§ 7. Свойства дисперсии случайной функции
Используя свойства дисперсии случайной величины, легко получить свойства дисперсии случайной функции.
Свойство 1. Дисперсия неслучайной функции φ(t) равна нулю:
D[φ(t)]=0.
Свойство 2. Дисперсия суммы случайной функции Х(t) и неслучайной функции φ(t) равна дисперсии случайной функции:
D[X(t)+φ(t)]=Dx(t).
Свойство 3. Дисперсия произведения случайной функции Х(t) на неслучайную функцию φ(t) равна произведению квадрата неслучайного множителя на дисперсию случайной функции:
D[X(t)φ(t)]=φ2(t)Dx(t).
Рекомендуем самостоятельно доказать приведенные свойства, учитывая, что при любом фиксированном значении аргумента случайная функция является случайной величиной, а неслучайная функция—постоянной величиной.
Пример. Найти дисперсию случайной функции X(t)=Usin t, где U—случайная величина, причем D(U)=6.
Решение. Найдем дисперсию, приняв во внимание, что неслучайный множитель sin t можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат:
D[X(t)] = D[U sin t] = sin2 tD(U) =6 sin t.
Итак, искомая дисперсия Dx(t)=6 sin2 t.
§ 8. Целесообразность введения корреляционной функции
Математическое ожидание и дисперсия характеризуют случайную функцию далеко не полно. Можно привести примеры двух случайных функций, которые имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии, но поведение которых различно. Зная лишь эти две характеристики, в частности, ничего нельзя сказать о степени зависимости двух сечений. Для оценки этой зависимости вводят новую характеристику—корреляционную функцию. Далее покажем, что, зная корреляционную функцию, можно найти и дисперсию; поэтому знать закон распределения для отыскания дисперсии нет необходимости. Уже это обстоятельство указывает на целесообразность введения корреляционной функции.
Прежде чем перейти
к дальнейшему изложению, введем понятие
центрированной случайной функции по
аналогии с понятием центрированной
случайной величины (центрированной
случайной величиной называют разность
между случайной величиной и ее
математическим ожиданием:
=Х
- mx.
Центрированной случайной функцией называют разность между случайной функцией и ее математическим ожиданием:
(t)=X(t)-mx(t).
§ 9. Корреляционная функция случайной функции
Рассмотрим случайную
функцию Х(t).
При двух фиксированных значениях
аргумента, например при t=
t1
и t=
t2,
получим два сечения—систему двух
случайных величин Х(t1)
и Х(t2)
с корреляционным моментом M[
(t1)
(t2)
],
где
(t1)=X(t1)-mx(t1)
и
(t2)=X(t2)-mx(t2).
Таким образом, каждая пара чисел t1 и t2 определяет систему двух случайных величин, а каждой такой системе соответствует ее корреляционный момент. Отсюда следует, что каждой паре фиксированных значений t1 и t2 соответствует определенный корреляционный момент; это означает, что корреляционный момент случайной функции есть функция (неслучайная) двух независимых аргументов t1 и t2, ее обозначают через Кх(t1,t2). В частном случае значения обоих аргументов могут быть равны между собой.
Приведем теперь определение корреляционной функции.
Корреляционной функцией случайной функции Х(t) называют неслучайную функцию Кх(t1,t2) двух независимых аргументов t1 и t2, значение которой при каждой паре фиксированных значений аргументов равно корреляционному моменту сечений, соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов:
Кх(t1,t2)=M[
(t1)
(t2)].
Замечание. При равных между собой значениях аргументов t1=t2=t корреляционная функция случайной функции равна дисперсии этой функции:
Кх(t,t)=Dx(t)
Действительно, учитывая, что
Dx(t)=M[X(t)-mx(t)]2=M[
(t)]2,
получим
Кх(t,t)=
M[
(t)
(t)]=
М
[
(t)]2
=Dx(t).
Таким образом, достаточно знать корреляционную функцию, чтобы найти дисперсию случайной функции.
Пример. Задана случайная функция X(t)=Ut, где U—случайная величина, причем М(U)=4, D(U)=10. Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию заданной случайной функции.
Р е ш е н и е. а) Найдем математическое ожидание:
mx(t)=M[X(t)]=M(Ut)=tM(U)=4t
Найдем центрированную функцию:
(t)=X(t)-mx(t)=
Ut
- 4t=(U-4)t.
Отсюда
(t1)=
(U-4)t1,
(t2)=
(U-4)t2.
Найдем корреляционную функцию:
Кх(t1,t2)=M[
(t1)
(t2)]=M[(U-4)t1(U-4)t2]=t1t2M[(U-4)2]=
t1t2D(U)=10
t1t2
Итак, искомая корреляционная функция
Кх(t1,t2)= 10t1t2
б) Найдем дисперсию, для чего положим t1=t2=t;
Dx(t)=Кх(t,t)=10tt.
Итак, искомая дисперсия
Dx(t)=10t2.