Задача Джонсона из Учебника х (1)

«Эталонной» задачей теории расписаний является проблема составления расписания работы технологической линии, известная в литературе под названием задачи Джонсона, по имени С.М.Джонсона, получившего основные аналитические результаты для простейших ситуаций (вариантов) – частных постановок этой задачи [8.1].

Проблемы теории расписаний с вычислительной точки зрения отличаются большой сложностью. Для того чтобы разобраться в возникающих трудностях и наметить возможные общие подходы, целесообразно первоначально рассмотреть некоторые простейшие задачи, не лишенные вместе с тем прикладного значения.

8.1.1 Постановка детерминированной задачи упорядочения,

построение и исследование математической модели

Начнем с рассмотрения простейших формализованных ситуаций и математических моделей, постепенно учитывая те особенности, которые характерны для решения реальных практических задач теории расписаний.

Сложность проблем теории расписаний продемонстрируем на примере решения задачи о составлении расписания работы технологической линии (задача Джонсона).

Традиционная постановка задачи Джонсона состоит в следующем: требуется выбрать порядок обработки деталей (изделий), сформировать (составить) расписание работы технологической линии, обеспечивающее минимальное суммарное время выполнения всего задания, а именно за минимальное время осуществить обработку группы из т деталей, каждая из которых должна последовательно пройти обработку на каждом из п станков, образующих технологическую линию. Предполагается заданным t_ij - время обработки i-ой детали (i=1,…,m) на j-ом станке (j=1,…,n).

Основными ограничениями задачи являются:

1) время перехода (передачи) деталей от одного станка к другому (с одной технологической операции на другую) незначительно, и им можно пренебречь;

2) каждая деталь обрабатывается в строго определенном технологическом порядке;

3) каждое обслуживание (обработка каждой детали на каждом станке) не может начинаться до тех пор, пока соответствующий станок (требуемый для обслуживания) еще занят обработкой предыдущей детали, то есть занят выполнением технологической операции над деталью предыдущей в очереди подач (запуска в обработку);

4) каждое обслуживание (обработка каждой детали на каждом станке) должно быть полностью завершено прежде, чем начнется следующее (обработка соответствующей детали – выполнение технологической операции на следующем станке технологической линии), то есть строгое соблюдение последовательного вида движения каждого предмета труда.

Рассматриваемая задача – одна из типичных задач оперативно-календарного планирования для машиностроительных предприятий мелкосерийного и единичного производства.

Если в группе детали различны, то, очевидно, общее время обработки всех деталей данной группы зависит от порядка, в котором детали запускаются на обработку.

По математической постановке она представляет собой комбинаторную задачу на перестановки и поэтому возможно построение оптимального графика в результате полного перебора всех вариантов. Следовательно, для выявления оптимальной последовательности запуска деталей на обработку, вообще говоря, требуется полный перебор всех возможных вариантов. Однако получение решения путем прямого перебора всех возможных вариантов и с помощью компьютера становится невозможным даже при сравнительно малом числе данных (деталей, операций, станков). Это обусловлено тем, что даже если ограничиться ситуациями, когда порядок запуска на первый станок сохраняется и в дальнейшем, при поступлении деталей на последующие станки, общее число вариантов будет равно m!.

Неоспоримое и неоценимое значение метода полного перебора заключается в том, что он принципиально всегда «под рукой». Для конечных множеств допустимых решений, в частности, для задачи Джонсона, это означает, следовательно, что существует конечный алгоритм решения задачи, т. е. задача разрешима за конечное время. Проблема, правда, заключается в том, что для метода полного перебора это «конечное» время оказывается неприемлемо большим уже даже в простых ситуациях.

Так, если предположить, что в задаче поиска оптимальной очередности, в случае всего 10 деталей затрачивается всего лишь одна минута, на построение каждого варианта расписания и вычисление соответствующего ему значения функции-критерия (критерия оптимальности). Тогда нетрудно подсчитать, что при использовании метода полного перебора (число вариантов равно 10!, то есть 3 628 800 вариантов) и даже при двадцатичетырехчасовом рабочем дне эту задачу пришлось бы решать ... почти семь лет. В случае же 20 деталей (число вариантов равно 20!, то есть 2,433*1018 вариантов) даже с помощью современных, быстродействующих компьютеров такая задача методом полного перебора решалась бы более 77 тысяч лет!

Если же детали различны и порядок запуска на первый станок может не сохраняется в дальнейшем, при поступлении деталей на последующие станки, то, очевидно, общее время обработки всех деталей рассматриваемой группы зависит от порядка, в котором детали запускаются на обработку на каждый станок. Следовательно, общее число возможных вариантов возрастет до огромного числа (m!)ⁿ.

Решение подобных комбинаторных задач «в лоб» при большом числе различных деталей (для реальных практических задач) оказывается недоступным даже для самых мощных компьютеров.

Следовательно, чтобы разработать метод точного решения такого рода задач, необходимо предложить что-то лучшее, чем примитивный перебор всех возможных вариантов порядка (очередности) запуска.

С.Джонсоном (S.Joynson) данная задача была решена для двух и трех станков (операций) и произвольного числа деталей, обрабатываемых строго последовательно на этих станках (то есть каждая деталь сначала проходит обработку на первом станке, затем на втором и на третьем). Уже в случае трех станков решение получается сложным, а распространение этого метода (алгоритма Джонсона) на случай четырех и более станков невозможно.

Рассматриваемую задачу, безусловно, можно свести к задаче линейного программирования, но число переменных и число ограничений настолько велико, что решение задачи этим методом невозможно даже с помощью современных компьютеров. Поэтому для решения практических задач оперативно-календарного планирования предлагаются эвристические методы.

