n

если сумма åxi

окажется меньше величиныnm0 – 1,65s

n

, то гипотезу

i=1

Н0 следует отвергнуть в пользу альтернативной гипотезы Н1.

Ответ. W0

ì n

ü

= íåxi < nm0 – 1,65s

n ý.

î i=1

þ

измерений X1 , X 2 ,K, X n . Здесь X i

= a + Yi , где Yi –– ошибка прибора при i-

м измерении.

Полагая,

что

ошибки

измерений

имеют

нормальный

закон

распределения

N (0;s2 ),

постройте

наиболее мощный

критерий

для

проверки

гипотезы H0 :

a = a0

против

альтернативы:

для

нечетных

вариантов H1 :

a = a1 < a0 ; для четных вариантов H1 :

a = a1 > a0 .

Вероятность ошибки первого рода возьмите равной 0,02.

У к а з а н и е . Так как M ( X i ) = M (a + Yi =)

M (a) + M=(Yi )

a + 0 = a, а

D( X

) = D(a

+ Y= ) D(a) + =D(Y ) 0 + s2 , то

X

i

~ N (a;s2 ).

i

i

i

(См. пример 3.21, a –– номер

варианта,

n равно номеру варианта

плюс 50).

т.е.

случайной величиной. Можно ли считать по их результатамХ1 , Х 2 ,¼, Х n ,

что

значение

медианы

равноm0

медианы равно m1 (для определенности пусть m1 < m0 )?

Предположим,

что

значение m действительно равноm0

(т.е. верна

нулевая гипотеза Н0 :

Х1 - m0 , Х 2 - m0 ,¼, Х n – m0.

Если

гипотеза

верна, то

Р( Х – m0 ³ 0) = Р( Х – m0 £ 0) =1 / 2.

Подсчитаем

число положительных

разностейХ – m0 в

нашей выборке

и

обозначим его через S.

n

Величину S можно представить в виде S = åI ( X i

- m0 ) ,

где I (x) =1

х > 0 и

I (x) = 0

при х < 0 .

i=1

величина I (x)

при

Заметим,

что

случайная

принимает

два

значения0 и 1

с

вероятностями р =1 / 2

каждое, если

Сk pk (1

- p )n-k

³C

n

1

1

Ck

pk (1

- p )n-k

n

0

0

Р (0)

= С

0

æ 1

ö12

=

1

;

=Р (1)

С1=æ

1

ö12

12

;

ç

÷

÷

12

12

2

4096

12

12

ç

2

4096

è

ø

è

ø

2

æ 1

ö12

66

3

æ 1

ö12

220

Р (2)

= С

=

;

=Р (3)

С=

.

ç

÷

ç

÷

12

12

4096

12

12

4096

è

2 ø

è

2 ø

3

æ 1

12

299

ö

k

Откуда åC12

ç

÷

=

» 0,07.

2

4096

k =0

è

ø

Ответ.

299

» 0,07.

4096

Задача 3.22. По результатам независимых наблюдений случайной

величины Х1,

Х 2 ,

Х 3 , Х 4 ,

Х 5 , Х 6 , Х 7 , Х8 , Х 9 , Х10 , Х11 , Х12

Пусть над случайной величинойX

проделано n

независимых

наблюдений,

в

которых

получены результатыX1 , X 2 ,¼, X n ,

а

над

величиной Y проделано m независимых наблюдений и получены значения

Y ,Y ,¼,Y . Предположим, что известны дисперсии D( X ) = s2 и D(Y ) = s2

,

1

2

m

1

2

но

неизвестны

математические ожиданияМ ( X ) = а1 и

М (Y ) = а2 .

Пусть,

кроме

того,

каждая

серия

состоит

из

достаточнобольшого

числа

наблюдений (хотя бы несколько десятков в каждой серии). Построим

критерий

для

проверки по

результатам

наблюдений

гипотезы о том, что

а1 = а2.

Предположим, что гипотеза верна. Так как серии опытов достаточно

равенства

Х

» а1 и Y » a2 . Если гипотеза верна, то Х » Y

и величина |

Х - Y |

должна

быть относительно малой. Напротив, большие значения этой величины

плохо согласуются с гипотезой. Поэтому критическую область составят те

серии

наблюдений,

для

С

–– некоторая

которых | Х

- Y |³ С , где

постоянная величина.

Свяжем эту постояннуюC с уровнем значимостиb. Согласно

распределена

центральной предельной теореме каждая из величин Х

и Y

приблизительно

нормально,

как

сумма

большого

числа

одинаково

дисперсиями.

С учетом того, что М ( Х ) = M ( X ) и D( Х ) = D( X ) / n,

можно

утверждать,

имеет

––

что Х

Y

1

1

распределение N (a ,s2

/ n). Из

факта

устойчивости

нормального

закона

2

2

тоже

-Y

имеет

нормальный

закон

распределения

с

пара

s2 / n + s2 / m.

M ( Х

- Y ) a =– a

2

0 и D( Х -Y=)

1

1

2

æ

ö

ç

e

÷

P(| Х - Y - 0 |< e) =2Fç

÷

ç

s2

s2

÷

ç

1

+

2

÷

m

è

n

ø

ç

e

÷

1 –=2Fç

÷.

P(| Х - Y |³ e)

(3.6.9)

ç

s2

+

s2

÷

ç

1

2

÷

n

m

è

ø

По

найдем

такое tb,

чтобы

1 – 2F(=t )

b

или F(t

) =

1 - b

.

Тогда

при

b

b

2

e tb

s2

s2

правая часть равенства(3.6.9) будет равна b. Поэтому при

1

2

=

+

m

n

уровне

значимости b

критическую

область для проверки гипотезы о

равенстве двух математических ожиданий составят те серии наблюдений,

для которых

s2

s2

Х - Y

|³ t

(3.6.10)

|

1

+

2

.

b

n

m

Замечание 1. Если дисперсии неизвестны, то большое число

наблюдений

в

каждой

серии

позволяет

достаточно

точно оценить

дисперсии по этим же опытным данным:

n

)2

m

)2

D( X ) =s2

»

å( X i - X

D(Y ) = s2

»

å(Yi - Y

.

i=1

и

i=1

1

n -1

2

m -1

Пример 3.23. Среднее арифметическое результатов 25 независимых

измерений некоторой постоянной величины равно90,1. В другой серии из

20 независимых измерений получено среднее арифметическое, равное 89,5.

Дисперсия ошибок измерения в обоих случаях одинакова и равнаs2 =1, 2

( s »1,1).

Можно ли считать, что измерялась

одна

и

та

же

постоянная

величина?

Решение. Выдвигаем гипотезу, что в каждой из серий измерялась

одна и та же постоянная величина. Зададимся,

например,

уровнем

значимости

b = 0,01. По

таблице значений

функции Лапласа(см. прил.,

табл. П2) находим, что F(2,58) =

1 - 0,01

.

2

Тогда критическая область для проверки гипотезы определяется

1

+

1

= 0,85.

Так

как

в

нашем

случае

неравенством | Х

- Y |³ 2,58 ×1,1×

25

20

=90,1 –=89,5

0,6 < 0,85,

то сомневаться в том,

что измерялась одна

Х

- Y