Гидравлика - пособие по задачам

Рис. 3.3

Реш ение

Запишем уравнение Бернулли для двух сечений потока несжи­ маемой вязкой жидкости, принимая сечение 1-1 по свободной по­ верхности жидкости в резервуаре А, а сечение 2 -2 -по свободной по­ верхности жидкости в резервуаре В:

г, + p,/(pg) + a,c i2/(2g) = х г + p2/(pg) + a?c22/(2g) + hv, _2. 11оскольку резервуары А и В вместительные, то средние скорости

перемещения свободных поверхностей жидкости в них равны нулю: с, = с2 = 0.

П о условию задачи абсолю тные давления на свободных поверхностях жидкости в резервуарах равны:

Pi = р „ + ри; Р2 —Рат»

ГДС р*т — атмосферное давление; р>, - манометрическое (избыточное) давление.

Т огда уравнение Бернулли можно записать в виде: z, + p„/(pg) + pgh]/(pg) = z2 + pgh2/(pg) + h n . 2,

где hi и hb - соответственно глубины погружения входного и выход­ ного сечений трубопровода под свободные поверхности жидкости в резервуарах, м.

П оскольку величины Ь, и h2 по условию задачи нам неизвестны, то полагаем, что они равны:

h i - h 2.

При этом уравнение Бернулли можно преобразовать к виду

коэффициент i - го местного сопротивления;

с - средняя (по сечениям трубопровода) скорость движ ения ж ид­

кости, м/с.

Тогда ф орм ула для определения средней скорости принимает

Согласно опытны м данным [13] коэффициент сопротивления входа

£tx = 0,5, коэффициент сопротивления задвижки = 0, п о в о р о т тру­

бы ^поп = 0,1 и коэффициент сопротивления вы хода из трубы под уро­

Определяем площ адь сечения потока ж идкости в трубопроводе:

П рим ер 3.4. Резервуар, имеющий объём W = (15 + 0,5i) =

~ 15 + 0,5*3 = 16,5 м3, требуется заполнить водой за время т = 30 мин. (рис. 3.4). Определить внутренний диаметр трубопровода, по которо­ му вода под постоянным напором, равным (2 + 0,2i) - 2 + 0,2*3 = 2,6 м, будет подаваться в резервуар. Д лина трубы 1 = 150 м. Труба - бес­ шовная, стальная, после нескольких лет эксплуатации.

Рис. 3.4

Реш ение

Из уравнения Бернулли, записанного для двух сечений потока (свободной поверхности в резервуаре, из которого вытекает вода, и выходного сечения трубопровода) ясно, что напор в трубопроводе Н = 2.6 м расходуется на создание скоростного напора в выходном сечении

c2/(2g)

и преодоление потерь напора на трении по длине

X(//d)*c2/(2g),

1 . С.

где с скорое iь жидкости в трубопроводе, м/с; X - коэффициент гидравлического трения; g ускорение свободного падения, м /с';

d - диаметр трубопровода, м; / его длина, м.

Скорость жидкости в трубопроводе найдём через площ адь К сечения и объемный расход Q:

с = 4Q /(nd2).

Тогда из уравнения получим:

Расход Q найдём через объём резервуара и время его заполне­

ния:

Q = W/т - 16,5/(30*60) - 0,009 м 7с.

Эквивалентная ш ероховатость бесш овной стальной трубы после нескольких лет эксплуатации Д-, = 0,25 мм 113]. Температура воды по условию задачи не задана, будем считать, что она равна 20°С. Тогда кинематический коэффициент вязкости воды v = 0,0101 см /с = 0,0101*10^ м2/с.

Подставив в уравнение (3.4.2) значения известных величин, по­ лучим:

2,6 - (1 + Ы 50/d)8*0,0092/(3,14г-9,81 d4),

Уравнение (3.4.3) - уравнение для определения внутреннего диам ет­ ра d трубопровода. Будем реш ать его методом последовательных приближений.

Зададимся значением d - 0,11 м. Найдём скорость воды в трубо­ проводе:

с= 4Q/(itd2) - 4*0,009/(3,14*0,112) = 0,95 м/с

ичисло Рейнольдса течения:

Re = cd/v - 0,95*0,1 1/(0,0101*10 4) =• 113465.

Течение турбулентное (Re > 2300), найдём предельные числа Рей­ нольдса:

Renpi = 20d/A = 20*110/0,25 - 8800,

Re,ip; - SOOd/Д = 500*110/0,25 - 220000.

