36. Скалярное произведение векторов и его свойства

Определние: Величина (a,b)=|a|*|b|*cos(a^b) называется скалярным пр-ем векторов a и b. Очевидно, что можно записать (a,b)=|a|*(проекция b на а) и наоборот.

Свойства скалярного произведения:

1) (a,b)=(a,b);

2) (a,b+c)= (a,b)+(a,c);

3)(w*a,b)=w*(a,b)=(a,w*b),w=const;

4)(a,a)≥0, причем (a,a)=0, когда a=0.

Доказательство 2го:

(a,b+c)=|a|*(проекция (b+c) на a)= |a|*(проекция b на а)+|a|*(проекция c на а)= (a,b)+(a,c).Скалярное произведение равно 0 тогда и только тогда, когда a перпендикулярно b, или a=0, или b=0.

9.1. Скалярное произведение. Прежде всего, определим, что такое угол между двумя произвольными векторами и. Возьмем любую точку и приложим к ней оба вектора. Угол между этими векторами и называется углом между векторамии. Традиционно выбирается тот угол, который меньше.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение: или.

Итак,

,

где - угол между векторамии.

Так как

,

то можно записать, что

или

.

Свойства скалярного произведения.

1. Коммутативность: .

2. Линейность:

37. Векторное произведение векторов и его свойства

Определние: Вектор c называется векторным произведением векторов a и b, обозначается c=[a,b], если |c|=|a|*|b|*sin(a^b), c перпендикулярен a и b, abc- правая тройка.

Cвойства векторного произведения:

1)[a,b]=-[b,a]

2)[w*a,b]=[a,w*b]=w*[a,b]

3)[a+b,c]=[a,c]+[b,c]

4)[a,a]=0

Определение. Тройка некомпланарных векторов называетсяправой (положительно ориентированной), если после приведения к общему началу вектор лежит по ту сторону плоскости, определяемой векторамии, откуда кратчайший поворот от векторак векторукажется совершаемым против часовой стрелки (в положительном направлении). В противном случае тройка векторов называетсялевой (отрицательно ориентированной).

Иначе, тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если находясь внутри телесного угла, образованного приведенными к общему началу векторами , мы видим поворот отки затем отксовершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Из данных трех векторов можно составить шесть различных упорядоченных троек. Три из них (; ;) являются правыми, остальные три (;;) являются левыми.

Определение. Векторным произведением векторов иназывается вектор, удовлетворяющий следующим условиям:

1) вектор ортогоналени;

2) векторы образуют правую тройку;

3) длина вектора равна произведению длин векторовина синус угла между ними:.

Обозначение: или.

Очевидные геометрические свойства векторного произведения:

векторы иколлинеарны.

, где - площадь параллелограмма, построенного на векторахи.

38. Смешанное произведение векторов и его геометрический смысл

9.4. Смешанное произведение трех векторов. Пусть даны три произвольных вектора .

Определение. Смешанным произведением векторовназывается скалярное произведение векторного произведенияна вектор.

Геометрический смысл смешанного произведения показывает следующая теорема.

Теорема 2. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах, приведенных к общему началу, взятому со знаком плюс, если тройка векторовправая, и минус в противном случае. Если векторыкомпланарны, то смешанное произведениеравно 0.

Доказательство. Если векторы иколлинеарны, то их векторное произведение равно нулю и, следовательно, смешанное произведениеравно нулю.

Пусть ине коллинеарны. Обозначим черезплощадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторахи, а черезорт векторного произведения. Тогда:

Если векторы некомпланарны, то с точностью до знакаравна высоте параллелепипеда, построенного на векторах, при условии, что параллелограмм, поостренный на векторахи, является основанием этого параллелепипеда. Следовательно, с точностью до знака смешанное произведение равно объему этого параллелепипеда. Остается разобраться со знаком.

Если тройка векторов является правой, т.е. векторлежит по ту же сторону плоскости, определяемой векторамии, что и вектор, то проекцияположительна. Если тройка векторовявляется левой, т.е. векторлежит по другую сторону плоскости, то проекцияотрицательна.

Наконец, если векторы компланарны, то векторлежит в плоскости, определяемой векторамии, и его проекция на направление вектораравна 0. Значит, равно 0 и смешанное произведение. Теорема доказана.