Оставив пока в стороне вопрос об общих приемах сокращения объема перебора вариантов порядка (очередности) запуска, рассмотрим частный вариант постановки задачи Джонсона, когда число станков n=2. В этом частном случае удается установить простые приемы нахождения порядка запуска деталей, обеспечивающего наименьшую продолжительность выполнения задания (наименьшую длительность расписания), то есть минимальное суммарное время обработки группы из m деталей (m=6), каждая из которых должна последовательно пройти обработку на каждом из двух станков (сначала на первом, а затем на втором станках), образующих технологическую линию. Время обработки i-ой детали (i=1,…,m) на j-ом станке (j=1,2) t_ij предполагается заданным, и, как правило, для . В таблице 8.1 представлены исходные данные рассматриваемого примера.

Таблица 8.1 - Исходные данные для задачи Джонсона и ее решение

Шифр детали, i	Время обработки i-ой детали на j-ом станке, (мин.)		№ очереди, k
	1	2
А	6	5	4
Б	4	2	6
В	6	3	5
Г	5	6	2
Д	7	6	3
Е	4	7	1
	32	29	-

Изобразим графически процесс обработки деталей на двух станках для следующей произвольно выбранной очередности запуска деталей в обработку: А→Б→В→Г→Д→Е (рисунок 8.1) (нумерация деталей и последовательность их обработки совпадают).

Рисунок 8.1 – График процесса обработки группы деталей на двух станках

На рисунке 8.1 - суммарное время обработки группы из т деталей (т=6), то есть длительность совокупного производственного цикла – время, которое пройдет от момента начала обработки первой детали (i=А) на первом станке (j=1) до момента окончания обработки последней детали (i=Е) на втором станке (j=2) рассчитывается по формуле (8.1.1) и в рассматриваемом примере равно 41 мин.

(8.1.1)

где - время обработки i-ой детали на втором станке, i=1,…,m;

- суммарное время обработки всех деталей на втором станке;

- суммарное время простоя второго станка (оборудования на второй операции);

- время простоя второго станка между окончанием выполнения работы по обработке (i-1)-ой детали на этом станке и началом обработки i-ой детали на том же самом станке (для детали первой очереди запуска );

- время обработки детали k-ой очереди запуска на втором станке, k=1,…,m;

- время обработки детали k-ой очереди запуска на втором станке, k=1,…,m-1;

Критерием оптимальности в данной постановке задачи и соответственно в экономико-математической модели является минимизация длительности совокупного производственного цикла

(8.1.2)

Так как суммарное время обработки всех деталей на втором станке, то есть сумма известна и в формуле (8.1.2) для любой очередности запуска деталей является константой, то для того, чтобы обеспечить наименьшее значение длительности совокупного производственного цикла необходимо минимизировать суммарное время простоя оборудования на второй операции (время простоя второго станка):

(8.1.3)

В нашем примере время простоя второго станка:

(8.1.4)

Если для решения рассматриваемой задачи использовать метод полного перебора, то при наличии m деталей и двух станков и при условии, что все детали обрабатываются сначала на первом, а затем на втором станке в одинаковом порядке на каждом из них, как было показано выше, существует m! возможных вариантов (последовательностей), то есть для нашего примера имеется 6!=720 вариантов.

Известен весьма простой алгоритм для нахождения оптимальной последовательности (порядка) обработки т деталей на двух станках – алгоритм Джонсона.

Указанный алгоритм включает следующие основные шаги:

1) выбирается деталь с наименьшей продолжительностью обработки на одном из станков; в нашем примере на первой итерации это деталь Б;

2) выбранная деталь помещается в начало очереди, если наименьшая продолжительность обработки соответствует первому станку, или в конец очереди, если – второму станку; в нашем примере деталь Б помещается в конец очереди (k=6);

3) строка(и) таблицы 8.1, соответствующая(ие) выбранной(ым) детали(ям) исключается(ются) из дальнейшего рассмотрения (вычеркивается(ются));

4) выбирается деталь среди оставшихся со следующей наименьшей продолжительностью обработки на одном из станков; в нашем примере на второй итерации это деталь В, на третьей итерации это деталь Е, на четвертой итерации это детали А и Г, на последней итерации это деталь Д;

5) выбранная деталь помещается ближе к началу или к концу очереди по указанному в шаге 2 правилу; в нашем примере на второй итерации деталь В помещается ближе к концу очереди (k=5), перед деталью Б, на третьей итерации деталь Е помещается в начало очереди (k=1), на четвертой итерации деталь А помещается ближе к концу очереди (k=4), а деталь Г помещается в начало очереди (k=2), на последней итерации деталь Д помещается ближе к концу очереди (k=3);

6) если определена очередность запуска для всех деталей, то решение получено, иначе переходим к шагу 3.

В итоге реализации данного алгоритма можно получить оптимальное расписание работы двух станков (рисунок 8.2). В нашем примере (см. таблицу 8.1) найдена оптимальная очередность запуска деталей в обработку - Е→Г→Д→А→В→Б. В последней графе таблицы 8.1 показан номер очереди запуска (k) соответствующей детали в обработку на каждом станке технологической линии.

№ операции

Рисунок 8.2 – График оптимального расписания работы двух станков

После выбора оптимальной очередности запуска деталей в обработку по формуле 5 определяется суммарное время простоя второго станка , которое является минимальным из всех возможных.

(8.1.5)

Затем рассчитывается длительность совокупного производственного цикла по следующей формуле:

(8.1.6)

Полученная таким образом величина длительности совокупного производственного цикла, также является минимальной из всех возможных для заданных условий.