- •Министерство образования и науки рф Пермский государственный технический университет
- •Теория автоматического управления
- •Часть 1
- •Содержание
- •1. Основные понятия и определения теории автоматического управления.
- •1.1. Историческая справка
- •1.2. Взаимосвязь тау с другими техническими науками
- •1.3. Основные понятия и определения тау
- •Тау – теория автоматического управления.
- •2. Математическое описание систем автоматического управления.
- •2.1. Основные характеристики объекта управления.
- •Примеры объектов управления
- •2.2. Типовая функциональная схема системы автоматического управления.
- •2.3. Классификация систем автоматического управления.
- •2.3.1. Классификация по характеру динамических процессов в системе
- •1. Непрерывность.
- •2. Линейность.
- •2.3.2. Классификация по характеристикам управления
- •1. По принципу управления.
- •2. По управляющему воздействию (задающее воздействие).
- •3. Свойства в установившемся режиме.
- •2.3.3. Классификация сау по другим признакам
- •2.4. Основные (типовые) управляющие воздействия сау
- •Ступенчатому воздействию соответствует функция
- •2.5. Временные характеристики сау
- •2.6. Частотные динамические характеристики
- •2.7. Типовые динамические звенья
- •2.7.1. Безынерционное звено
- •2.7.2 Апериодическое звено
- •Шаблон поправки
- •Порядок построения лачх апериодического звена
- •Примеры апериодических звеньев
- •2.7.3. Колебательное звено
- •2.7.4. Идеальное интегрирующее звено
- •2.7.5. Реальное интегрирующее звено
- •2.7.5. Изодромное интегрирующее звено
- •2.7.6. Идеальное дифференцирующее звено
- •2.7.7. Реальное дифференцирующее звено
- •2.7.8. Звено чистого запаздывания
- •2.8. Структурные схемы сау
- •Типовые элементы структурных схем сау
- •2.8.1. Многоконтурные структурные схемы
- •2.8.2. Правила структурных преобразований
- •2.8.3. Изображение структурных схем в виде графов
- •3. Устойчивость систем автоматического управления,
- •3.1. Понятие устойчивости по Ляпунову.
- •3.2. Алгебраические критерии устойчивости.
- •3.2.1. Критерий Гурвица Автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением
- •3.2.2. Критерий Рауса
- •3.3. Частотные критерии устойчивости
- •3.3.1. Принцип аргумента
- •3.3.2. Критерий Михайлова Рассмотрим характеристическое уравнение системы
- •Алгоритм применения критерия Михайлова.
- •Формулировка критерия Михайлова.
- •3.3.3 Критерий Найквиста
- •Алгоритм использования критерия Найквиста
- •3 .4. Сравнительный анализ критериев устойчивости
- •3.5. Запас устойчивости Запас устойчивости по алгебраическому критерию Гурвица
- •Запас устойчивости при частотных критериях устойчивости
- •3.5.1. Устойчивость систем со звеном чистого запаздывания
- •3.6. Структурно устойчивые и структурно неустойчивые системы
- •3.7. Влияние параметров на устойчивость системы. D-разбиение по одному параметру
- •4. Анализ качества сау.
- •4.1. Основные показатели качества сау
- •4.2. Прямые методы оценки качества
- •4.2.3.2. Определение показателей качества по типовым характеристикам
- •4.2.4. Моделирование с использованием вычислительных средств
- •4.3. Косвенные методы оценки качества сау.
- •4.3.1. Частотный косвенный метод оценки качества.
- •4.3.1.1. Построение вещественной частотной характеристики с использованием лачх разомкнутой системы и номограммы.
- •Алгоритм построения вчх по номограмме
- •4.3.2. Корневые методы оценки показателей качества
- •4.3.2.1. Влияние полюсов передаточной функции на качество переходных процессов
- •4.3.2.2. Связь степени устойчивости с быстродействием системы
- •4.3.3.3 Связь колебательности с перерегулированием
- •Смещенные уравнения
- •4.3.4. Влияние нулей передаточной функции на качество переходного процесса
- •4.3.5. Диаграмма Вышнеградского
- •4.4. Интегральный метод оценки показателей качества
- •4.4.1. Линейная интегральная оценка
- •4.4.1.1. Метод Кулебакина
- •4.4.2. Апериодическая интегральная оценка
- •5. Синтез линейных сау.
