L№6(Плотность распределения)

1.Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Функция распределения непрерывной случайной величины является ее исчерпывающей вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной вели­чины в окрестностях различных точек дается функцией, которая называется плотностью распределения вероятности или дифференциальным законом распределения случайной величины. В этом вопросе мы рассмотрим плотность распределения вероятности и её свойства.

Пусть имеется непрерывная случайная величина Х с функцией распределения . Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на элементарный участок :

.

Составим отношение этой вероятности к длине участка :

. (1)

Полученное отношение называется средней вероятностью, которая приходится на единицу длины этого участка.

Считая функцию распределения F (х) дифференцируемой, перейдем в равенстве (1) к пределу при ; тогда получим:

. (2)

Предел отношения вероятности попадания непрерыв­ной случайной величины на элементарный участок от х до х+∆х к длине этого участка ∆х, когда ∆х стремится к нулю, называется плотностью распределения случайной величины в точке х и обозначается f (x).

В силу равенства (2) плотность распределения f (х) равна производной от функции распределения F (х), т. е.

.

Смысл плотности распределения f (х) состоит в том, что она указывает на то, как часто появляется случай­ная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

Кривая, изображающая плотность распределения f(х) случайной величины, называется кривой распределения. Примерный вид кривой распределения представлен на рис.1.

Рис.1.

Заметим, что если возможные значения случайной величины заполняют некоторый конечный промежуток, то плотность распределения f(x) = 0 вне этого про­межутка.

Выделим на оси абсцисс элементарный участок ∆х, примыкающий к точке х (рис. 2), и найдем вероятность попадания случайной величины X на этот участок. С одной стороны, эта вероятность равна приращению функции распределения F (х), соответствующему приращению ∆x= dx аргумента х. С другой стороны, вероятность попадания случайной величины X на эле­ментарный участок dx с точностью до бесконечно малых высшего порядка, чем ∆х равна f(x)dx (так как ∆F(x)≈ dF (х) = f (x) dx). Геометрически это есть площадь эле­ментарного прямоугольника с высотой f(x) и основанием dx (рис. 2). Величина f (x) dx называется элементом вероятности..

Рис.2.

Следует обратить внимание на то, что не все случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый интервал, являются непрерывными случайными величинами. Встречаются такие случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, но для которых функция распределения не везде является непрерывной, а в отдельных точках терпит разрывы. Такие случайные величины называются смешанными. Так, например, в задаче обнаружения сигнала в шумах амплитуда полез­ного сигнала является смешанной случайной величиной X, которая может принимать любое значение, как положительное, так и отрицательное.

Дадим теперь более строго определение непрерывной случайной величины.

Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения F (х\ непрерывна на всей оси Ох, а плотность распределения f (x) существует везде, за исключением, быть может, конечного числа точек.

Рассмотрим свойства плотности распределения.

Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т. е.

Это свойство непосредственно вытекает из того, что плотность распределения есть производная от неубывающей функции распределения F(x).

Свойство 2. Функция распределения случайной величины равна интегралу от плотности в интервале от – ∞ до х, т. е.

. (3)

Свойство 3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок равна интегралу от плотности распределения, взятому по этому участку, т. е.

. (4)

Свойство 4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

.

Если интервал возможных значений случайной величины имеет конечные пределы а и b, то плотность распределения f(х) = 0 вне промежутка и свойство 4 тогда можно записать так:

.

Пример. Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью

.

Требуется:

1) Найти коэффициент а.

2) Найти вероятность попадания случайной величины на участок от 0 до .

Решение. 1) Для определения коэффициента а вос­пользуемся свойством 4 плотности распределения:

,

откуда .

2) По формуле (4) имеем:

.

Модой непрерывной случайной величины Х называется то её значение, при котором плотность распределения максимальна.

Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое её значение, для которого равновероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше , то есть:

.

Геометрически мода является абсциссой той точки кривой распределения, ордината которой максимальна (для дискретной случайной величины модой является абсцисса точки полигона с максимальной ординатой).

Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь ограниченная кривой распределения, делится пополам.

Заметим, что если распределение является одномодальным и симметрическим, то математическое ожидание, мода и медиана совпадают.

Отметим также, что третий центральный момент или асимметрия служит характеристикой «скошенности» распределения. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то для кривой распределения (гистограммы) . Четвертый центральный момент служит для характеристик островершинности или плосковершинности распределения. Эти свойства распределения описываются с помощью так называемого эксцесса. Формулы для нахождения асимметрии и эксцесса были нами рассмотрены на предыдущей лекции.

2.Нормальное распределение

Среди распределений непрерывных случайных величин центральное место занимает нормальный закон или закон распределения Гаусса, плотность вероятности которого имеет вид:

, (5)

где – параметры нормального распределения.

Так как нормальное распределение зависит от двух параметров и , то его называют ещё двухпараметрическим распределением.

Нормальный закон распределения применяется в тех случаях, когда случайная величина Х является результатом действия большого числа различных факторов. Каждый фактор в отдельности на величину Х влияет незначительно и нельзя указать, какой именно в большей степени, чем остальные. Примерами случайных величин, имеющих нормальное распределение, могут служить: отклонение действительных размеров деталей, обработанных на станке, от номинальных размеров, ошибки при измерении, отклонения при стрельбе и другие.

Докажем, что в формуле (5) параметр а является математическим ожиданием, а параметр – среднеквадратическим отклонением:

.

Первый из интегралов равен нулю, так как подынтегральная функция является нечетной. Второй интеграл известен как интеграл Пуассона:

.

Вычислим дисперсию:

.

График плотности вероятности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса (рис.3).

Рис.3.

Отметим некоторые свойства кривой:

1.Функция плотности распределения вероятностей определена на всей числовой оси, то есть .

2.Область значений функции , то есть кривая Гаусса располагается выше оси абсцисс и не пересекает её.

3. Ветви кривой Гаусса асимптотически стремятся к оси , то есть

4.Кривая симметрична относительно прямой . Таким образом для нормального распределения математическое ожидание совпадает с модой и медианой распределения.

5.Функция имеет один максимум в точке с абсциссой , равный . С возрастанием кривая Гаусса становится более пологой, а при убывании – более «островершинной».

6. Кривая Гаусса имеет две точки перегиба с координатами и .

7.Если при неизменном изменять математическое ожидание, то кривая Гаусса будет сдвигаться вдоль оси : вправо – при возрастании а , и влево – при убывании.

8.Асимметрия и эксцесс для нормального распределения равны нулю.

Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону на участок . Известно, что

.

Поэтому

.

Пользуясь заменой переменной

,

получим:

. (6)

Интеграл не выражается через элементарные функции, поэтому для вычисления интеграла (6) пользуются таблицами значений специальной функции, которая называется функцией Лапласа, и имеет вид:

.

После несложных преобразований получим формулу для вероятности попадания случайной величины на заданный промежуток :

. (7)

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1..

2. является нечетной функцией.

3. .

График функции распределения приведен на рис.4.

Рис.4.

Пусть требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х по абсолютной величине не превосходит заданного положительного числа , то есть вероятность осуществления неравенства .

Воспользуемся формулой (7) и свойством нечетности функции Лапласа:

.

Положим и выберем . Тогда получим:

.

Это означает, что для нормально распределенной случайной величины с параметрами а и выполнение неравенства является практически достоверным событием. В этом заключается так называемое правило «трех сигм».