Тоэ учебник 1я часть
.pdf
При незначительных потерях в контуре токи IL и IC могут многократно превышать токи на входе схемы.
4.2.1.Частотные и резонансные характеристики
впараллельном LC-контуре
Вкачестве частотных характери-
стик в контуре на рис. 4.13 выступают |
|
|
I& |
|
||
зависимости |
BL (ω), B C (ω), |
B(ω) , значе- |
|
|
|
I&С |
ния которых при ω= 0, ω0 , |
∞ приведены |
|
& |
I& |
||
в табл. 4.3. |
|
|
U |
L |
XC |
|
|
|
|
|
|
XL |
|
Характер изменения зависимостей |
|
|
|
Рис. 4.13 |
||
BL (ω), B C (ω), B(ω) приведеннарис. 4.14. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 . 3 |
ω |
BL = 1 |
BC = ωC |
|
|
B = BL − BC |
|
|
ωL |
|
|
|
|
|
0 |
∞ |
|
0 |
|
|
∞ |
ω0 |
BL = B C |
B„ = B L |
|
|
0 |
|
∞ |
0 |
|
∞ |
|
|
∞ |
Учитывая, что IL =UBL ; IC =UBC ; I =UB , характер резонансных кривых IL (ω), I C (ω), I (ω) полностью совпадает с соответствующими частотными зависимостями. При ω= ω0 такой контур выполняет роль
151
фильтра-пробки, проводимость его, а следовательно, и ток I& общей ветви равны нулю, а сопротивление – бесконечности.
4.3. РЕЗОНАНСЫ В СЛОЖНЫХ ЦЕПЯХ
В сложных схемах, в которых |
|
L |
||
имеет место одновременно и последо- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вательное, и параллельное соединение |
|
|
|
L1 |
ветвей с индуктивностью и емкостью, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
может наблюдаться резонанс напряже- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния и токов. Покажем это на примере |
|
Рис. 4.15 |
||
схемы, приведенной на рис. 4.15. Входное сопротивление схемы
C
такой
|
|
jωL1 |
|
− |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
Z âõ |
= jωL + |
|
|
|
|
ωC |
= |
|||
|
ωL1 |
− |
1 |
|
|
|||||
|
|
j |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ωC |
|
||
|
ωL − |
|
ωL1 |
|
|
j |
|
|
. |
(4.15) |
|
2 |
|
||||
|
|
ω |
L1C −1 |
|
|
В этой схеме резонанс напряжений возможен при условии
ω L − |
|
ω0 L1 |
|
= 0 , при этом резонансная частота |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
ω2 L C −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = |
|
L1 + L |
. |
|
|
(4.16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
L1LC |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Входная проводимость этой схемы |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
ω2 L C −1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Y вх = |
|
|
= − j |
|
1 |
|
|
= − jBэкв . |
(4.17) |
||
|
|
|
|
Z |
вх |
ω3 L LC −ωL −ωL |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|||
При резонансе токов эквивалентная реактивная проводимость Вэкв = 0. При этом резонансная частота
ω′ |
= |
1 |
. |
(4.18) |
|
||||
0 |
|
L1C |
|
|
|
|
|
||
152
Численные значения частот в режиме резонанса токов и напряжений различны для одной и той же схемы.
Таким образом, цепь с несколькими RLC-контурами, которые могут быть соединены произвольно, может давать несколько резонансов токов и напряжений. Анализ осуществляется путем расчета Z вх цепи. Рассматривается Im(Z вх ) , которая представляет собой
дробь. Известно, что условие резонанса напряжений X экв = 0 , т.е. Im(Z вх ) = 0 . Следовательно, равенство нулю числителя Im(Z вх ) дает
резонансную частоту для резонанса напряжений. Условие резонанса токов формулируется: Bэкв = 0 или Im(Y вх ) = 0 , т.е. Im(Z вх ) =∞ . Следовательно, равенство нулю знаменателя Im(Z вх ) дает резонансную частоту для резонанса токов. Таким образом, задача сводится к определению нулей и полюсов Im (Z вх (ω)) .
