Тетрадь Вычисление неопределенного интеграла
.pdfВычисление неопределенного интеграла |
1 |
Способ подстановки (замены переменной).
Пример. |
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∫(2x +1)20dx ={2x +1 =t; dt = 2dx;} = ∫t20 |
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1 |
dt = |
1 |
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1 |
t21 +C = |
t21 |
+C = |
(2x +1)21 |
+C |
|||||||||||||
2 |
2 |
21 |
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42 |
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|||||||||||||||||||
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42 |
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Пример. |
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cos xdx = dt |
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t |
1 |
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3 |
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3 |
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3 |
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∫ sin x cos xdx = |
= ∫ tdt =∫t |
1 |
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2 +1 |
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t 2 |
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3 |
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3 |
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|||||||
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2 dt = |
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+C = |
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+C = |
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t 2 |
+C = |
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sin 2 |
x +C |
|||||||||
1 |
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3 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||
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sin x = t |
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+1 |
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2 |
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2 |
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Пример.
∫ecos2 x sin 2xdx ={d (cos2 x) = −2 cos x sin x = −sin 2xdx;} = −∫ecos2 xd (cos2 x) = −ecos2 x +C.
Пример. |
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∫ |
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dx |
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1 |
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= 2∫ |
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1 |
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1 |
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2∫ |
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d |
x |
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= |
d |
x = |
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dx; |
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dx = |
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= 2 arctg |
x |
+C. |
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(x +1) x |
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( |
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x ) |
2 |
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x |
( x ) |
2 |
+1 |
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2 x |
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+1 2 |
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Пример. |
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∫ |
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dx |
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= ∫ |
4dx |
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={d 2x = 2dx} = 2∫ |
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2dx |
= 2∫ |
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d 2 |
x |
|
= −2ctg2x +C . |
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||||||||||||||||||||||
sin |
2 |
x cos |
2 |
x |
2 |
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2 |
2 |
2x |
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sin |
2x |
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sin |
2x |
|
sin |
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Пример. |
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||||||||||
∫ |
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cos |
x |
dx = ∫sin−3/ 2 |
x cos xdx ={sin x = t; |
|
dt = cos xdx} = ∫t−3/ 2dt = −2t−1/ 2 +C = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin |
3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
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2 |
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||||||||
= −2sin −1 / 2 x +C = − |
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+C. |
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sin x |
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Пример. |
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∫x(x2 +1)3/ 2 dx ={d (x2 +1) = 2xdx} = |
1 |
∫(x2 |
+1)3/ 2 2xdx = |
1 |
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∫(x2 |
+1)3/ 2 d(x2 +1) = |
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2 |
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2 |
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1 (x |
2 |
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3 |
+1 |
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5 |
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||||||
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|
+1)2 |
|
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1 |
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2 |
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||||||||||||
= |
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+С = |
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(x2 |
+1)2 +С |
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|
2 |
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|
3 |
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|
5 |
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|||||||||||||
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+1 |
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2 |
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2 |
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Интегрирование по частям.
Пример.
Вычисление неопределенного интеграла |
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2 |
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u = ln x; |
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dv = xdx; |
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x2 |
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x2 |
|
1 |
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x2 |
ln x |
|
1 |
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x2 |
ln x |
|
x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||
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x ln xdx = |
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2 |
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|
= |
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ln x − |
|
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|
dx = |
|
|
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|
|
|
− |
|
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xdx = |
|
|
|
|
− |
|
+C. |
||||||||||||||||||||
∫ |
|
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|
1 dx; |
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|
|
x |
|
|
2 |
∫ 2 |
x |
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2 |
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|
2 ∫ |
|
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2 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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du = |
v |
= |
|
; |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
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Пример. |
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||||||
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|
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1 |
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|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
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|
||
|
ln x |
|
|
u |
= ln x; dv = |
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|
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
ln x |
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
−∫ − |
|
|
|
|
|
|
|
dx = − |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
∫ |
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2x |
2 |
|
2x |
2 |
x |
2x |
2 |
2 |
x |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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du = |
|
|
dx; |
v |
= − |
|