- •5.1. Особенности синтеза
- •5.2. Этапы синтеза сау
- •5.2.1. Желаемая лачх
- •5.2.1.1. Построение желаемой лачх
- •5.3. Синтез последовательных корректирующих устройств
- •5.4.4. Охват апериодического звена гибкой положительной обратной связью (гжос)
- •5.5. Статические и астатические системы автоматического управления.
- •5.5.1. Передаточная функция типовой одноконтурной системы
- •5.5.2. Ошибки статических и астатических систем при типовых задающих воздействиях
- •5.5.3. Ошибка при возмущающем воздействии, не равном нулю
- •5.6. Чувствительность параметров
- •5 .7. Типовые законы регулирования линейных систем
- •Литература
4.3.3.3 Связь колебательности с перерегулированием
Введем понятие логарифмического декремента затухания
.
Логарифмический декремент затухания показывает, сколько колебаний происходит в период изменения амплитуды колебаний в е раз.
Смещенные уравнения
Характеристическое уравнение замкнутой системы:
.
Сместим мнимую ось влево на величину , что математически означает введение новой переменной, тогда характеристическое уравнение примет вид:
Здесь Bi =f(bi, ).
Это означает, что на границе устойчивости будет либо один корень, либо два сопряженных комплексных корня. Если это будет действительный корень, то Вп=0, если это комплексные корни, то предпоследний определитель Гурвица равен нулю.
Т.о. введение смещенного уравнения (1) и использование алгебраического критерия Гурвица позволяет определить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения. Корневые методы, в отличие от частотных методов, определяют область, отвечающую заданным показателям качества.
4.3.4. Влияние нулей передаточной функции на качество переходного процесса
Корни знаменателя называются корнями характеристического уравнения или полюсами передаточной функции. Корни числителя называются нулями передаточной функции. Чтобы исследовать САУ на устойчивость и на качество управления необходимо определить нули и полюса передаточной функции. Перед исследованием нужно проверить: . Если, то их нужно сократить, и они не будут влиять ни на качество, ни на устойчивость.
Рассмотрим частный случай, когда передаточная функция системы имеет вид:
,
где - ноль передаточной функции.
- переходный процесс y(t) состоит из двух составляющих, при этом:
Графически это означает, что:
Если просуммировать y1(t) и y2(t), то получим верхний график y(t).
Т .о. нули передаточной функции не увеличивают время переходного процесса, а вносят колебательность в переходный процесс. Нули передаточной функции не влияют на устойчивость системы, поэтому при синтезе линейных САУ, отвечающих максимальному быстродействию, можно не рассматривать нули передаточной функции.
Рассмотрим случай, когда ноль передаточной функции совпадает с полюсом.
Будем считать, что , это означает следующее:
Если i была величина положительная и единственная, то полюс pi скомпенсировал данный корень и САУ будет устойчивой. Т.о., компенсация нулей передаточной функции и полюсов передаточной функции может быть использована в построении корректирующих устройств САУ.
С точки зрения переходного процесса, наилучшей считается САУ, у которой все корни характеристического уравнения приблизительно равны , гдеi=1,2,3…n. Перерегулирование при этом составляет .-min из всех возможных.
4.3.5. Диаграмма Вышнеградского
Влияние распределения корней на характер переходного процесса и на устойчивость хорошо иллюстрирует диаграмма, построенная И.А. Вышнеградским для нормированного характеристического уравнения третьего порядка
.
О бласть устойчивости в плоскости параметровА1 и А2 состоит из трех областей, соответствующих различному распределению корней. Область I, ограниченная линией abc, соответствует трем действительным (и не равным друг другу) корням и апериодическому переходному процессу. Область II, ограниченная линией abd, соответствует паре комплексных корней и одному действительному корню, причем действительный корень ближе к мнимой оси, чем комплексные. Переходный процесс в этом случае монотонный. В области III, заключенной между границей устойчивости и линией abc, также пара комплексных корней и один действительный, но к мнимой оси ближе расположены комплексные корни. Переходный процесс колебательный.
На диаграмме показано также распределение корней для разграничительных линий. В точке b, в которой А1=А2=3, все три корня действительные и равные друг другу.
Частотные методы базируются на прямом и обратном преобразовании Фурье.
Если f(t) – функция периодическая, то для нее применимо:
Будем рассматривать:
Y(t)=h(t); x(t)=1(t)
, - вещественная характеристика.