4.4. ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ
Типовые задачи
Задача 1.
Дано: для схемы (рис. 4.16) известны следующие параметры:
X L1 = X L4 = X C2 = X C3 = 50 Ом;
R1 = R2 = 50 Ом; U& =100 В.
Найти: ток в ветви с индуктивностью (IL). Построить топографическую диаграмму напряжений.
153
Решение
1. В идеальном параллельном контуре, состоящем из двух правых крайних ветвей, имеет место резонанс токов (п. 4.2). При этом его входное сопротивление равно бесконечности и левый крайний контур (все его элементы) обтекается одним и тем же током I. В этом контуре, в свою очередь, имеет место резонанс напряжений (п. 4.1), входное сопротивление цепи – чисто активное:
Z вх = R1 + jX L1 + R2 − jX C2 = R1 + R2 =100 Ом.
2. Ток в неразветвленной входной цепи
& |
= |
U& |
= |
100 |
=1 |
А. |
||
I |
|
|
|
|||||
Z вх |
100 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
3. Напряжение в параллельном соединении
U& |
= (R |
− jX |
С2 |
)I& = (50 − j50) 1 = 50 − j50 В. |
|||
ce |
2 |
|
|
|
|
|
|
4. Ток в ветви с индуктивностью |
|||||||
|
I&L |
= |
U&се |
= |
50 − j50 |
= −1 − j1 А. |
|
|
jX L |
|
|||||
|
|
|
|
j50 |
|||
Действующее значение тока
IL = (−1)2 + (−1)2 =1, 41 А.
5. Топографическая диаграмма напряжений, совмещенная с векторной диаграммой токов, представлена на рис. 4.17. Токи IL и IC, будучи равными по величине и противоположными по направлению, компенсируют друг друга. Цифры указывают очередность построения векторов.
Задача 2.
Дано: для схемы (рис 4.18) U = 100 В; R1 = 10 Ом; X C2 = 5 Ом; X L3 = 50 Ом.
154
|
R1 |
I& |
R2 |
U& |
|
|
X C2 |
|
Рис. 4.18 |
|
a |
X L |
U& |
3 |
|
R1 |
L |
c |
|
|
b |
|
|
I&1 |
|
|
I&3 |
R2 |
I&2 |
|
|
|
C |
||
|
|
d
Рис. 4.19
Найти:
1)при каком значении сопротивления R2 в цепи наступит ре-
зонанс;
2)входной ток I этого режима.
Решение
1.Значение сопротивления R2 найдем из условия резонанса
впараллельном соединении:
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
R + jX |
C2 |
|
|
R |
+ jX |
С2 |
|
||||||||||||
Y 2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
|
|
= |
|||||||||
R |
|
− jX |
|
R + jX |
|
|
|
|
R2 |
+ X |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
С2 |
C2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
С2 |
|
|||||||||||
= |
|
|
|
R |
|
+ j |
|
|
|
X |
С |
2 |
|
|
= G |
|
+ jB ; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
R2 |
+ X 2 |
R2 |
+ X 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
С2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
С2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y 3 |
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
= − j |
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
jX L |
|
|
X L |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
B = B + B = |
|
|
X С2 |
|
− |
1 |
= |
|
|
5 |
|
|
|
− |
1 |
= 0 |
; R =15 Ом; |
|||||||||||||
R2 |
+ X 2 |
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
23 2 3 |
|
|
|
|
|
X |
L3 |
|
|
|
+ 25 50 |
|
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
С2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Эквивалентная активная проводимость параллельного соединения второй и третьей ветвей:
G |
|
= G +G = |
|
R2 |
|
+ 0 |
= |
15 |
= 0, 06 Ом–1; |
|
R2 |
+ |
X 2 |
|
|||||
|
23 |
2 3 |
|
152 +52 |
|
||||
|
|
|
2 |
|
C |
|
|
|
|
155
3. Эквивалентное сопротивление параллельного соединения второй и третьей ветвей
R23 |
= |
1 |
= |
1 |
=16, 67 Ом; |
|
0, 06 |
||||
|
|
G23 |
|
||
4. Входное сопротивление цепи
Z вх = R1 + R23 =10 +16, 67 = 26, 67 Ом;
5. Входной ток цепи
& |
= |
U& |
= |
100 |
= 3, 75 |
А. |
|
I |
|
|
|||||
Z вх |
26, 67 |
||||||
|
|
|
|
|
Задача 3.