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|
|
|
; |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
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|
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||||||||
|
|
|
ln x |
1 |
|
1 |
x |
−2 |
|
|
+C |
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= − |
|
|
|
2 + |
− |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
2 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2x |
2 |
|
|
|
2x |
|
4x |
2 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
Пример. |
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|
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||||||
∫x2 sin xdx = |
|
|
|
|
2 |
; |
du |
|
= 2xdx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
= −x2 cos x + ∫cos x 2xdx = −x2 cos x +2∫x cos xdx = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
dv = sin xdx; |
v = −cos x |
|
|
|
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|
|
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|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
u = x; |
du = dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
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= |
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= −x |
cos x + |
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= −x |
cos x +2x sin x +2 cos x +C. |
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= cos xdx; |
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2 x sin x −∫sin xdx |
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dv |
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v = sin x |
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Пример. |
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∫e2 x cos xdx = |
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2 x |
; |
du = 2e |
2 x |
dx; |
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= e2 x sin x − ∫sin x |
2e2 x dx = |
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u = e |
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dv = cos xdx; |
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v = sin x |
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= |
u = e2 x ; du = 2e2 x dx; |
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= e |
2 x |
|
sin x −2 |
|
|
2 x |
cos x +∫cos x 2e |
2 x |
dx |
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−e |
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= |
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dv |
= sin xdx; |
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v = −cos x; |
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Итак, получено: |
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||||||||||||||||||
= e2 x sin x +2e2 x cos x −4∫cos xe2 xdx = ∫e2 x cos xdx =e2 x sin x +2e2 x cos x −4∫cos xe2 xdx; = |
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5 |
∫ |
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тогда имеем: |
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e2 x cos xdx = e2 x (sin x +2 cos x) |
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= |
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1 |
e2 x (sin x +2 cos x) +C |
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5 |
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Пример. |
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∫cos(ln x)dx ={ln x = t; |
x = et ; |
|
dx = et dt} = ∫et |
costdt = |
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dv |
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t |
dt; |
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t |
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t |
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t |
dt; |
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|||||||
= |
u = cos t; |
|
= e |
|
= e |
cos t |
|
+ |
∫ |
e |
sin tdt = |
u = sin t; |
dv = e |
|
= |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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du = −sin tdt; |
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v = et ; |
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du |
= cos tdt; v = et ; |
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Вычисление неопределенного интеграла |
3 |
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∫et cos tdt = et (cos t +sin t) −∫et |
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Итого |
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cos tdt, |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= e |
t |
cos t +e |
t |
sin t |
−∫e |
t |
cos tdt = |
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t |
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t |
(cos t |
+sin t) |
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= |
||||||||||||||||||||||||||
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откуда: 2∫e |
|
cos tdt = e |
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∫et cos tdt = |
et (cos t +sin t) |
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2 |
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|||
= |
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1 |
et (cos t +sin t) = |
|
1 |
eln x (cos ln x +sin ln x) = |
x |
|
(cos(ln x) +sin(ln x)) +C |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
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2 |
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Пример. |
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|||||||
|
|
|
|
|
|
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|
= x |
2 |
; dv = e |
5 x |
dx; |
|
|
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|
1 |
|
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|
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|
|
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|
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1 |
|
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1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
5 x |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
5 x |
|
|
|
|
2 |
|
5 x |
|
|
|
|
|
5 x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
∫x |
|
e |
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
e |
|
|
x |
|
−∫ |
|
|
|
e |
|
2xdx = |
|
|
x |
e |
|
− |
|
|
∫xe |
|
dx = |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2xdx; |
v = |
e |
5 x |
5 |
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
du = |
|
5 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x |
dx; |
|
|
|
x2e5 x |
|
2 |
|
xe5 x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2e5 x |
|
|
|
2xe5 x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
u = x; dv = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫e |
5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫e |
5 x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
dx = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
5 x |
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
25 |
|
|
25 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
du = dx; v = |
5 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x2e5 x |
2xe5 x |
|
2e5 x |
|
|
|
|
|
|
e5 x |
|
|
2 |
|
|
2x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+C = |
|
|
|
|
x |
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
25 |
|
|
125 |
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование элементарных дробей.
Пример.
|
|
|
|
|
dx |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
x −3 |
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∫x2 − |
6x + |
25 |
∫(x |
−3)2 +16 |
∫(x −3)2 +42 |
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
d(x +1) |
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
( |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
−x −2x +8 |
|
|
|
|
|
|
|
8 − |
x |
|
+2x |
|
|
|
8 − |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 −(x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+2x +1−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= ∫ |
|
|
d (x +1) |
|
|
|
|
= arcsin |
|
x +1 |
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
32 −(x +1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫ |
|
|
5x −3 |
|
|
|
dx = ∫ |
5x −3 |
|
|
|
|
|
x +3 = t; |
dx = dt; |
= ∫ |
5(t −3)−3 |
dt = 5∫ |
|
|
tdt |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||||||||||||||||||||
x |
2 |
+ |
6x − |
40 |
|
(x +3) |
2 |
−49 |
|
− |
3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
− |
49 |
|
t |
2 |
−49 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
−18∫ |
|
|
dt |
|
= |
5 |
ln |
|
t2 −49 |
|
− |
|
18 |
ln |
t −7 |
|
+C = |
5 |
ln |
|
x2 |
+6x −40 |
|
− |
9 |
ln |
|
|
x −4 |
|
+C. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
2 |
−49 |
|
|
t +7 |
|
|
|
|
|
x +10 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример.
