке характеризует скорость изменения функции в этой точке. Поэтому можно использовать понятие производной при определении скорости различных процессов.

Скорость мышечного сокращения равна =

=.

Ускорение мышечного сокращения равно или

=.

При дальнейшем изложении всюду, где это необходимо, предполагается существование производных от рассматриваемых функций.

Вычисление производной называется дифференцированием функции.