Дано: для схемы (рис. 4.19) заданы параметры
R1 = 20 Ом; R2 = 500 Ом; L = 0,2 Гн; С = 4 мкФ.
Найти:
1)резонансную частоту и входное сопротивление цепи;
2)качественно построить топографическую диаграмму напряжений, совмещенную с векторной диаграммой токов.
Решение
1. Условием резонанса в разветвленной цепи является равенство нулю мнимой части входного сопротивления цепи:
Im(Z вх ) = 0 .
2. Входное сопротивление
|
|
|
|
− j |
1 |
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
R2 |
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
jR2 |
|
|
|
|||||||
|
|
ωC |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Z |
вх |
= R + jωL + |
|
|
|
= R + jωL + |
|
|
ωC |
|
− |
|
2 ωC |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
− j |
1 |
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
2 |
1 |
2 |
|
|||||||||
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
ωC |
|
|
R2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
R2 |
+ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
||||||||
Выделяем мнимую часть и приравниваем ее к нулю:
156
|
|
R2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
||
ωL − |
|
2 |
|
|
= 0 . |
||
|
|
1 |
|
2 |
|||
2 |
|
|
|||||
|
R2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ωC |
|
||
Решение этого уравнения относительно частоты дает
|
|
ω0 = |
R2C − L |
= |
5002 4 10−6 −0, 2 |
=1000 с |
-1 |
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
R2C 2 L |
5002 (4 10−6 )2 0, 2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Входное сопротивление цепи при резонансе |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
500 250 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Z |
вх |
= R + |
|
ωC |
|
|
= 20 + |
|
= |
20 +100 =120 Ом. |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
5002 + 2502 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
R2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. При качественном построе- |
|
+j |
|
|
|||
нии топографической |
диаграммы |
|
R1I&1 |
a |
|||
длины векторов напряжений и токов |
|
|
|||||
|
|
|
U& |
||||
выбирают произвольными, а направ- |
|
|
|
||||
|
I&3 |
I&1 |
jX L I&1 |
||||
ления – в зависимости от характера |
|
||||||
сопротивлений на соответствующих |
|
d |
I&2 |
c +1 |
|||
участках цепи. Построение удобно |
|
||||||
|
|
||||||
начинать с наиболее отдаленных от |
|
|
Рис. 4.20 |
|
|||
источникапитанияветвей(рис. 4.20). |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
Последовательность построения: |
|
|
|
|
|||
U& |
→ I& |
→ I& |
→ I& → jX |
I& |
→ R I& |
→U&. |
|
cd |
2 |
3 |
1 |
L 1 |
1 1 |
|
|
Вектор падения напряжения на индуктивности jX L I& |
направ- |
||||||
лен под углом 90° в сторону опережения тока I1, а его длина выбрана так, чтобы входные напряжения и ток совпадали по направлению (цепь работает в режиме резонанса). Вектор напряжения R1I&1 совпадает по фазе с током I1.
157
Вопросы и упражнения для самоконтроля
1.Как связаны добротность и полоса пропускания?
2.Справедливо ли утверждение: а) для любой электрической цепи, содержащей R, L, C элементы, резонансная частота определяется
по формуле ω0 |
= |
1 |
; б) для любой электрической цепи условие ре- |
|
|||
|
|
LC |
|
зонанса напряжений Xэкв = 0; в) для электрической цепи, содержащей L и C элементы, условием резонанса токов является равенство нулю входного сопротивления соответствующей пассивной цепи?