Вычисление неопределенного интеграла |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ |
|
3x +4 |
dx = ∫ |
3x +4 |
|
x −3 |
=t; |
dx = dt; |
= ∫ |
3(t +3)+4 |
dt =3∫ |
tdt |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
dx = |
+3; |
|
|
|
|
|
+ |
||||
7 |
− x |
2 |
+6x |
16 −(x −3) |
2 |
16 −t |
2 |
16 −t |
2 |
||||||||
|
|
|
|
x =t |
|
|
|
|
|
|
+13∫ |
|
|
dt |
|
|
|
|
= −3 16 −t2 |
|
+13arcsin |
t |
|
|
+C = −3 |
7 − x2 −6x |
+13arcsin |
x −3 |
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
16 −t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3x |
|
−5x +4) =(6x −5)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
23 |
|
||||||||||||||
3x |
2 |
−5x + |
4 |
|
|
|
|
−2 = |
|
(6x)−2 = |
|
(6x −5 |
+5)−2 = |
(6x −5)+ |
−2 = |
(6x −5)+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x |
6 |
|
|
6 |
6 |
6 |
|
6 |
6 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
7 (6x −5)+ 23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
(6x − |
5)dx |
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= ∫ |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
dx = |
|
∫ |
|
|
|
|
+ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
3x |
2 |
−5x +4 |
|
6 |
|
|
3x |
2 |
−5x + |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5x +4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
∫ |
dx (3x2 −5x +4) |
= |
|
7 |
|
|
|
(3x |
2 |
|
−5x +4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x2 −5x +4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−5x +4 =3 |
|
x |
2 |
|
− |
5 |
x |
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−2x |
5 |
+ |
5 |
2 |
− |
5 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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3 |
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3 |
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6 6 |
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6 |
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= |
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= |
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6 ∫3x2 −5x +4 |
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5 |
2 |
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25 |
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48 |
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5 |
2 |
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23 |
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=3 |
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x − |
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− |
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+ |
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=3 |
x |
− |
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+ |
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6 |
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36 |
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36 |
6 |
|
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36 |
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|||||
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23 |
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dx |
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23 |
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dx |
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23 |
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1 |
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x − |
5 |
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23 |
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6x −5 |
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||||||||||||||||||||||
= |
∫ |
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= |
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∫ |
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= |
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6 |
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= |
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|
arctg |
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|
arctg |
|
23 . |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
x |
|
− |
5 |
2 |
+ |
23 |
|
18 |
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5 2 |
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23 2 |
18 |
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23 |
|
23 |
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3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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3 |
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x − |
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|
+ |
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36 |
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6 |
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6 |
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6 |
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6 |
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6 |
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|||||||||||||||||||||
= |
7 |
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ln (3x |
2 |
−5x +4)+ |
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23 |
arctg |
6x −5 |
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+С . |
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6 |
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3 |
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23 |
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Интегрирование рациональных дробей. |
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Пример. |
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∫ |
9x3 −30x2 + 28x −88 |
dx |
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(x2 −6x +8)(x2 |
+ 4) |
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Т.к. |
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(x2 −6x +8) = (x −2)(x −4) , то |
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9x3 −30x2 +28x −88 |
= |
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9x3 −30x2 +28x −88 |
= |
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A |
+ |
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B |
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+ |
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Cx + D |
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(x2 −6x +8)(x2 + |
4) |
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(x |
−2)(x −4)(x2 +4) |
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x |
−2 |
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x − |
4 |
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x2 +4 |
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Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:
9x3 −30x2 +28x −88 = A(x −4)(x2 +4) + B(x −2)(x2 +4) +(Cx + D)(x2 −6x +8) 9x3 −30x2 +28x −88 =
= ( A + B +C)x3 +(−4 A −2B −6C + D)x2 +(4 A +4B +8C −6D)x +(−16 A −8B +8D)
Вычисление неопределенного интеграла |
