Тоэ учебник 1я часть

ψ1 =W1Ф11 +W1Ф12 = ψ11 + ψ12 , (5.1) ψ2 =W2Ф22 +W2Ф21 = ψ22 + ψ21 ,

где ψ11 , ψ22 – потокосцепление самоиндукции соответственно первой ивторойкатушек;

ψ12 , ψ21 – потокосцепление взаимоиндукции соответственно

первой и второй катушек.

Соотношения (5.1) справедливы только в том случае, когда потокосцепления самоиндукции и взаимной индукции совпадают по знаку. При изменении направления тока, например во второй катушке, знаки перед потокосцеплениями взаимоиндукции должны измениться на противоположные. Поэтому формулы (5.1) можно переписать:

при этом верхний знак в этих выражениях соответствует «согласному» включению катушек, а нижний – «встречному».

Опытным путем установлена связь между токами и потокосцеплениями для катушек без ферромагнитных сердечников,

индуктивность соответственно первой и второй катушек, M – взаимная индуктивность между катушками, измеряемая в Гн.

Степень магнитной (индуктивной) связи двух элементов цепи характеризуется коэффициентом связи K,

161

В соответствии с законом Фарадея – Ленца e = − dψ . Тогда dt

напряжения на первой и второй катушках при изменении тока i(t) :

где uL1 , uL2 – напряжение самоиндукции; uM1 , uM 2 – напряжение взаимоиндукции.

5.2. ОДНОИМЕННЫЕ ЗАЖИМЫ КАТУШЕК

Встречное и согласное включение индуктивно связанных элементов (катушек) зависит от направления тока в элементах и взаимного расположения катушек в пространстве.

Два зажима двух индуктивно (магнитно-) связанных элементов цепи называют одноименными, если при одном и том же направлении тока относительно этих зажимов потоки самоиндукции и взаимоиндукции на каждом элементе складываются. В электрических схемах такие зажимы обозначаются точками (•) или звездочками ( ). Магнитная связь между элементами обозначается дугой со стрелка-

ми (рис. 5.2).

Рис. 5.2

162

5.3. РАСЧЕТ ГАРМОНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С ВЗАИМОИНДУКЦИЕЙ

5.3.1. Последовательное соединение индуктивно связанных цепей

Рассмотрим расчет последовательной цепи с взаимоиндукцией на примере схемы, представленной на рис. 5.3, при согласном включе-

где uM1 = uM 2 – напряжение взаимоиндукции первой и второй катушек. В комплексной форме это уравнение имеет вид

U& = R1I&+ jωL1I&+ jωMI&+ R2 I&+ jωL2 I&+ jωMI& =U&ê1 +U&ê2 =

= I&( R1 + R2 ) + I&( jωL1 + jωL2 + 2 jωM ) =

(5.7)

= I&(R1 + R2 + j (ωL1 + ωL2 + 2ωM )) =

= I&(Rэкв + jωLэкв ) = I&(Rэкв + jX Lэкв ) = I&Z согл,

где ωM – сопротивление взаимоиндукции, ωM = X M ;

XLэкв – реактивное сопротивление при согласном включении,

X Lэкв = X L1 + X L2 + 2 X M ;

Lэкв – эквивалентная индуктивность при согласном включении магнит- но-связанных элементов, Lэкв = L1 + L2 + 2M ;

163

164

При этом эквивалентная индуктивность Lэкв и эквивалентное сопротивление X Lэкв при встречном включении определяется как

При встречном включении индуктивно связанных катушек их суммарное сопротивление меньше, чем сумма сопротивлений этих катушек, не включенных по такой схеме.

Векторная диаграмма при встречном включении индуктивно связанных катушек дана на рис. 5.6.

При встречном включении может наблюдаться режим, при котором ток на одной из катушек опережает напряжение U&к . Это может иметь место в случае, если напряжение самоиндукции первой катушки U&L1 <U&M . При этом говорят, что в такой цепи наблюдается

емкостный эффект. В этом случае векторная диаграмма имеет вид, представленный на рис. 5.7.

Напряжение первой катушки U&к1 отстает от тока I&, т.е. на-

блюдается емкостный эффект. Однако следует отметить, что напряжение U& участка цепи с двумя индуктивно связанными последовательно включенными элементами всегда опережает ток, т.е. такая цепь носит индуктивный характер. Покажем это. Очевидно, что

0 < ( L1 − L2 )2 = L1 + L2 − 2 L1L2 .

