16 Динн. сист. с расп. мас

Лекция 16

Динамические модели стержней с распределенной массой. Критические обороты валов

1. Метод Фурье

Как уже отмечалось выше, решение некоторых задач динамики стержней с распределенной массой возможно методом Фурье. Суть метода в разделении переменных и преобразовании системы дифференциальных уравнений в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Система преобразуется к одному уравнению соответствующего порядка, решение которого ищется в виде

и подставляется в уравнение. Если при этом удается представить результат как равенство функций разных переменных, что возможно только если они константы, то метод срабатывает. Рассмотрим метод и некоторые результаты на моделях продольных (13.1) и поперечных (13.2) колебаний однородного стержня.

2. Частоты собственных продольных колебаний и удар

однородного стержня

Система (13.1) после дифференцирования по z второго уравнения и подстановки первого уравнения дает

.

Уравнение линейно и его решение - сумма общего решения однородного уравнения и частного решения уравнения с правой частью. Здесь основным является решение однородного уравнения. Ограничимся им.

Представим решение в виде и подставим в однородное уравнение. Получаем

,

и, после преобразования (разделения переменных),

,

поскольку функции разных независимых переменных могут быть равны только в случае их равенства константе. Эта константа обозначена и выбрана отрицательной, так как решение должно удовлетворять граничным условиям. Пояснения (**) ниже. Также введено обозначение . Как известно из физики а - скорость распространения упругих волн в стержне. В этом нетрудно убедиться, так как удовлетворяет однородному уравнению.

Система распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения

и , решение которых , ,

должно удовлетворять граничным и начальным условиям задачи. Например, после удара стержня о стенку граничные условия:

,

,

откуда из основного свойства линейных уравнений – сумма решений есть решение-

.

Частоты собственных колебаний определены:

.

**При выборе положительной константы удовлетворить условиям на правом конце не удается.

Для определения амплитуд А_n , B_n необходимо удовлетворить начальным условиям:

Для определения применим прием, приведший к разработке рядов Фурье. Умножим обе части последнего выражения на и проинтегрируем по длине стержня

. (*)

Сумма интегралов в левой части (*) равна , т.к. после элементарных преобразований (***) легко убедится, что при

, а при .

Интеграл в правой части (*) равен .

***

Только при , раскрывая неопределенность типа 0/0, получаем , в остальных случаях синус аргумента, пропорционального , равен нулю.

Окончательно из (*) получаем

.

Соответственно

,

напряжения

.

Максимальные напряжения при ударе о жесткую стенку упругого стержня, летящего со скоростью V, получим при , т.е.

.

Это точное решение. Для сравнения в одномассовой системе получаем

при массе, сосредоточенной в центре стержня, ,

и расчет по одномассовой схеме дает запас .

В качестве спецзадания предлагается провести расчет по двухмассовой схеме. Здесь запас будет меньше, но будет.

Частота собственных колебаний в одномассовой постановке

,

т.е. меньше точного решения. Подтверждается закономерность, подмеченная при сравнении одномассовой и двухмассовой моделей.

Вообще, расчет удара по конечномассовой схеме всегда дает запас, но тем меньше, чем выше порядок системы, а частоты приближаются к точным по мере повышения числа степеней свободы.

3. Частоты собственных поперечных колебаний однородного стержня

Система (13.2) после последовательного дифференцирования по z и подстановок дает

.

Уравнение линейно. Рассмотрим только собственные колебания.

Представим решение в виде и подставим в однородное уравнение. Получаем

,

и, после преобразования (разделения переменных),

.

Введено обозначение . Система распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения

и ,

решение которых: ,

должно удовлетворять граничным и начальным условиям задачи.

Определим частоты собственных колебаний стержня. Для этого достаточно удовлетворить граничным условиям, приравнять нулю определитель полученной системы линейных уравнений относительно С₁… С₄, и, решив полученное трансцендентное уравнение аналитически или численно, определить . Например, для шарнирно опертого однородного стержня получаем

, и

.

Откуда .

4. Критические обороты валов

При скорости вращения, совпадающей с одной из частот собственных поперечных колебаний вала возможен резонанс из-за периодического воздействия центробежных сил от неуравновешенных масс. Неуравновешенность может быть конструктивная или вследствие изгиба валов под нагрузкой. Соответствующие частоты вращения (обороты валов) называют критическими. Их расчет и корректировка при проектировании в ряде случаев имеет существенное значения при проектировании и назначении режимов работы турбинных двигателей и компрессоров. Точности расчета зависит от порядка модели. Обобщим приведенные в курсе примеры расчета для шарнирного вала.

n
1	6,93	-	-
2	8,05	32,18	-
3	8,55	33,97	72,60
∞	9,87	39,48	88,83

Как видно, подмеченная выше тенденция соотношения частот сохраняется.

5. Вынужденные колебания, неоднородные стержни, АЧХ

Частное решение неоднородной системы ищется по методике, аналогичной рассмотренной при растяжении для удовлетворения начальных условий, т.е. в виде суммы произведений собственных функций на некоторую функцию от t. При этом правая часть раскладывается в ряд Фурье.

Для неоднородных стержней при ступенчатом представлении переменной площади решение аналогично, но приходится решать системы более высоких порядков, обычно численно.

Для неоднородных стержней с непрерывным изменением площади вдоль оси возможно только численное решение полученных после разделения переменных обыкновенных уравнений. Одна из практических задач – определение формы наконечника для увеличения амплитуды продольных колебаний в ультразвуковых генераторах магнитно-стрикционного типа.

АЧХ принципиально не отличаются от конечномассовой системы. Реально сопротивление, пропорциональное скорости, приводит к быстрому затуханию амплитуд при высоких частотах. Вид АЧХ системы с распределенной массой приближается в системе с 6…8 степеней свободы.

5

Сопротивление материалов. Конспект лекций.