Задание №2

1. Записать линеаризованное уравнение, полученное в предыдущей работе, в каноническом виде, определив T, K, 

2. Преобразовать уравнение по Лапласу, записав его в форме (16)

3. В том случае, если >1, построить переходную (17) и импульсную характеристики (18) при нулевых начальных условиях. Затем отнять от  целую часть и построить переходную (19) и импульсную характеристики по (20). При 0<<1 построить переходную (19) и импульсную характеристики по (20), затем прибавить к  единицу и построить переходную (17) и импульсную характеристики по (18). Сделать вывод о влиянии величины  на характер переходного процесса.

4. Записать выражения для АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ВЧХ и МЧХ для своего варианта при >1 и 0<<1

5. Построить АФЧХ, АЧХ и ФЧХ для двух указанных случаев и сделать вывод о влиянии величины на форму частотных характеристик. При построении графических характеристик использовать пакеты Excel, MathCad или другие.

Исследование устойчивости замкнутой системы управления

Под устойчивостью АСУ понимают способность системы возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. В любой АСР, в результате возмущающих сил с одной стороны и восстанавливающего действия регулятора с другой, возникает переходной процесс. Структурная схема простейшей АСУ изображена на рис. 8.

Рис. 8. Схема системы регулирования по отклонению

Переходной процесс в системе может быть 3 видов:

1. Система не может восстановить состояние равновесия и значение Y все больше отклоняется от заданного. Такой процесс называется расходящимся, а система — неустойчивой.

2. Система возвращается к равновесному состоянию и значение управляемой координаты Y после окончания переходного процесса отличается от заданного лишь на некоторую статическую ошибку. Такой процесс называется сходящимся, а система — устойчивой.

3. В системе устанавливаются периодическое движение. Такой процесс называется незатухающим колебательным, а система находится на границе устойчивости. Любое воздействие на такую систему может привести ее как к сходящемуся, так и к расходящемуся переходному процессу.

Основными законами автоматического регулирования являются:

1) Пропорциональный (П – закон). При таком законе управления управляющий сигнал  прямо пропорционален сигналу рассогласования межну выходной координатой и ее заданным значение., то есть:

2) Пропорционально-интегральный (ПИ – закон). Управляющий сигнал складывается из пропорциональной части и интеграла ошибки за некоторый период Т:

3) Пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД – закон). К ПИ – закону добавляется производная от ошибки (скорость ее изменения).

Выбирая К_р ; Т_и ; Т_д , можно усиливать или ослаблять соответствующие части регулятора, добиваясь наилучшего качества регулирования. Оценка устойчивости системы производится при помощи критериев устойчивости 2 видов: алгебраических и частотных.

Алгебраические критерии позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения. Рассмотрим один из наиболее часто встречающихся алгебраических критериев – критерий Гурвица.

Напомним, что рассматриваемый объект управления представляет собой колебательное звено 2 порядка, передаточная функция которого имеет вид:

(31)

Выберем в качестве закона регулирования ПИ – закон, то есть передаточная функция регулятора будет иметь вид:

(32)

Передаточная функция замкнутой системы управления определяется по выражению:

(33)

Подставляя значения W_o(p), W_p(p) и производя необходимые упрощения, получим:

(34)

Характеристическое уравнение такой системы будет иметь вид:

(35)

Обозначим :

; ;;

Критерий устойчивости Гурвица заключается в вычислении определителей так называемой матрицы Гурвица. Система управления считается устойчивой, если все определители матрицы Гурвица больше нуля. Для системы 3 порядка необходимо вычислить следующие определители:

; ;(36)

Вычисление определителей матрицы Гурвица можно производить и вручную, но наиболее удобно сделать это с использованием математических пакетов типа MathCad и др.

Среди частотных критериев устойчивости наиболее распространенным является критерий Найквиста. Этот критерий заключается в построении годографа разомкнутой системы и определении положения годографа относительно точки (-1; j0). Если годограф пересекает ось абсцисс левее этой точки, то система считается неустойчивой, если правее – система устойчива. Если же годограф проходит через эту точку, называемую точкой Найквиста – система находится на границе устойчивости.

Можем записать: , или:

(37)

Передаточную функцию разомкнутой системы преобразуют в амплитутудно-фазовую частотную характеристику, строят годограф, и по нему оценивают устойчивость системы.

В заключение построим переходной процесс в системе, как реакцию на типовое возмущение – единичный скачек. Определим корни характеристического уравнения замкнутой системы управления (6) и представим решение дифференциального уравнения замкнутой системы в виде:

(38)

где:

(39)

Подставляя корни характеристического уравнения (31) в выражение (35), определяем константы интегрирования С_i и строим по выражению (34) переходной процесс.

Для варианта "Пример" получаем: Т_u=0.208, K_p=73.6

а₃=18.9; а₂=4.08; а₁=0,019; а₀=2,122 10^-3.

Определители матрицы Гурвица: ₂=0,036. Все коэффициенты и _n-1=₂ больше нуля, из чего можно заключить, что система устойчива.

Годограф Найквиста имеет вид показанный на рис 9.

Из рис. 9. видно, что годограф проходит значительно правее точки Найквиста, что также дает основание утверждать, что система устойчива.

Рис. 9. Годограф Найквиста для варианта "Пример"

Переходной процесс в системе имеет вид, изображенный на рис. 10.

Рис. 10. Переходной процесс в системе управления