5. Бесконечно малые функции и их свойства

Определение 3. Функция называетсябесконечно малой функцией в точке или функцией класса, еслиПри этом пишутТаким образом,

Например, функция а функциине являются функциями класса

Теорема 3. Имеют место следующие свойства класса

Если тот.е.

Доказательство. Свойство очевидно. Докажем свойство(другие свойства доказываются аналогично). ПустьиТогда для произвольногосуществуют числатакие, что

Выберем Тогдабудут иметь место одновременно неравенства (2) и (3). Складывая их, получим, что

Это и означает, что т.е. верно свойство . Теорема доказана.

Следующая теорема устанавливает связь между бесконечно малыми функциями и функциями, имеющими предел при

Теорема 4. Если существует (конечный) предел тоОбратно: если функцияпредставляется в видетоимеет предел в точкеи

Доказательство. Существование предела эквивалентно высказыванию

Высказывание (4), в свою очередь, эквивалентно тому, что функция т. е. чтоТеорема доказана.

Замечание 2. Равенство называют асимптотическим разложением функции имеющей предел в точке

И, наконец, дадим определение предела функции в бесконечности. Сделаем это кратко.

Определение 4. Множества

называются окрестностями точек соответственно. Следующие высказывания являются определениями предела функциив бесконечности:

Перейдем теперь к обоснованию арифметических действий над пределами.

Теорема 5. Если существуют (конечные) пределы то и существуют пределыпри этом

Если (кроме существования пределов и) выполняется ещё условието существует пределпричем

Доказательство. Докажем, например, теорему о пределе произведения. Так как существуют пределы то по теореме 4 имеют место асимптотические разложенияУмножая эти равенста друг на друга, будем иметьПосколькуто(см. теорему 3). Далее, посколькуто функцияпредставляется в видеПо теореме 14 отсюда следует, что существует предел произведенияприи он равен

Теорема доказана.

6. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентных бесконечно малых

Введем следующее понятие. Пусть конечная или бесконечная точка и пусть функ-

ции и определены в некоторой проколотой окрестности точки

Определение 4. Две бесконечно малые функции и (при )называются

эквивалентными, если в некоторой проколотой окрестностии если

При этом пишут:

Важность этого понятия становится ясной при формулировке следующего утверждения.

Теорема 6. Если и если существует пределто существует и предел и он также равен числу

Доказательство. Переходя в тождестве к пределу прии учитывая, чтополучаем утверждение теоремы.

Используя эту теорему, а также таблицу эквивалентных бесконечно малых:

Таблица 1.

Если прито при верны следующие соотношения:

const.

можно без особого труда вычислять пределы конкретных функций.

Пример 1.

7. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми

Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестноститочки

Определение 5. Функция называется бесконечно большой функцией (ББФ) приесли для всякогосуществует числотакое, что

При этом пишут

Заметим, что – это не число, а символ, поэтому бесконечный предел – это всего лишь обозначение бесконечно большой функции. Тем не менее при вычислениях удобно относиться к бесконечному пределу как к обычному, хотя для бесконечных пределов и существуют свои правила действий, несколько отличные от правил действий над конечными пределами (см. ниже таблицу 2).

Если функция сохраняет знак в некоторой проколотой окрестности точкии является при этом бесконечно большой функцией, то естественно писать

(в зависимости от знака функции в указанной окрестности). Более точно:

В этих определениях и определении 5 фигурирует окрестность

конечной предельной точки Почти дословно определяются бесконечно большие функции на бесконечности. В этом случае под точкойследует понимать один из символов:а под окрестностьюокрестность соответствующей бесконечно удаленной точкиНапример,

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 7. Пусть функция не обращается в нуль в некоторой проколотой окрестноститочкиТогда справедливо высказывание

Иначе говоря, для того чтобы функция была бесконечно малой принеобходимо и достаточно, чтобы обратная к ней по величине функциябыла бесконечно большой при

Используя эту теорему, можно доказать истинность следующих операций над бесконечно большими функциями:

Таблица 2

И, наконец, отметим ещё ряд свойств, связанных с пределами функций.

Теорема 7 (о пределе промежуточной функции). Пусть в некоторой окрестности точкивыполняются неравенстваи пусть, кроме того, крайние функции имеют пределы в точкеи эти пределы равны друг другу, т.е.

Тогда существует предел промежуточной функции и он равен т. е. Теорема 8. Пусть в некоторой окрестности точкивыполняются неравенстваи пусть существуют пределы

Тогда (докажите это утверждение самостоятельно).

Теорема 9 (о знаке предела). Если в некоторой проколотой окрестности функциянеотрицательна (неположительна) и существует пределто(соответственно).

В тех случаях, когда при вычислении того или иного предела непосредственный переход к пределу при приводит к одному из символов типа

возникает ситуация, в которой становятся неприменимы теоремы об арифметических действиях над пределами. В таких случаях возникает неопределенность при решении вопроса о существовании предела или его величины. Эта неопределенность может быть снята после некоторых тождественных преобразований. В этом случае говорят, что тождественные преобразования приводят к раскрытию неопределенности. Поясним сказанное примером.

Пусть требуется вычислить предел Если в указанном отношении мы сразу же перейдем к пределу, то получим неопределенность типаЧто скрывается под этим символом, мы пока не знаем. Попрубуем избавиться от неопределенности. Применим для этого таблицу 1 стандартных асимптотических разложений и теорему 5. Получим

Лекция 2. Односторонние пределы функции в точке. Непрерывность функции. Разрывные функции и классификация точек разрыва. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Производная сложной функции. Таблица производных