165

Отсюда следует, что L1 + L2 > 2 L1L2 . Но из соотношения для коэффициента магнитной связи M < L1L2 , следовательно,

2M < L1 + L2 ,

а Lвстр = L1 + L2 − 2M > 0 и X встр > 0 . Из приведенных соотношений

следует справедливость утверждения: цепь с двумя последовательными индуктивно связанными элементами всегда носит индуктивный характер.

5.3.2.Экспериментальное определение полярности взаимной индуктивности индуктивно связанных элементов

Существует несколько способов определения этих параметров. Один из них представлен на рис. 5.8.

Если при проведении опытов окажется, что ток в первом опыте меньше, чем во втором, то первоначально катушки были включены согласно, т.к. Zсогл > Zвстр .

Для определения значения взаимной индуктивности необходимо найти разность согласного и встречного сопротивлений:

Zсогл − Zвстр = Z согл − Z встр =| R1 + jω(L1 + L2 + 2M ) −

−R1 − jω( L1 + L2 + 2M ) |= 4ωM ,

166

5.4.РАСЧЕТ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЦЕПЕЙ

СИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

На рис. 5.9 представлена схема с двумя параллельными ветвями R1 , L1 и R2 , L2 с взаимоиндуктивностью M. Определим токи

где Z M – сопротивление взаимной индукции, Z M = jX M ;

Z1 , Z 2 – сопротивления первой и второй катушек без учета взаимоиндукции, Z1 = R1 + jX L1 , Z 2 = R2 + jX L2 ;

Y 1экв, Y 2экв – проводимости первой и второй ветвей с учетом взаимоиндукции;

Y экв – проводимость всей схемы с учетом магнитных связей. При встречном включении

167

I& = Z1 + Z 2 + 2Z M E& .

Z1 Z 2 − Z 2M

Эквивалентное сопротивление схемы

где верхний знак соответствует согласному включению индуктивно связанных элементов. Из (5.15) следует, что при согласном включении эквивалентное сопротивление больше, чем при встречном включении. При параллельном так же, как и при последовательном соединении индуктивно связанных катушек, может на одной из них наблюдаться емкостный эффект. Однако на входе цепи двух параллельно включенных катушек с взаимоиндукцией ток I& отстает от напряжения, т.е. всегда цепьноситиндуктивныйхарактер.

5.5.РАСЧЕТ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЦЕПЕЙ

СИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

Расчет разветвленных цепей ведут с помощью метода уравнений Кирхгофа, метода контурных токов. Можно использовать и метод эквивалентного генератора, если исследуемая ветвь не охвачена магнитной связью. Метод узловых потенциалов не применим, т.к. токи в ветвях зависят не только от напряжений между узлами, к которым присоединены ветви, но и от токов других ветвей, с которыми они магнитно связаны.

Вкачестве примера запишем уравнения по законам Кирхгофа

ипо методу контурных токов для схемы на рис. 5.10.

Всхеме два узла и два независимых контура. С учетом этого составим одно уравнение по I закону Кирхгофа и два по II закону Кирхгофа, что даст возможность определить токи в трех ветвях этой схемы.

168

При записи уравнений по методу уравнений Кирхгофа и методу контурных токов можно также воспользоваться следующим правилом: если направление обхода контура по катушке k и направление тока I&m по индуктивно связанной катушке m относительно одноименных зажимов совпадают, то напряжение взаимоиндукции UM = X km Im записывается с положительным знаком.

5.6.ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ЗАМЕНА ИНДУКТИВНЫХ СВЯЗЕЙ

Внекоторых случаях анализ и расчет электрических цепей

свзаимоиндукцией можно упростить, если заменить в них часть схемы с индуктивными связями на эквивалентную, не содержащую их. Покажем этот прием, который называется развязкой индуктивных связей, на примере схемы рис. 5.11.

Всхеме на рис. 5.11 имеет место магнитная связь между элементами 1 и 2. Представим электрическую цепь на рис. 5.11, а в виде схемы рис. 5.11, б. Для этой схемы справедливо

Верхний знак соответствует случаю, когда одноименные зажимы подключены к одному узлу. Исключим в (5.18) из первого урав-

рис. 5.11, в, в которой магнитные связи заменены на сопротивления mZ M в ветвях 1 и 2 и ±Z M в дополнительной третьей ветви, под-

ключенной в эквивалентной схеме к месту соединения двух ранее индуктивно связанных элементов.

170