Примеры решения задач

1.1.1. Подбор сечения стержня, подверженного

растяжению-сжатию (задача № 1)

Условие задачи

Стержень переменного сечения с заданным отношением площадей подвержен действию нагрузок, показанных на рис. 1.3,а. Цель расчета – подобрать площади поперечного сечения стержня так, чтобы на каждом участке соблюдалось условие прочности (1.5) или (1.7). (При этом должно выполняться заданное отношение площадей.)

Решение

Определяем продольную силу и строим эпюру распределения Nвдоль оси стержня. Для этого сначала из уравнения равновесия всего стержня находим опорную реакцию:

.

Рис. 1.3. К решению задачи № 1:

а – схема нагрузки на стержень;

б, в – эпюры продольной силы и напряжений

Затем, используя метод сечений, определяем продольную силу в произвольном сечении на каждом участке стержня:

на первом участке ) ;

на втором участке ;

на третьем участке .

Поясним, что на первом и втором участках суммируем все силы, находящиеся слева от рассматриваемого сечения, на третьем участке в выражение для продольной силы входят силы, расположенные справа от сечения.

Ищем значения N на границах участков. На первом участке продольная сила постоянна и не зависит отx. В начале второго участка

,

в конце второго участка

.

Аналогично для третьего участка

, .

По полученным точкам строим эпюру N. На рис. 1.3,бэпюраN построена для следующих исходных данных:м,м;F₁= 10 кН,F₂= 40 кН,q₁ = 15 кН/м,q₂ = 20 кН/м.

Зная продольную силу, по формуле (1.1) находим напряжения в стержне и строим эпюру распределения напряжений по длине стержня (рис. 1.3, в). Для этого площади сечений на всех участках выразим, используя заданное отношение площадей, через одну неизвестную величину. Заметим, что на эпюре продольных сил скачки (т. е. резкие изменения усилий при переходе в соседнее сечение) имеют место под сосредоточенными силами на величину этих сил, на эпюре напряжений скачки появляются также и в местах изменения поперечного сечения.

Для подбора сечения стержня по эпюре напряжений выбираем опасные сечения с максимальными напряжениями. Причем для хрупких материалов важным является не только абсолютное значение напряжения, но и его знак. Более опасным является растягивающее напряжение, так как разрушающее напряжение при растяжении у хрупкого материала много меньше прочности при сжатии. Например, на эпюре , показанной на рис. 1.3,в, опасным является не только сечение в начале третьего участка, где действуют максимальные сжимающие напряжения, но и сечение в конце третьего участкас максимальными растягивающими напряжениями. Таким образом, для стержня, показанного на рис. 1.3, должны выполняться условия прочности в трех опасных сечениях:

для чугунной части

, откуда,

и;

для стальной части

, тогда.

Из трех значений A₁, найденных из условий прочности в опасных сечениях выбираем то, которое удовлетворяетвсемусловиям (то есть максимальное их всех найденных значение. ВеличинуА₂находим по заданному соотношению:.

Для проверки вычислений находим действительные коэффициенты запаса прочности на каждом участке по формуле (1.8) и сравниваем их с нормируемым коэффициентом запаса. На самом опасном участке (в опасном сечении) действительный коэффициент запаса прочности должен равняться нормируемому, а на остальных участках согласно (1.7) должен быть больше нормируемого.