Гак как выполняется условие Renpi < Re < Renp; (область гидравличе­ ски ш ероховатых ф уб ), то коэффициент гидравлического трения оп­ ределим по формуле Альтшуля:

X = 0,1 l(A yd + 68/R e)0-25 = 0 ,1 1(0,25/1 10 + 6 8 /1 13465)025 = 0,0255. Найдём теперь значение функции:

f = 388085d4 - X I5 0 /d - 1 = 388085*0,114- 0,0255*150/0,1 1 - 1 =

= 21,047. Зададимся значением d = 0,105 м. Найдём скорость воды в тру ­

бопроводе:

с= 4Q/(rcd2) = 4*0,009/(3,14*0,1052) = 1,04 м/с

ичисло Рейнольдса течения, и предельные числа Рейнольдса:

Re = cd/v = 1,04*0,105/(0,0101*10 “) = 108119;

ReIipl = 20d/A = 20*105/0,25 - 8400,

Ке1ф2 = 500d/A = 500*105/0,25 = 210000.

Так как Renpi < Re < Яе,ф2 (область гидравлически ш ероховатых труб),

то коэффициент гидравлического трения найдём по формуле Альтшуля:

X =- 0 ,1 1(Д,/ё -г 68/R e)0,25 = 0,11(0,25/105 + 68/1081 19)°25 = 0,0258. Найдём теперь значение функции:

f = 388085d4 - XI 50/d - I - 388085*0,1054 -0,0258*150/0,105 - 1 =

~ 9,315.

Зададимся значением d = 0,1 м, Найдём скорость воды в трубо­ проводе:

с = 4 Q /( * d > 4*0,009/(3, i4*0,12) = 1,15 м/с.

число Рейнольдса течения и предельные числа Рейнольдса:

Re - cd/v = 1,15*0,1/(0,0101*10'") = 113861;

Коэффициент гидравлического трения найдём по формуле Альтшуля:

А = 0.1 l(A ,/d + 68/Re)0-25 = 0,11(0,25/100 + 68/11386 i f 25 =

= 0,0259.

Найдём теперь значение функции:

Г ~ 388085d4 - XI 50/d - 1 - 388085*0,l 4 -0,0259*150/0,1 - 1 = - 1,041.

44

Зададимся значением d —0,101 м, При этом численном значении внутреннего диам етра средняя скорость с равна:

- с = 4Q/(jrd2)= 4*0,009/(3,14-0,1012) “ 1,12 м/с,

число Рейнольдса течения и предельные числа Рейнольдса:

Re = cd/v = 1,12*0,101 /(0,0101 * 10 " 4) = 112000;

Renp, = 20d/Д , = 20*101/0,25 = 8080;

Renp2 = 500dM , - 500*101/0,25 = 202000;

и

X = 0,1 l(Aj/d + 68/Re)0'25 = 0,11(0,25/101 + 68/112000)°’2S = 0,0259.

f - 388085d4 - XI 50/d - 1 = 388085-0,101“ - 0,0259*150/0,10 -

— -1 = 0,919 .

Последние два значения ф ункции f =• 388085d4 - XI 50/d - 1 име­ ю т разные знаки и оба достаточно малы, поэтому численное значение d = 0,1 м можно считать реш ением задачи.

1.4. Истечение жидкости через отверстия и насадки

Задача об истечении ж идкости через отверстия является одной из основных задач гидравлики, отправной точкой ее научного разви­ тия. М ожно отметить, что одно из основных уравнений гидравлики — уравнение Бернулли - было получено именно в результате одного из подобных решений.

Задача об истечении сводится к определению скорости истече-

При установивш емся истечении жидкости из вместительного резервуара через отверстие, диаметр которого мал по сравнению с его погружением под уровень (d « h), средню ю скорость с, м/с в сжатом сечении истекающей струи определяю т по формуле:

где ср> - безразмерный коэффициент скорости, определяемый как от­ ношение действительной скорости к теоретической, т.е. как

где g - ускорение свободного падения, м /с2; Н - действую щ ий напор истечения, м.

Действующ ий напор истечения Н, м в общ ем случае вычисляют

где h - глубина погружения центра масс отверстия под свободную поверхность жидкости в резервуаре (рис. 4.1), м;

ро - абсолютное давление газа над свободной поверхностью, Па; Pi - абсолютное давление среды , в которую истекает

жидкость, 11а;

р-- плотность жидкости, KF/Mj .