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A + B +C = 9 |
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C = 9 − A − B |
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= −30 + 4 A + |
2B +54 −6 A −6B |
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||||||||||||||||||||||||||
−4 A −2B −6C + D = −30 |
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D |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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+ 4B +8C −6D = 28 |
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4 A |
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2 A + 2B + 4C −3D =14 |
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−16A −8B +8D = −88 |
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2 A + B − D =11 |
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C = 9 − A − B |
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C = 9 − A − B |
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= |
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24 −2A −4B |
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D |
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D = 24 −2A −4B |
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|
|
+ 2B +36 −4 A −4B −72 +6 A +12B = |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
+10B = 50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 A |
|
|
|
|
4 A |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ B −24 + 2 A + 4B =11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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+5B = 35 |
|
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|
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 A |
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
4 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C = 9 − A − B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = 9 − A − B |
|
|
|
|
|
|
A = 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
24 −2A −4B |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
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= |
3 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = 24 −2A −4B |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+10B = 50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+10B = 50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
4 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 A |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
50 −10B +5B = 35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
9x3 −30x2 +28x −88 |
= |
|
5 |
|
|
|
+ |
|
|
3 |
|
|
|
+ |
|
|
x +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x −2)(x −4)(x2 + |
4) |
x −2 |
|
x −4 |
|
|
x2 |
+4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
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Итого: |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
9x3 −30x2 +28x −88 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
x +2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
dx = ∫ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
∫ |
|
|
|
|
dx + |
∫ |
|
|
|
|
|
dx + ∫ |
|
|
|
dx = |
||||||||||||||||||
|
(x |
|
−6x +8)(x |
+4) |
|
|
|
|
2 |
|
x |
−4 |
x |
2 |
|
x −2 |
x |
−4 |
x |
2 |
+4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
=5ln |
|
x −2 |
|
|
|
+3ln |
|
x −4 |
|
+∫ |
|
|
|
x |
|
|
dx +∫ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
=5ln |
|
x −2 |
|
+3ln |
|
x −4 |
|
+ |
1 |
ln(x |
2 +4) |
|
+arctg |
x |
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∫ |
6x5 −8x4 − 25x3 + 20x2 −76x − |
7 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3x3 − 4x2 −17x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7 |
|
|
|
|
3x3 – 4x2 – 17x + 6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x3 + 8x2 |
– 76x – 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x3 – 12x2 – 51x +18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20x2 |
|
−25x −25 |
|
|
|
|
|
20x2 – 25x – 25 |
|
|
|
|
|
|
4x2 −5x |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
2x |
|
+ |
3 + |
3x3 |
−4x2 −17x +6 |
dx = |
∫ |
|
2x |
dx + |
∫ |
3dx +5 |
∫3x3 −4x2 −17x + |
6 |
dx = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
2 |
x |
3 |
+ |
3x +5∫ |
|
|
|
|
|
|
|
4x2 −5x −5 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3 |
|
3x |
3 |
−4x |
2 |
−17x |
+6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:
Вычисление неопределенного интеграла |
6 |
||||||||||
|
|
|
3x3 – 4x2 – 17x + 6 |
|
x - 3 |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3x3 – 9x2 |
|
3x2 + 5x - 2 |
||||||
|
|
|
|
|
5x2 – |
17x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
5x2 – 15x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
- 2x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2x + 6 |
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
Таким образом, 3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2), а 3x2 +5x −2 = (x +2)(3x −1), Тогда: 3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(x + 2)(3x – 1).
4x2 −5x −5 |
= |
A |
|
+ |
B |
|
+ |
C |
|
, |
|
(x −3)(x +2)(3x −1) |
x − |
3 |
x + |
2 |
3x −1 |
||||||
|
|
|
|
4x2 −5x −5 = A(x +2)(3x −1) + B(x −3)(3x −1) +C(x −3)(x +2)
Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:
40A =16 |
|
|
|
A = 2 / 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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35B = 21 |
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B = 3 / 5 |
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C =1 |
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C =1 |
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Окончательно получаем: |
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∫ |
6x5 |
−8x4 −25x3 + 20x2 −76x −7 |
dx = |
2 |
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x |
3 |
|
+3x +3∫ |
|
dx |
|
+ 2∫ |
dx |
|
+5∫ |
dx |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||
|
3x |
3 |
− |
4x |
2 |
|
−17x +6 |
|
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|
3 |
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x + |
2 |
x − |
3 |
3x −1 |
|||||||||||||||||||||||
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= |
2 x3 +3x +3ln |
|
x + 2 |
|
+ 2 ln |
|
x −3 |
|
+ |
5 ln |
|
3x −1 |
|
+C. |
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3 |
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3 |
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Пример. |
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∫ |
3x4 |
+14x2 |
+7x +15 |
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dx = ∫ |
A |
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dx + ∫ |
|
Bx +C |
|
|
dx + ∫ |
|
Dx + E |
dx |
|
|
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|||||||||||||||||||||
(x +3)(x |
2 |
+ 2) |
2 |
|
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x + |
3 |
(x |
2 |
+ |
2) |
2 |
|
|
x |
2 |
+ 2 |
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Найдем неопределенные коэффициенты: |
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A(x2 |
