|
|
|
|
М |
|
||
|
|
L1 |
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
I2 |
|
||||
1 |
|
U1 |
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
Рис. 6.7 |
|
||
Переходя к комплексной форме записи напряжений на индуктивно связанных катушках, получаем
|
|
|
|
|
|
U |
1 |
j L I |
j MI ; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
U 2 j L2 I 2 j MI1 , |
(6.4) |
||||||
где |
j L I |
и |
j L |
2 |
I |
2 |
комплексные напряжения первой и второй катушек, вы- |
||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
званные действиями токов |
I1 |
и I 2 катушек; |
j MI 2 дополнительная со- |
||||||||||
ставляющая напряжения первой катушки, вызванная током I 2 второй катушки;j MI1 дополнительная составляющая напряжения второй катушки, вызванная током I1 первой катушки. В уравнениях (6.4) знак (+) соответствует со-
гласному включению катушек, а знак ( ) – встречному включению.
Способ включения индуктивно связанных катушек указывается на ее схеме путем маркировки ”начал” катушек либо в виде жирных точек (знак ), либо в виде звездочек (знак ). При этом действует следующее правило: если токи в катушках направлены к одноименным выводам, то включение катушек является согласным, а если к разноименным выводам - встречным.
6.5. Цепь с трансформаторной связью между катушками
Такая цепь представлена на рис. 6.8, у которой катушки не имеют друг с другом проводниковых соединений. Известны параметры обеих катушек
R1 , R2 , L1 , L2 , их взаимная индуктивность M, частота и комплексное напряжение U1 . Требуется определить комплексные токи I1, I2 катушек при согласном и встречном их включении.
Решение. Составляем уравнения для левого и правого контуров цепи в соответствии с формулами (6.4) и получаем
108
I1
R1 |
U1
L1
|
|
I2 |
|
|
|
R2 |
|
|
М |
ZH |
U2 Z H I2 |
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
Рис. 6.8 |
|
|
|
|
U1 |
(R1 j L1 )I1 |
j MI 2 |
; |
(6.5) |
|
j MI1 (R2 j L2 )I 2 Z Н I 2 . |
||||
0 |
|
||||
В этих уравнениях знак (+) у составляющих вида j MI соответствует согласному включению катушек, а знак ( ) – встречному включению.
Заметим , что в уравнениях (6.5) Z Н I2 U2 . Обозначаем в этих уравнениях для краткости записи
|
|
|
|
|
|
(R j L ) Z ; |
(R j L Z |
Н |
) Z |
2 |
; |
|
|
|
j MI Z |
M |
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
и получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
1 |
Z |
I |
Z |
|
M |
I |
; |
|
|
0 Z |
M |
I |
Z |
2 |
I |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая эту систему уравнений, находим комплексные токи I1 и I 2 обеих |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
катушек цепи. При решении задачи применяем теорию определителей: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 1 |
|
Z M |
|
Z |
1 |
Z |
2 |
Z 2 |
; |
|
|
1 |
|
|
U1 |
Z M |
|
Z U |
1 |
; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z M |
Z 2 |
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Z |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Z 1 |
U1 |
|
Z |
M |
U ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Z 2U1 |
|
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
Z M |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Z 1 Z 2 Z 2M |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
I 2 |
|
2 |
|
Z M U1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Z 1 Z 2 |
Z 2M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Заметим, что знак ( ) в числителе I 2 соответствует согласному включе-
нию катушек, а знак (+) встречному.
Пример 6.1. В цепи с трансформаторной связью двух идеальных (без активных сопротивлений) катушек индуктивности (рис. 6.9) к катушке Х1 приложено синусоидальное напряжение частотой f = 500 Гц, а катушка Х2 разомкну-
109
та. Действующее значение тока в катушке Х1 составляет I1 =10 A, а напряжение на разомкнутых зажимах катушки Х2 составляет U2 = 50 B. Требуется определить величину взаимной индуктивности M этих катушек.
I1 |
|
|
|
I2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Х1 |
ХМ |
Х2 |
U1 |
V1 |
U2 |
А1
вход |
выход |
Рис. 6.9
Решение. При отсутствии активных сопротивлений катушек ( R1 R2 0)
уравнения (6.7) можно составить только для модулей токов, напряжений и сопротивлений не применяя символического метода.
С учетом, что правый контур цепи разомкнут ( I2 =0), имеем
|
|
|
|
|
U1 I1X1; |
|
0 I1X M U2 , |
|||||||
где Х1 L1, |
XМ М. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
При |
этом |
из |
второго |
уравнения |
следует, что X M U 2 I1 или |
||||||
|
X M |
|
U 2 |
I1 5 Ом. |
Тогда величина взаимной индуктивности катушек |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
M |
X M |
|
|
5 |
|
|
5 |
1,95 10 3 Гн. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
f |
6,28 500 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вопросы для самопроверки
1.Почему нельзя получить резонанс в цепи в результате изменения величины напряжения на входе цепи?
2.Укажите все возможные варианты изменений в цепи (рис. 6.1), чтобы получить в ней резонанс
3.В условиях примера 6.1 (рис. 6.9) определить комплексный ток цепи при согласном и встречном включении индуктивно связанных катушек, используя символический метод.
110