Коэффициент скорости ф в теории определяется из выражения:

где а • коэффициент К ариолиса для сжатого сечения струи, отдалён­ ного на расстояние / ~ (0,5 ... 10)d от внешней поверхности сгенки ре­ зервуара;

£ - коэффициент отверстия как м естного сопротивления.

Объёмный расход Q. м3/с через отверстие вычисляется по соот­ ношению:

где S,M„ - плошадь oi верстия, определяемая через его диаметр, м3; Н - действующ ий напор истечения, м;

g•• ускорение свободного падения, м/с2;

цкоэффициент расхода, рассчитываемый по формуле

(дссь ф - коэффициент скорости, с - коэффициент сжатия струи.

46

определяемый как отнош ение площади поперечного сечения струи в самом узком сечении Sc к площ ади отверстия S0TB, т.е. как

Ч исленные значения коэффициентов £, ц> и ц зависят от формы отверстия, состояния его кромок (острые, закруглённые), располож е­ ния отверстия относительно стенок, а такж е от числа Рейнольдса Reo (рис. 4.2), которое вычисляем по теоретической скорости:

где d - диаметр отверстия, м;

v — кинематический коэффициент вязкости, м2/с; Н •- действительный напор истечения, м.

f i . E ,

0,90

ъв --- 9 * М в а )

Рис. 4.2. График зависимостей

Приведённые на рис. 4.2 зависимости справедливы для случая истечения жидкости из малого отверстия (d < 0,1Н ) в тонкой (5 < 0,3d, где 5 - толщ ина стенки) стенке.

При развитых турбулентны х течениях (R e > 105) для круглых отверстий мож но полагать £, = 0,62, ф = 0,97 и ц = 0,6.

Для увеличения величины действительного объёмного расхода жидкости, истекаю щ ей из вместительных резервуаров, использую т насадки. Н асад ком называется короткий патрубок, подсоединяемый к отверстию для изменения характеристик истечения. В зависимости

от формы насадки делятся на цилиндрические, конические (сходя­ щиеся и расходящиеся) и колониальные. Насадки такж е подразделя­ ются на внутренние (размещ ены в объеме жидкости) и внешние.

Средняя скорость с и объемный расход ж идкости О при ее ис­ течении через насадок определяю т по формулам (4 .!) и (4.5). Однако численные значения коэффициентов в данном случае будут другими.

При установившемся движ ении жидкости в начальной части внеш него цилиндрического насадка происходит сж атие потока (рис. 4.3). В сжатом сечении средняя скорость больш е, а давление меньше, чем в выходном сечении насадка. В сжатом сечении абсолю тное дав­ ление р, меньше атмосферного рат, т.с. имеет место разрежение, кото­ рое вызывает увеличение объемного расхода Q жидкости.

При истечении воды (в случае внешнего цилиндрического на­ садка) величину вакуум метрического давления р Рак в сж агом сечении транзитной струи можно оценить по формуле:

Э го будет иметь м есто при предельно допустимом напоре истечения

при превыш ении которого давление в сжатом сечении транзитной струи рс понизится до давления насыщенных паров рs. Начинается «холодное кипение» воды. Струя теряет сплош ность; внеш нее давле­ ние «прорывается» в насадок; происходит отры в струи от стенок на­ садка; насадок работает как отверстие.

Зависимость коэффициента расхода ц внеш него цилиндрическо­ го насадка от его относительной длины 1/d приведена в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Средние численны е значения коэффициентов истечения воды из насадков различных типов (при Re > 105) приведены в табл. 4.2.

Таблица 4.2

Численные значения коэффициентов истечения

В габл. 4.2: 0 - угол полураствора конуса. Д ля каж дого кониче­ ского насадка численные значения коэффициентов относятся к сече­ нию на выходе из него.

Значительный интерес представляют задачи истечения ж идко­ сти из баков, бассейнов резервуаров при переменном уровне, имею ­ щем месго при их опорожнении. Движение жидкости при этом явля­ ется неустановивш имся, так как действующ ий напор истечения изме­ няется со временем, а, следовательно, меняется во времени и объём ­

В этом случае время t,c опорож нения резервуара от уровня Н ь м

Заметим, что формулы вила (4.13) и (4.14) можно использовать в случае истечения маловязких ж идкостей, к числу которых относит­ ся и вода. При истечении жидкостей с повышенной вязкостью пре­ небрегать изменением коэффициента расхода ц во времени нельзя; расчетные формулы усложняются.

