Пример выполнения задачи № 5

Исходные данные: а = 1м, в = 2м, с = 3м, М₀ = 10 кН∙м, F = 20 кН, q = 20 кН/м, материал балки – серый чугун марки СЧ 36. Согласно таблице 2 Приложения, ,. Сечение балки показано на рис. 13.

Решение

1. Определение реакций опор: .

;.

.;.

.

Проверка правильности определения реакций:

,

46,7 – 20∙6 + 30 + 43,3=0, 120 – 120=0.

Реакции определены верно.

2. Данная балка имеет три участка (рис. 13).

Аналитические выражения для поперечной силы Qи изгибающего моментаМ_z для каждого участка имеют следующий вид с соответствующим расчетом значенийQиМ_zв характерных точках (начало и конец участка, экстремальные значения):

1-й участок: 0 ≤ х₁ ≤а, ,.

При х₁= 0;Q_y =R_A= 46,7 кН,М_z = 0.

При х₁=а;.

2-й участок: 0 ≤ х₂≤b, ,.

При х₂= 0;,

.

При x₂ = b;,

.

Определим экстремальное значение изгибающего момента М_zна втором участке. Возьмем производную от выражения изгибающего момента на втором участке поxи приравняем к нулю. Координата положения экстремумаx_o определяется из условия равенства нулю поперечной силыQ_y = 0.

.

Тогда

3-й участок: 0 ≤ х₃ ≤с(идем справа налево):

При х₃= 0;,M_z= 0.

При х₃ =c;= – 43,3 + 20∙3 = 16,7кН.

.

Определим экстремальный момент на 3-ем участке:

.

,

.

3. Строим эпюры Q_yиМ_z(рис. 13).

4. Проверка правильности построения эпюр производится аналогично задаче 4.

5. По условию задачи сечение балки имеет вид тавра (рис. 14).

Рис. 14

Определим положение главных центральных моментов инерции для чугунной балки (рис. 14):

а) выбираем исходную систему координат yиz.

Показываем собственные центральные оси каждой фигуры y_iиz_iпараллельно выбранным осямyиz.

Определим расстояние между параллельными осями y_iиy,z_iиz.

Вычислим статические моменты инерции относительно осей уиz.

Определение положения центра тяжести сложной фигуры.

б) проводим через центр тяжести оси у₀иz₀.

Определим главные центральные осевые J_zo, J_yoи центробежный моменты инерцииJ_yozo. Для этого определим расстояние между центральными осямиу₀,z₀и собственными центральными осямиу_i,z_i.

Между осями z₀иz_i

Между осями у₀иу_i b₁ = b₂ = 0.

Тогда ,

.

.

.

Следовательно, главные центральные оси инерции UиVсовпадают с осямиу₀иz₀.

, .

6. Расчет на прочность.

Наибольшие нормальные напряжения (по модулю) определим следующим образом: при сжатии ,

где ,

,

.

При растяжении , где ,

.

Эпюра напряжений показана на рис. 15.

По табл. 2 приложения находим механические характеристики серого чугуна СЧ 36:

Рис. 15

Примем коэффициент запаса прочности равным 2,5.

Тогда допускаемые напряжения: на растяжение

на сжатие .

Условие прочности на сжатие , 512 < 560 выполняется,

прочность на растяжение не обеспечена, так как , 307 >152.

Контрольная работа № 3 Расчеты на прочность при сложном сопротивлении

З А Д А Ч А № 6

Изгиб с кручением круглого вала

Шкив с диаметром D₁ и с углом наклона ветвей ремня к горизонту α₁ делает n оборотов в минуту и передает мощность P кВт. Два других шкива имеют одинаковый диаметр D₂ и одинаковые углы наклона ветвей ремня к горизонту α₂, и каждый из них передает мощность P/2.

Требуется:

1. определить моменты, приложенные к шкивам, по заданным P и n;

2. построить эпюру крутящих моментов М_кр;

3. определить окружные усилия t₁ и t₂ , действующие на шкивы, по найденным моментам и заданным диаметрам шкивов D₁ и D₂ ;

4. определить давления на вал, принимая их равными трем окружным усилиям;

5. определить силы, изгибающие вал в горизонтальной и вертикальной плоскостях (вес шкивов и вала не учитывать);

6. построить эпюры изгибающих моментов от горизонтальных сил М_гор и от вертикальных сил М_верт ;

7. построить эпюру суммарных изгибающих моментов, пользуясь формулой М_изг = (для каждого поперечного сечения вала имеется своя плоскость действия суммарного изгибающего момента, но для круглого сечения можно совместить плоскости М_изг всех поперечных сечений и построить суммарную эпюру в плоскости чертежа; при построении эпюры надо учесть, что для некоторых участков вала она не будет прямолинейной);

8. по третьей теории прочности подобрать диаметр вала при [σ] =70 МПа, округляя его значение до стандартного ряда: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 и далее через 10 мм;

9. в наиболее напряженной точке опасного сечения определить аналитически и графически (с помощью круга Мора) величины и направление главных напряжений, нарисовать элемент, повернутый на угол α, по граням которого действуют главные напряжения.