+ 2)2 +(Bx +C)(x +3) +(Dx + E)(x +3)(x2 |
+ 2) = 3x4 |
+14x2 |
+7x +15 |
|
|
|
Ax4 + 4 Ax2 + 4 A + Bx2 +3Bx +Cx +3C + Dx4 + 2Dx2 +3Dx3 +6Dx + Ex3 + 2Ex +3Ex2 +6E =
= (D + A)x4 +(3D + E)x3 +( A + B + 2D +3E + 4 A)x2 +(3B +C +6D + 2E)x +(2 A +3C +6E + 4 A)
D + A = 3 |
|
D = 3 − A |
|
|
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|
|
3D + E = 0 |
|
E = −9 +3A |
|
|
=14 |
|
+9 A + 4 A =14 |
B + 2D +3E + 4 A |
B +6 −2 A −27 |
||
3B +C +6D + 2E = 7 |
3B +C +18 −6 A −18 +6A = 7 |
||
|
|
|
|
3C +6E + 4A =15 |
|
3C −54 +18A + 4 A =15 |
|
|
|
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|
Вычисление неопределенного интеграла |
7 |
D = 3 − A
E = −9 +3A
B +11A = 35
3B +C = 7
3C + 22A = 69
D = 3 − A
E = −9 +3A
11A = 35 − B
C = 7 −3B
21 −9B +70 −2B = 69
A = 3B = 2C =1
D = 0E = 0
Тогда значение заданного интеграла: |
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3∫ |
|
|
dx |
|
|
+ |
∫ |
|
|
2x +1 |
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|
dx = 3∫ |
|
|
dx |
|
|
+ 2∫ |
|
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|
x |
|
|
|
|
dx + ∫ |
|
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dx |
|
|
|
|
|
|
= 3ln |
|
x + |
3 |
|
− |
|
|
1 |
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|
|
+ |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x + |
3 |
|
(x |
2 |
+ 2) |
2 |
|
|
x + |
3 |
(x |
2 |
+ 2) |
2 |
(x |
2 |
+ 2) |
2 |
|
|
|
x |
2 |
+ |
2 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
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|
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|
x |
|
|
|
|
|
+ |
|
1 |
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|
arctg |
x |
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+C. |
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|||||||||||||||||||
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4(x2 |
+ 2) |
4 |
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2 |
2 |
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|
Интегрирование некоторых тригонометрических функций. |
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Пример. |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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t = tg |
, |
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|
|
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||||||||||||||||
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|
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2 tg |
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1−tg |
2 |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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dx |
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2t |
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|
2 |
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|||||||||||||||||||||||||
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2 |
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2 |
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∫ |
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= sin x |
= |
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|
= |
|
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|
, cos x = |
|
|
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|
= |
|
1−t |
|
= |
|
x |
= 2 arctg t, |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4sin x +3cos x +5 |
|
|
|
|
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2 x |
|
1 |
+t |
2 |
|
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2 |
|
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1+tg |
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1+tg |
|
x |
|
1+t |
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|
2dt |
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2 |
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2 |
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dx = |
|
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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2dt |
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1+t2 |
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||||||||||||
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dt |
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dt |
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|
dt |
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|
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|
dt |
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||||||||||||
= ∫ |
|
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1+t2 |
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= 2∫ |
|
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= 2∫ |
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|
|
|
= ∫ |
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|
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|
|
|
|
= ∫ |
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|
|
|
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= |
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||||||||||||||||||||||||||||
4 |
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|
2t |
|
|
+3 |
1−t |
2 |
|
+ |
5 |
8t +3 −3t |
2 |
+5 +5t |
2 |
2t |
2 |
|
+8t +8 |
t |
2 |
+4t +4 |
(t + |
2) |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1+t2 |
1 |
+t2 |
|
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||||||||||||||
= − |
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1 |
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+C = − |
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1 |
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+C. |
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|||||||||||||||||||
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t |
+ |
2 |
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tg |
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x |
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+2 |
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2 |
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|||||||||||
Пример. |
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|||||||||||
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dx |
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2dt |
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|
dt |
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|
dt |
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1 |
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|
t |
+ |
1 |
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|
|||||||||||
∫ |
|
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|
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|
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|
|
|
= ∫ |
|
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|
1+t2 |
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|
= 2∫ |
|
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|
|
|
|
|
= |
2∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
= |
|
arctg |