П рим ер 4.1. Из резервуара в атмосферу вытекает вода при по­ стоянном напоре через круглое отверст ие в тонкой стенке и внеш ний цилиндрический насадок диаметрами d t = d2 =

" (20 - 2i) “ (20 I 2*3) = 26 мм ( рис. 4.5). Определить избыточное давление р„ нал свободной поверхностью воды в резервуаре, если

Г

Рис. 4.5

Р еш ение

Расход воды через отверстие в тонкой стенке определяется по формуле:

По условию задачи представляет интерес равенство AQ = Q : - Q i ,

которое с учетом соотношений (4.1.1) и (4.1.2) можно записать как

AQ = |i2W2(2gho)0,5 - |i|U |(2gho)0,5 ~ (ц2<^>2 —^,oj,)(2gh0)'J\ То1 ла имеем:

со, = со; - Kd2/4 = 3,14*0,0262/4 = 5,3*10 4 M2.

[ 1осле подстановки численных значений величин в формулу

(4.1.3) получаем:

h0 - [1*10"?/(0 .82*5,3* 10~4 - 0,62*5,3* 1 0 '4)]/(2*9,81) = 4,54 м.

П риведённы й напор истечения h 0 оп ред еляется по со о тн о ­ ш ению :

h0 = Н + pH/(pg),

согласно которому искомую величину избыточного давления можно найти.

После подстановки числовых значений величин находим:

сти через отверстие диаметром d = 20 мм из сосуда ( рис.4.6), запол­ ненного слоями масла (плотностью р* = (880 + 5i) кг/м') и воды оди­ наковой высоты h = (0,6 + 0,2i) м. Сравнить полученный результат с начальной скоростью истечения для случаев, когда сосуд заполнен

только водой или маслом до уровня 2h. Сосуд откры т в атмосферу; i = 1.

Дано: d 20 мм = 0,02 м;

i1айти: с - ?

52

Рис. 4.6

Реш ение

Вданном случае скорость истечения воды можно определить по формуле:

c = 4 >[2 (gh + pM/p) f s,

где ф —коэффициент скорости; р - плотность воды;

g - ускорение свободного падения;

ри - избыточное давление, которое оказы вает слой масла высотой h на воду

pB = p«gh.

Имеем численные значения величин:

Ф = 0.62 [13]; g = 9,81 м/с2; h = 0,8 м; рм = 885 кг/м3;

р„ = 1000 кг/м3;

рм = 885*9,81*0,8 - 6945 Па.

Определяем величину искомой скорости:

с= 0,62[2(9,81*0,8 - 6945/1000)]°5 - 3,37 м/с.

Вслучае, когда сосуд заполнен только водой или только маслом до уровня 2h, скорость находим по соотнош ению :

c2 - 9 ( 4 g h f \

Имеем:

с2 - 0,62(4*9,81 *0,8)0,5 -3 ,4 7 м/с.

П рим ер 4.3. О пределить скорость перемещ ения порш ня гидро­ т о р м о з диаметром D ~ (200 + 10i) мм, нагруж енного силой F = (110 J- 10i) кН, если перетекание ж идкости из одной полости цилиндра в другую происходит через два отверстия в порш не, диаметры которых d = 10 мм (4.7). Коэффициент расхода отверстия принять равным ц •= 0.6. Плотность жидкости р = 880 кг/м3. Трением жидкости пренеб­ речь.

Исходные данные при i = 2: D = (200 + 10*2) мм - 220 мм, F = (110 f 10*2) кН - 130 кН.

1'

1 Г

~ 1 7d

'Л V / // A К

-----

Рис. 4.7

Р еш ение

Рабочую площадь поршня найдём по формуле:

Т огда давление поршня на жидкость в нижней полости будет равно:

Если давление в жидкости над верхней плоскостью порш ня равно р,:, то давление под нижней плоскостью поршня будет равно p(J J р, т.е. перепад давлений по длине отверстия будет равен р. Расход жидкост и через одно отверстие можно найти по формуле:

Пусть порш ень движ ется с постоянной скоростью с. Т огда за интервал времени т объём ж идкости под порш нем изменится на вели­ чину:

А, следовательно, в согласии с соотнош ениями (4.3.1) - (4 .3 .4 ) и (4.3.8) соответственно получаем:

р = 4* 1,3*Ю5/[3 ,14(0,222 - 2*0,01 ?)] = 3,4*106 Па.