3. Какое реактивное сопротивление следует подключить последовательно к параллельному участку (рис 4.21), чтобы входное напряжение получившейся цепи совпало по фазе с входным током, если из-
вестно, что Rк = 100 Ом, Lк = 0,2 Гн, С = 10 мкФ, ω = 1000 рад/с.
4. В цепи (рис 4.22) наблюдается резонанс токов. Чему равно показание вольтметра, если R1 = R2 и напряжение на входе
uвх (t) =100 2 sin ωt .
5.В цепи (рис. 4.23) наблюдается резонанс напряжений. Определить действующее значение входного напряжения и параметры
пассивных элементов XL, XC, если известна величина входной активной мощности цепи Р = 432 Вт, а показания вольтметра и амперметра соответственно равны UV = 60 В, IA = 12 А.
6.Цепь построена в резонанс (рис. 4.24). Известно, что XC = 40 Ом,
апоказания амперметров соответственно I A1 =10 А и I A2 = 5 А. Опре-
делить значения параметров пассивных элементов цепи XL и R.
158
R |
|
V4 |
|
|
|
R |
L |
C |
|
|
|
|||
|
R |
R |
|
|
& |
XL |
V1 |
V2 |
V3 |
U вх |
XC |
|
|
|
A1 |
A2 |
V5 |
||
|
|
|||
Рис. 4.24 |
|
V6 |
|
|
|
Рис. 4.25 |
|
||
|
|
|
|
|
7. Цепь (рис. 4.25) настроена в резонанс. Известны показания |
||||
вольтметров |
UV1 = UV6 = 60 В; UV2 = 80 В. Определить |
показания |
||
вольтметров V3, V4, V5.
8. Цепь настроена в резонанс (рис. 4.26). Определить показание амперметра A0, если R2 = XC, а показания амперметров I A1 = 4 А ,
I A2 = 1 А .
9. Для цепи (рис. 4.27), настроенной в резонанс, определить показание амперметра, если U& = 100e j 45° В, L = 0,1 Гн, С = 10 мкФ,
R1 = 10 Ом, R2 = 40 Ом.
R
|
A1 |
|
|
|
|
A2 |
R2 |
L |
C |
E& |
XL |
|
U& |
A |
|
R1 |
XC |
R1 |
R2 |
|
A0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.26 |
|
Рис. 4.27 |
|
159
5.ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С ВЗАИМОИНДУКЦИЕЙ
5.1.НАПРЯЖЕНИЕ НА ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫХ ЭЛЕМЕНТАХ ЦЕПИ
Явление наведения ЭДС в одном элементе цепи при изменении тока в другом называют взаимоиндукцией. Про такие элементы гово-
рят, что они индуктивно (или магнитно) связаны. |
|
||||
|
|
|
Пусть имеются две катушки |
||
Ф1 |
Ф1S |
Ф2S |
(рис. 5.1), по которым протекают |
||
Ф21 |
|
токи i1 |
и i2 . В первой катушке W1 |
||
|
|
витков, во второй – W2 . При этом |
|||
|
|
|
|||
|
Ф2 |
|
эти катушки будут магнитно свя- |
||
i1 |
i2 |
|
заны |
так, как |
это показано |
|
|
|
на рис. 5.1. Здесь обозначено: |
||
Ф12 |
|
|
Ф11 – магнитный поток, соз- |
||
|
Рис. 5.1 |
|
данный током i1 |
(поток самоин- |
|
|
|
|
|
|
|
дукциипервойкатушки);
Ф1S – часть магнитного потока Ф11, связанная только с первой катушкой;
Ф22 – магнитный поток, созданный током i2 (поток самоиндук-
ции второй катушки);
Ф2S – часть магнитного потока Ф22, связанная только со второй катушкой;
Ф12 – поток взаимоиндукции – часть потока Ф22, которая связана с первой катушкой;
Ф21 – поток взаимоиндукции – часть потока Ф11, которая связана со второй катушкой.
Первую катушку пронизывает магнитный поток Ф1 = Ф11 + Ф12 ,
вторую катушку – Ф2 = Ф22 + Ф21 .
Потокосцепления первой и второй катушек соответственно
160