+C |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 +8cos x |
+sin x |
|
|
|
1 |
−t |
2 |
|
|
|
|
|
2t |
|
|
t |
2 |
+2t +17 |
(t |
+1) |
2 |
+16 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
9 +8 |
|
+ |
|
|
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|
x |
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1 |
+t2 |
1 |
+t |
2 |
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|
|||||||||||||||
|
|
1 arctg |
tg |
|
+1 |
|
|
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|||||||||||||||
= |
|
2 |
|
+C. |
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||||||||||||||||||||||||||
|
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4 |
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||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
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|
|||||
Пример. |
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|||||||||||
|
cos7 |
xdx |
|
|
|
|
|
cos6 x |
|
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|
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|
|
|
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|
|
cos xdx = dt |
|
|
|
|
|
|
(1 |
−t |
2 )3 |
|
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1−3t2 +3t4 −t6 |
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
= ∫ |
|
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|
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|
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|
∫ |
|
dt = ∫ |
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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cos xdx |
|
= |
sin x =t |
|
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|
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|
= |
|
|
|
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|
dt = |
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin |
4 |
x |
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|
|
sin |
4 |
x |
|
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|
|
|
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|
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|
t |
4 |
|
|
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|
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|
t |
4 |
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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2 |
x =1−sin |
2 |
|
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|
cos |
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|
x |
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Вычисление неопределенного интеграла |
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8 |
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
= ∫ |
dt |
−3∫ |
dt |
+3∫dt −∫t2dt = − |
|
|
|
1 |
+ |
3 |
|
+3t − |
1 |
t3 = − |
|
1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
3 |
|
|
+3sin x − |
sin3 x |
+C. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
2 |
|
|
|
|
3 |
t |
|
3sin |
3 |
x |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3t |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫ |
|
sin |
3 x |
|
dx |
= ∫ |
|
sin2 x |
sin xdx = |
cos x |
=t |
|
|
|
|
= −∫ |
1−t2 |
dt |
= |
|
∫ |
|
t2 |
−1 |
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 +cos x |
2 +cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+t |
|
t |
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
dt |
= −sin xdx |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
t |
|
=t −2 + |
|
|
= −2∫dt +∫tdt +3∫ |
|
|
= −2t + |
|
|
|
+3ln |
t +2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t +2 |
|
|
|
|
|
|
|
t +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
t +2 |
|
|
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|
2 |
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|
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|
||||||||||||||
= |
|
cos2 x |
−2 cos x |
+3ln |
|
cos x +2 |
|
+C. |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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Пример. |
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dx |
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|
1 |
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
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||||||||
∫ |
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
cos |
2 |
x |
|
dx = |
|
|||||||||||||||||
sin |
2 |
x +6sin x cos x −16 cos |
2 |
x |
|
|
sin |
2 |
x |
+6 |
sin x cos x |
−16 |
|
cos |
2 |
x |
|
tg |
2 |
|
x +6 tg x −16 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
cos2 |
x |
|
|
cos2 |
x |
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
tg x =t; |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
t +3 −5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
tg x − |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
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|
|
|
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|
|
=∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+C |
|
||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
+6t −16 |
|
(t |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t +3 +5 |
|
|
|
|
tg x + |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
d |
(tg x) = dt = |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
+3) |
|
−25 |
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫sin 7x sin 2xdx = sin αsin β = |
|
|
|
|
[cos(α−β) −cos(α+β)] |
= |
|
|
|
|
∫cos 5xdx − |
|
|
|
∫cos 9xdx = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
1 |
sin 5x − |
|
1 |
sin 9x +C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
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|
|||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫sin10x cos 7x cos 4xdx = ∫sin10x (cos 7x cos 4x)dx = |
cos |
αcos β = |
|
|
[cos(α+β) +cos(α−β)] |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=∫sin10x 12 (cos11x +cos 3x)dx = 12 ∫sin10x cos11xdx + 12 ∫sin10x cos 3xdx =
=sin αcos β = 1 [sin(α+β) +sin(α−β)] = 1 ∫1 (sin 21x −sin x)dx + 1 ∫1 (sin13x +sin 7x)dx =2 2 2 2 2
= |
1 |
|
∫sin 21xdx − |
1 |
∫sin xdx + 1 |
∫sin13xdx + 1 |
∫sin 7xdx = − |
1 |
|
cos 21x − |
1 cos x − |
1 |
cos13x − |
||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
4 |
84 |
|
52 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||
− |
1 |
|
cos 7x +C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1−cos 2x |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
∫sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
|
|
|
2x) = |
|
|
1+cos 4x |
|
|||||||||||||||||||||
|
xdx = |
sin |
|
x = |
|
|
|
|
= |
|
|
−2 cos 2x +cos |
|
|
|
1−2 cos 2x + |
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∫ |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
∫ |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
2 ∫ |
|
|
8 ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
−2 cos 2x + |
|
|
cos 4x dx = |
|
|
|
|
dx |
− |
|
|
cos 2xdx + |
|
|
cos 4xdx = |
|
|
|
|
|
|
Вычисление неопределенного интеграла |
9 |
= 83 x − 14 sin 2x + 321 sin 4x +C.
Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Пример.
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
x =sin t; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos tdt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
∫ |
|
|
|
= tg t ={t |
= arcsin x} = tg (arcsin x)+C. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= dx = cos tdt; |
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1− x |
2 |
) |
3/ 2 |
|
|
|
cos |
3 |
t |
|
|
cos |
2 |
t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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Пример. |
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∫ |
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dx |
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={4 1−2x = t; 1−2x = t4 ; −2dx = 4t3dt;}= ∫ |
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1 |
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(−2t3 )dt = −2∫ |
t2dt |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
−2x − |
4 |
1−2x |
t |
2 |
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t −1 |
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−t |
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t2 |
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t2 |
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−1+1 |
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t2 −1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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dt |
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= |
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= |
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= |
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+ |
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= t +1+ |
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= −2∫ t |
+1+ |
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dt |
= −2∫tdt −2∫dt −2∫ |
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= |
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−1 |
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t −1 |
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t −1 |
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t |
−1 |
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t |
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t |
−1 |
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t |
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t −1 |
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−1 |
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= −t2 −2t −2 ln |
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t −1 |
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+C = − 1−2x −2 4 1−2x −2 ln |
4 1−2x −1 |
+C . |
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Пример. |
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dx |
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x |
= |
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1 |
; |
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x2 |
−1 |
= tg t; |
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sin t |
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sin t cos |
4 |
t |
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cos t |
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2 |
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cos |
2 |
t |
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∫ |
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= |
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= ∫ |
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dt = |
∫ |
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dt = |
∫cos tdt = |
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x |
3 |
x |
2 |
−1 |
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sin t |
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cos |
2 |
t sin t |
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1 |
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tg t |
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dx = |
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dt; |
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cos3 t |
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cos |
2 |
t |
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|||||||
= ∫ |
1+cos 2t |
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1 |
∫dt + |
|
1 |
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∫cos 2tdt = |
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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dt = |
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t + |
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sin 2t |
= cos t |
= |
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; t = arccos |
|
= |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
|
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2 |
|
2 |
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2 |
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4 |
|
x |
x |
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= |
1 |
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1 |
+ |
1 |
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1 |
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+C. |
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|
arccos |
|
|
sin 2 |
arccos |
|
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||||
2 |
x |
4 |
x |
||||||||
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Пример. |
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x −1 |
+ |
|
x −1 |
|
x −1 =t; x −1 =t |
|
; |
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∫ |
3 |
|
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4 |
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12 |
12 |
|
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dx = |
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|
= |
|
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( |
|
|
x −1 |
) |
|
||||
|
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||||
(x −1) 1+ 6 |
|
dx =12t11dt; |
|
|
|
∫ |
|
t4 +t3 |
|
|
12t |
11 |
dt =12∫ |
t3 +t2 |
dt = |
||||
t |
12 |
(1 |
+t |
2 |
) |
|
t |
2 |
+1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t3 +t2 |
|
|
|
|
|
|
t3 +t2 |
|
|
t2 +1 |
t |
3 |
+t |
2 |
=t +1− |
t |
+1 |
|
|
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|
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|
|||||||||||
: |
|
|
|
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|||||||||||||||||
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2 |
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|
2 |
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|||||||||||||
t2 +1 |
|
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|||||||||||||||
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t3 +t |
|
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t +1 |
t |
|
+1 |
|
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|
t |
|
+1 |
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|||||||||||
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t2 −t |
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||
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||||||
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t2 +1 |
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|||
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−t −1 |
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||||
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t +1 |
|
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|
tdt |
|
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dt |
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2 |
|
2 |
|
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||||||||||||||
=12∫ t |
+1− |
|
|
|
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dt =12∫tdt +12∫dt −12∫ |
|
|
|
|
|
|
−12∫ |
|
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= |
6t |
|
+12t −6 ln(t |
|
+1) |
−12 arctg t = |
||||||||
t |
2 |
|
|
|
|
t |
2 |
+1 |
1 |
+t |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
+1 |
|
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|
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|
= 66 x −1 +1212 x −1 −6 ln( 6 x −1 +1) −12 arctg 12 x −1 +C.
