- •Введение
- •Глава 1. Ряды фурье
- •§ 1. Векторные пространства
- •§ 2. Скалярное произведение и норма функций
- •§ 3. Ортогональные системы функций. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье
- •§ 4. Сходимость в среднем. Равенства Парсеваля
- •§ 5. Тригонометрический ряд Фурье на промежутке [–l, l]
- •§ 6. Сходимость тригонометрического ряда Фурье. Теорема Дирихле
- •§ 7. Разложение в тригонометрические ряды четных и нечетных функций
- •§ 8. Ряд Фурье для функции, заданной на промежутке [0, l]
- •§ 9. Ряды Фурье для комплексных функций
- •§ 10. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье
- •Глава 2. Интеграл фурье
- •§ 11. Сходимость интеграла Фурье
- •§ 12. Преобразование Фурье
- •§ 13. Основные сведения из теории преобразования Фурье
- •Глава 3. Операционное исчисление
- •§ 14. Преобразование Лапласа
- •§ 15. Изображения простейших функций
- •§ 16. Основные теоремы операционного исчисления
- •§ 17. Формула разложения Хевисайда
- •§ 18. Операторный метод решения дифференциальных уравнений
- •§ 19. Приложения
- •Примеры для самостоятельного решения
- •Оглавление
Примеры для самостоятельного решения
Задание 1. Разложить в ряд Фурье функции, заданные на интервале –, :
1.2.
3.. 4..
5.6.
7.8.
9.
10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21.
22.
23.
24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31.
Задание 2. Разложить в ряд Фурье функции, заданные на интервале :
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9.
10.
11.
12.
13.14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29 30. =
Указание. Для решения примера 15 воспользоваться формулами 6
Задание 3. Представить интегралом Фурье следующие функции:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13.. 14.. 15..
16.. 17.. 18..
Указание. При решении следует воспользоваться формулами
;
;
;
;
;
.
Задание 4. Найти косинус-преобразование Фурье следующих функций:
1.2.. 3..
4.. 5..
Задание 5. Найти синус-преобразование Фурье следующих функций:
1. 2.
3.4..
5. . 6.. 7..
Ответы
Задание 1
1. . 2..
3. . 4. .
5. . 6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. . 14. .
15. . 16. .
17. . 18..
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. . 25. .
26..
27. .
28. .
29. .
30. .
31. .
Задание 2
.
2. .
3. .
4. .
5. . 6. . 7..
8.
.
9. .
10. . 11..
12. .
13. .
14. .
15. .
16. . 17.
18. . 19..
20. .
21. .
22. . 23. .
24. . 25. .
26. .
27. .
28. .
29. .
30. .
Задание 3
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. . 7..
8. . 9.. 10..
11. . 12.. 13..
14. . 15. . 16. .
17. . 18. .
Задание 4
1. . 2..
3. . 4.. 5..
Задание 5
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6.. 7..
Рекомендательный библиографический список
Основной:
1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1972.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Часть II. М.: Наука, 1985.
3. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1998.
Дополнительный:
4. Данко П.В. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.В.Данко, А.Г.Попов, Г.Н.Кожевникова. М.: Высшая школа, 1997. т.2.
5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1987.
6. Прудников А.П. Интегралы и ряды / А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. М.: Наука, 1981.
Оглавление
Введение 3
Глава 1. Ряды Фурье 4
§ 1. Векторные пространства 4
§ 2. Скалярное произведение и норма функций 5
§ 3. Ортогональные системы функций. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье 9
§ 4. Сходимость в среднем. Равенства Парсеваля 11
§ 5. Тригонометрический ряд Фурье на промежутке –L, L 15
§ 6. Сходимость тригонометрического ряда Фурье. Теорема Дирихле 16
§ 7. Разложение в тригонометрические ряды четных и нечетных функций 20
§ 8. Ряд Фурье для функции, заданной на промежутке 0, L 22
§ 9. Ряды Фурье для комплексных функций 24
§ 10. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье 29
Глава 2. Интеграл Фурье 32
§ 11. Сходимость интеграла Фурье 32
§ 12. Преобразование Фурье 33
§ 13. Основные сведения из теории преобразования Фурье 40
Глава 3. Операционное исчисление 49
§ 14. Преобразование Лапласа 49
§ 15. Изображения простейших функций 53
§ 16. Основные теоремы операционного исчисления 59
§ 17. Формула разложения Хевисайда 66
§ 18. Операторный метод решения дифференциальных уравнений 70
§ 19. Приложения 79
Примеры для самостоятельного решения 87
Ответы 94
Рекомендательный библиографический список 101