Q ,= 0,6*3,14*0.012/(2*3,4* Ю6/880)°'5/4 ^ 4,1*10‘3 M V C ;

Q= 2*4,1*10"3 = 8,2*10‘3 м3/с

ивеличину искомой средней скорости

с= 4*8,2* 10'3/(3,14*0,222) = 0,22 м/с.

П ри м ер 4.4. Д ва одинаковых круглых отверстия d = 60 мм с острой входной кромкой расплож ены одно над другим в вертикаль­ ной стенке больш ого резервуара (рис.4.8). Ц ентр нижнего отверстия находится на расстоянии а\ = 200 мм от дна резервуаров. Расстояние между центрами отверстий

а2 = (480 + 10i) мм. Определить, при какой глубине Н воды в резер­ вуаре суммарный расход из обоих отверстий составит

Q = (22 t И) л/с.

55

Исходные данны е при i = I : аг = (480 + 10*1) - 490 мм, О = (22 + 1*1) — 23 л/с.

Рис. 4.8

Р еш ение

Объемный расход воды Q„ м3/с через каж дое из отверстий и тонкой стенке определяется по формуле:

Q = Qi Qi-

Д авление на поверхности воды в резервуаре равно атмосферно­ му. а её истечение происходит в атмосферу. П оэтому для нижнего от­ верстия приведённый напор равен:

ho: = Н - а ь

а для верхнего отверстия -

ho2 ~ Н — Z-2-

Оба отверстия одинаковые, их коэффициенты расхода равны:

Hi •= цз - и —0,62 .

Мри чтом суммарный расход воды через отверстия можно опре­ делить по соотношению:

Q = ^ d :‘2°'5g°'5f(H - а,)0'5 + (Н - а, а;)в ,1/4.

56

согласно которому с учётом исходных данных имеем равенство

или

[(Н - 0,2)(Н - 0 ,6 9 )]0,5 = 4,825 - Н. Возведем ещ е раз в квадрат, получим:

(Н - 0,2)(Н - 0,69) = 23,28 9,65Н + Н2,

или равенство:

8,76 Н = 23,14, согласно которому искомая величина

Н- 2,64 м.

1.5Гидравлический удар в трубопроводах

Под гидравлическим ударом понимается физическое явление резкого повыш ения и последую щ его колебания давления малосжимаемой ж идкости в напорном трубопроводе с упругими стенками при

резком срабаты вании запорных приспособлений.

График изменения давления ж идкости (вблизи сработавш его за­ порного приспособления) во времени приведен н а рис. 5.1.

Р

Рис. 5.1. Схема изменения ударного давления

Рис. 5.2. К понятию гидравлического улара

До срабатывания запорного приспособления ж идкость двига­ лась в напорном трубопроводе (т.е. в трубопроводе, работающем полным внутренним диаметром d) со средней скоростью с под на­ чальным давлением р„ач (рис. 5.2, а). При резком срабатывании запор­ ного приспособления сначала останавливается один слой жидкости (его средняя скорость с обнуляется: с = 0), затем другой, сжимая пер­ вый. и т.д. Кинетическая энергия остановивш ихся слоев жидкости не исчезает; она превращается больш ей своей частью в потенциальную энергию давления (которое возрастает до величины т.н. ударного дав­ ления рул), а частично в работу деформации стенок: они расширяются. Передние точки возмущ енной области, где с 0, а р = рул. образую т фронт ударной волны, который перемещ ается к резервуару со скоро­ стью (распространения) ударной волны а ул (рис. 5.2,6).

Время, за которое ударная волна проходит двойную длину тру ­

Друаударное повы ш ение давления, Па.

Эго обуславливает возникновение м еридиональных напряжений

d и 8 - соответственно его внутренний диам етр и толш ина стенки, м.

Разрыва трубы не происходит, если выполняется условие:

[ст] - предельно допустим ое напряжение на разрыв, Па. Если время срабаты вания задвиж ки Ти ,р превы ш ает фазу

то гидравлический удар считается непрямым (или неполным). В этом случае величину ударного повыш ения давления Др'ул определяю т по формуле: