1. Методические указания

Линейный фильтр может описываться не только весовой функцией, но и оператором - матрицей, которая преобразует векторв векторпо правилу

= . (1)

Получая последовательно - коррелированные векторыразмерностьючисел и преобразовывая их по правилу (1), можно построить генератор векторов той же размерности, но уже окрашенных в соответствии с оператором. Таким образом, задача синтеза генератора сводится к задаче расчета нужного оператора.

Генератор полубесконечных реализаций задается интегральным уравнением

. (2)

Его векторный аналог

, (3)

в котором - корреляционная матрица заданного векторного процесса, определяет искомый оператор. Его решение

. (4)

Действительно, так как корреляционная матрица - симметричная квадратная матрица, то и , что и дает равенство (3).

Корень квадратный из корреляционной матрицы [1,2] вычисляется следующим образом.

Корреляционная матрица (по определению невырожденная) может быть записана в виде сингулярного разложения (разложения по собственным векторам ), называемого также разложением Такаги [2] :

,

где - матрица вектор - столбцов- собственных векторов матрицы;

0 0 . . . . . . 0

= 0 0 . . . . . . 0 -

. . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 . . . . .

- диагональная матрица собственных значений матрицы . Собственные векторы ортонормированы :

собственные значения > 0,.

Если определить

,

то произведение

.

Таким образом, согласно (4), оператор генератора векторных сигналов с корреляционной матрицей , формирующего их по правилу (1), есть

. (5)

Оператор можно записать еще короче:

, (6)

так как и форма (6) обращает уравнение (3) в тождество.

Аппарат собственных векторов позволяет решать более сложные задачи “перекрашивания” шума - преобразовывать окрашенный шум в окрашенный. В пространстве непрерывных процессов эта задача описывается интегральным уравнением [3], обобщающим уравнение (2),

, (7)

- соответственно функции корреляции преобразуемого и нужного стационарных процессов. Если (1) записать

= ,

то матрица рассеяния векторапредставляется соотношением

, (8)

являющимся векторным аналогом уравнения (7). Его можно записать

,

откуда следует

, . (9)

Кроме основного решения (9) уравнение (8) имеет следующие:

, (10)

, (11)

(12)

Таким образом, генератор векторных случайных процессов определяется операторами (5) ,(6), если преобразуется - коррелированный процесс, или операторами (9) - (12), если преобразуется окрашенный процесс.

В современном математическом обеспечении ЭВМ имеются весьма точные процедуры вычисления собственных векторов и собственных значений матриц. Например, в системе “MATLAB” оператор

предписывает вычисление матриц U = и L =с погрешностями порядка 10.

Пример. Заданы корреляционные матрицы

1,000 0,607 0,368 0,223 0,105

0,607 1,000 0,607 0,368 0,223

= 0,368 0,607 1,000 0,607 0,368 ,

0,223 0,368 0,607 1,000 0,607

0,105 0,223 0,368 0,607 1,000

1,000 - 0,607 0,368 - 0,223 0,105

- 0,607 1,000 - 0,607 0,368 - 0,223

= 0,368 - 0,607 1,000 - 0,607 0,368 .

- 0,223 0,368 - 0,607 1,000 - 0,607

0,105 - 0,223 0,368 - 0,607 1,000

Собственные значения обеих матриц одинаковы: = 0,2628,

= 0,3576, = 0,5412,= 1,1694,= 2,6690.

Собственные векторы матриц отличаются знаками некоторых элементов:

0,2411 - 0,4111 - 0,5493 - 0,5753 0,3743

- 0,5111 0,5753 0,1013 - 0,4111 0,4780

= 0,6010 0 0,6132 0 0,5127 ,

- 0,5111 - 0,5753 0,1013 0,4111 0,4780

0,2411 0,4111 - 0,5493 0,5753 0,3743

0,2411 0,4111 - 0,5493 - 0,5753 0,3743

0,5111 0,5753 - 0,1013 - 0,4111 - 0,4780

= 0,6010 0 0,6132 0 0,5127 .

0,5111 - 0,5753 - 0,1013 0,4111 - 0,4780

0,2411 - 0,4111 - 0,5493 - 0,5753 0,3743

Задача расчета оператора , преобразующего- коррелированный процесс с единичной матрицей рассеяния в процесс с матрицей рассеяния, и оператора, преобразующего процесс св процесс с, имеет восемь решений. Одно из них: расчет по формуле (6) дает

0,1236 - 0,2458 - 0,4041 - 0,6221 0,6115

- 0,2620 0,3440 0,0745 - 0,4446 0,7809

= 0,3081 0 0,4511 0 0,8376 ;

- 0,2620 - 0,3440 0,0745 0,4446 0,7809

0,1236 0,2458 - 0,4041 0,6221 0,6115

расчет по формуле (9)

дает оператор

1,2363 - 0,8370 0,2746 - 0,1748 0,0746

0,6946 1,4469 - 0,7511 0,2852 - 0,1561

= 0,2385 - 0,7659 1,4211 - 0,7659 0,2385 .

- 0,1561 0,2852 - 0,7511 1,4469 - 0,6946

0,0746 - 0,1748 0,2746 - 0,8240 1,2363