Kollesnikov - Лекции по электротехнике

не имеет физического смысла. Поэтому возьмем сопряженный комп

* 1j2

лекс одной из величин, например тока I 3 Ie i . В этом случае в по казателе будем иметь разность начальных фаз напряжения и тока, которая, как известно, называется углом сдвига фаз. Поэтому про

нетрудно видеть, что вещественная часть комплексной мощности

Отношение активной мощности к полной, харак

Рис. 2.31

теризующеестепеньиспользованияпомощностиэлек тротехнического оборудования, называется коэффициентом мощнос( ти 1. Для гармонического тока:

SUI

2.13.Согласование сопротивления нагрузки и сопротивления источника. Условие передачи максимальной мощности

Рассмотрим некоторый реальный источник и представим его в виде

1

активного двухполюсника с источником ЭДС E и внутренним со противлением Zo (рис. 2.32)

51

Найдем сопротивление цепи

Мощность, выделяющаяся на сопротивлении нагрузки, выражается

Найдем, когда мощность нагрузки Pн максимальна. Если для ре активных сопротивлений выполняется условие

Определим соотношение между R0 и Rн,когдамощностьнагрузки Pн максимальна. Для этого возьмем производную от выражения (2.58)

и приравняем ее к нулю. Получим

(R0 1 Rн )2 2 2Rн(R0 1 Rн) 3 0,

52

т. е. мощность в нагрузке максимальна, когда равны активные со противления источника и нагрузки

Сопоставляя между собой комплексные сопротивления источни ка Z0 = R0+jX0 и нагрузки Zн 1 Rн 2 jXн , и учитывая (2.52) и (2.53), будем иметь условие передачи максимальной мощности

*

где Zн’ 1 Rн 2 jXн –сопряженныйкомплекссопротивлениянагрузки. Таким образом, максимальная мощность в цепи передается, ког

да комплексное сопротивление источника равно сопряженному ком плексу сопротивления нагрузки. При этом мощность нагрузки опре деляется выражением (2.61), а КПД 1 выражением (2.62)

т. е. в согласованном режиме передачи максимальной мощности в нагрузку КПД = 50 %. Для мощной энергетической сети этот ре жим работы невыгоден, но для информационной системы такой ре жим необходим с целью уменьшения ложных сигналов и увеличения помехозащищенности.

53

3. РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

3.1. Резонанс напряжений в последовательном контуре

Возьмем электрическую цепь в виде двухполюсника (рис.3.1),

3 1 arctg Bвx .

Gвx

Если в электрической цепи, содержащей индуктивности и емкос ти, оказывается, что при некоторой частоте Xвx 1 0 или Bвx 1 0 , т. е.

напряжение 1 и ток 1 совпадают по фазе ( = 0), то в электрической

U I

цепи имеет место резонанс (фазовый резонанс). При этом несмотря на наличие реактивных сопротивлений цепь ведет себя как некото рое активное эквивалентное сопротивление.

Резонансом называется такой режим работы электрической цепи, когда угол сдвига между током I и напряжением u на входе цепи ра вен нулю = 0.

Условие резонанса – соотношение, связывающее резонансную ча стоту с параметрами цепи (R, L, C). Для получения резонанса необхо димо найти либо входное реактивное сопротивление Xвx , либо про водимость Bвx , приравнять их нулю, а затем решить полученные уравнения относительно резонансной частоты.

54

Пример

Определим условие резонанса для цепи, изображенной на рис. 3.2. Так как схема представляет параллельное соединение емкости и ветви с последовательным соединением сопротивления и индуктивности, то

Приравниваем мнимую часть к нулю и решаем полученное уравне ние, найдем резонансную частоту

Рассмотрим электрическую цепь с последовательным соединени ем R, L, C, включенную на источник гармонического напряжения

1 (рис. 3.3.).

U

Найдем условие резонанса. Для этого запишем комплексное вход ное сопротивление цепи Zвх , выделим его мнимую часть, т. е. реак тивное сопротивление Xвх и приравняем его нулю

55

Zвх 1 R 2 j(3L 4 31C); Xвх 1 3L 4 31C 1 0.