Вычисление неопределенного интеграла |
10 |
Пример:
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dx |
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x = a tg t; |
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a2 + x |
2 = |
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a |
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; |
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a |
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dt |
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1 |
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cos tdt |
|
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|
1 |
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cos |
3 |
tdt |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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cos t |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
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|
|
|
|
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= ∫ |
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cos |
|
t |
|
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|
∫ |
|
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|
∫ |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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= |
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= |
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= |
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4 |
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|
= |
|||||||||||||||||||||||||
x |
4 |
|
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a |
2 |
|
+ x |
2 |
|
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|
a |
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4 |
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a |
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a |
4 |
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tg |
4 |
|
t cos |
2 |
t |
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a |
4 |
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sin |
t |
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a |
tg |
4 |
t |
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dx = |
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dt; |
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|||||||||||||||
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cos t |
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cos |
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t |
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cos2 t d (sin t ) |
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1 |
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cos2 t cos tdt |
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1 |
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1 |
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1−sin |
2 t |
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(sin t ) = |
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(sin t ) = |
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= |
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∫ |
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= |
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∫ |
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= |
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∫ |
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4 |
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d |
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∫ |
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− |
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d |
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a |
4 |
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sin |
t |
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a |
4 |
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sin |
4 |
t |
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a |
4 |
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sin |
t |
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a |
4 |
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4 |
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t |
sin |
2 |
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sin |
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t |
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1 |
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1 |
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1 |
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d (sin t ) |
= |
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∫(sin t ) |
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d (sin t ) |
− |
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∫(sin t ) |
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d (sin t ) = |
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4 |
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sin |
4 |
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t |
sin |
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t |
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a |
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a |
4 |
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−3 |
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x |
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x |
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1 |
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−3 |
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x |
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1 |
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−1 |
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x |
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||||||||||||||||||||||||||
= − |
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t |
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sin |
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+C. |
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3a |
4 |
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a4 |
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a |
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a |
3a4 |
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a |
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a4 |
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a |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Пример: |
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dx |
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x = |
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2 |
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; |
dx = |
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2sin |
t |
dt; |
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2sin2 |
t dt |
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2 sin t cos |
6 |
tdt |
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1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
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cos |
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t |
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= ∫ |
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cos |
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t |
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=∫ |
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∫ctg |
4 |
tdt = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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= |
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= |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x(x |
2 |
− |
4) |
5 / 2 |
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sin t |
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2 |
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sin t |
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5 |
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2 |
2 |
5 |
cos |
2 |
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t |
sin |
5 |
t |
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32 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
2 |
−4 = |
2 |
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; |
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2 |
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cos t |
cos t |
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dy |
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1 |
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∫y |
4 |
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dy |
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1 |
∫ |
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y4 |
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ctg t = y; |
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t = arc ctg y; |
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dt = − |
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= − |
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dy = |
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1 |
+ y |
2 |
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32 |
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1+ y |
2 |
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32 |
1 |
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+ y |
2 |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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y |
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y |
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+1 |
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y |
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)( |
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4 |
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= |
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4 |
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= |
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2 |
−1 y |
2 |
+1 |
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= |
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2 |
1 y |
2 |
+1 |
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+ |
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= y −1+ |
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= |
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1+ y2 |
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1+ y2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ y2 |
1+ y2 |
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1+ y2 |
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|
1+ y2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||
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||||
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1 |
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∫ |
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2 |
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1 |
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1 |
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∫y |
2 |
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1 |
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∫dy − |
|
1 |
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∫ |
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dy |
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1 |
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3 |
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1 |
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1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= − |
|
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|
y |
|
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|
−1+ |
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dy = − |
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dy + |
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= − |
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y |
|
+ |
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|
|
y + |
|
|
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|
arc ctg y +C = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
32 |
|
|
|
|
1 |
+ y |
2 |
|
32 |
|
|
32 |
|
32 |
1 |
+ y |
2 |
|
|
96 |
|
|
32 |
|
|
32 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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1 |
(ctg t ) |
3 |
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1 |
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1 |
arc ctg (ctg t )+C = |
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2 |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= − |
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|
+ |
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|
ctg t − |
|
|
cos t = |
x |
; |
|
t = arccos |
|
x |
|
|
= |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
96 |
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|
32 |
32 |
|
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|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= − |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
2 |
+C. |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
ctg |
|
|
arccos |
x |
|
|
|
|
|
ctg |
arccos |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
arccos |
x |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
96 |
|
|
|
32 |
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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