Получим условие резонанса в виде

т. е. при резонансе в последовательном контуре сопротивления ин дуктивности и емкости равны друг другу, и эта величина носит на звание волнового сопротивления 1

Как видно из выражения (3.1), резонанс в цепи можно получить, изменяя либо частоту, либо емкость, либо индуктивность. При из менении частоты источника она должна равняться резонансной час тоте цепи

Резонансные значения емкости C0 и индуктивности L0 равны со ответственно

Построимвекторнуюдиаграммуприрезонансе(рис.3.4).Заопорный вектор берем вектор тока, так как в последовательной цепи ток один, а напряжений столько, сколько элементов плюс входное напряжение.

Напряжения на индуктивности и емкости при резонансе равны (равны их сопротивления), но в противофазе

56

Если волновое сопротивление >R, то напряжения на реактив ных элементах ULo 1 UR и UCo 1 UR . В соответствии с ЗНК

Так как напряжения на реактивных элементах при резонансе на ходятся в противофазе и равны по модулю, то напряжение на актив ном сопротивлении, исходя из (3.7), равно входному напряжению

пряжения на емкости либо индуктивности при резонансе к напряже нию на входе цепи. С учетом (3.6) и (3.8), получим

Добротность контура Q – это кратность превышения напряже ния на реактивных элементах по сравнению с напряжением источни ка при резонансе.

Обычно в последовательном контуре напряжения на индуктивно сти и емкости при резонансе больше, чем входное напряжение. По этому, чтобы подчеркнуть это явление, резонанс в последовательной цепи называется резонансом напряжений.

3.2. Частотные характеристики последовательного контура

Частотные характеристики – это зависимость сопротивления, тока и напряжения от частоты. Среди частотных характеристик вы деляют резонансные характеристики: зависимость тока и напря жения от частоты. Зависимость амплитуды сопротивления, тока, на пряжения и т.д. от частоты называется амплитудно(частотной ха( рактеристикой (АЧХ). Зависимость фазы (аргумента комплекса) сопротивления, тока, напряжения и т.д. от частоты называется фа( зочастотной характеристикой (ФЧХ).

Найдем АЧХ и ФЧХ входного сопротивления цепи Zвх . Для этого запишем Zвх , вынесем из круглой скобки сомножитель 1oL 2 3 и, учи тывая (3.3) и (3.9), получим зависимость входного сопротивле ния Zвх от относительной частоты 2 3 11 в виде

1

57

Отсюдаследует,чтоАЧХиФЧХсопротивленияравнысоответственно

На рис. 3.5 приведена амплитудно частотная характеристика (АЧХ) входного сопротивления при двух разных добротностях Q.

Рис. 3.5

Как видно из АЧХ входного сопротивления, при резонансной часто те 1 2 1, входное сопротивление цепи минимально возможное Zвх 1 R , поэтому ток при резонансе максимальный.

Рассмотрим подробнее зависимость тока от частоты. В соответ ствии с законом Ома ток в цепи будет

58

тогда АЧХ тока имеет вид

R1 2 Q2(3 4 13)2

Всоответствии с выражением (3.12) на рис. 3.6 построена АЧХ

тока для двух значений добротности: Q1 и Q2 , причем Q2 1 Q1 . При резонансной частоте , равной резонансной = 0, относительная

Частотные свойства цепи характеризуются полосой пропускания. Полоса пропускания – область частот, на границах которой ток уменьшается в 2 раз по сравнению с током при резонансе. Или же – это область частот, на границах которой мощность уменьшается в два раза по сравнению с мощностью, выделяющейся при резонансе.

На рис. 3.6 полоса пропускания равна 12 3 22 4 21 .

Величина, обратная добротности, называется коэффициентом

затухания d 3 1 3 12 .Коэффициентзатуханияопределяетполосупро

Q 2o

пускания: чем больше добротность, тем меньше коэффициент затуха ния, тем уже полоса пропускания & и острее резонансная кривая тока.

Рассмотрим фазочастотную характеристику цепи (ФЧХ). В соот ветствии с выражением (3.11) зависимость фазы от частоты выража ется следующей зависимостью:

3(4) 5 arctgQ16 7 61 2.

59

60