- •Н. Б. Левченко
- •Общие указания по выполнению расчетно-графических работ
- •Используемые обозначения
- •4. Изгиб Основные понятия и формулы
- •4.1. Расчет статически определимых балок
- •Пример 1 Условие задачи
- •Пример 2 Условие задачи
- •Решение
- •4.1.2. Проверка прочности балок при плоском поперечном изгибе (задачи № 16–19)
- •Пример 1
- •Условие задачи
- •Решение
- •Пример 2 Условие задачи
- •Решение
- •Пример 3 Условие задачи
- •Решение
- •4.1.3. Определение перемещений и проверка жесткости балок (задачи № 19, 20)
- •Основные определения
- •Аналитический способ определения перемещений
- •Метод Максвелла – Мора определения перемещений
- •Примеры решения задач
- •Пример 2 Условие задачи
- •Решение
- •Определение перемещений в балке методом Максвелла – Мора Пример 1 Условие задачи
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •4.2. Расчет статически определимых рам
- •Основные определения
- •Примеры решения задач
- •4.2.2. Определение перемещений в рамах (задачи № 21, 22) Условие задачи
- •Решение
- •4.3. Расчет статически неопределимых балок и рам
- •Основные определения
- •Примеры решения задач
- •4.4. Расчет плоского трубопровода на температурное воздействие и внутреннее давление
- •Основные определения
- •Пример расчета трубопровода (задача № 26) Условие задачи
- •Решение
- •4.5. Определение напряжений и деформаций в криволинейном стержне
- •Основные определения
- •Пример расчета криволинейного стержня (задача № 27)
- •Сопротивление материалов
- •Часть 2
Пример расчета криволинейного стержня (задача № 27)
Условие задачи
Рис. 4.51. Схема стержня с нагрузками
Решение
Рис. 4.52. Определение внутренних усилий
участок 1: ;
;
кН;
;
участок 2: ;
;
;
;
участок 3: ;
;
;
.
По этим выражениям строим эпюры N, Q и М. В криволинейной части стержня считаем величины усилий, задавая значения (или) через определенные промежутки (например, через 30°). Внесем результаты вычислений в таблицу (табл. 3).
Отложим значения усилий в криволинейной части стержня в радиальном направлении, соединим ординаты плавными кривыми и получим эпюры N, Q и М (рис. 4.53). Эпюры штрихуем в радиальном направлении. Заметим, что так же, как и в прямолинейных стержнях, в сечении, где Q = 0, на эпюре М имеет место экстремум. Найдем экстремальное значение момента:
,
отсюда .
кНм.
В сечении действует так же продольная силаN = – 44,7 кН.
Построим эпюру нормальных напряжений, определив значения напряжений в трех точках (a, b, c на рис. 4.54) опасного сечения по формуле (4.39), добавив в нее напряжения от продольной силы. Так как рассматриваемый криволинейный стержень является стержнем средней кривизны (R/c = R.2/h = 4/0,8 = 5), то допустимо искать величину по приближенной формуле (4.40)
м4;
Рис. 4.53. Эпюры внутренних усилий
м2;
м. 16
В точке a координата м и напряжение в этой точке
= (– 140 + 1027)10–4 = 0,0887 кН/см2.
Аналогично в точке b м и
= – 0,149 кН/см2.
Наконец, в точке с, находящейся в центре тяжести сечения, напряжение
кН/см2.
Эпюра напряжений построена на рис. 4.54.
Найдем напряжения в точках а и b по формуле для прямолинейных стержней
и сравним их с напряжениями, вычисленными по формуле для криволинейных стержней.
м3;
кН/м2 = 0,102 кН/см2;
кН/м2 = – 0,130 кН/см2.
Разница между напряжениями, вычисленными по разным формулам, составляет около 15 %. Напомним, что в рассматриваемом стержне отношение . Разница между напряжениями, вычисленными по разным формулам, уменьшается с увеличением отношения. Для стержней малой кривизны () можно вычислять по теории прямолинейных стержней.
Найдем теперь горизонтальное перемещение левой опоры. Для этого приложим в точке А горизонтальную единичную силу (рис. 4.55), найдем опорные реакции и запишем выражения для продольной силы и изгибающего момента, вызванных этой единичной силой, на каждом участке:
участок 1: ;
; ;
участок 2: ;
; ;
участок 3: ;
; .
Рис. 4.55. Стержень под действием
единичной силы, соответствующей
горизонтальному перемещению точки А
.
Используя известные значения определенных интегралов
; ;;;,
найдем
.
Как легко выяснить, числитель первого слагаемого измеряется в кНм, а числитель второго – в кНм3. Найдем жесткости стержня при растяжении и изгибе:
кН;
кНсм2
и сосчитаем горизонтальное перемещение точки А:
= 10–4(0,98 + 73,66) =
= 74,610-4см.
Первое слагаемое в сумме показывает вклад продольной силы в перемещение. Видно, что он незначителен.
В заключение найдем горизонтальное перемещение точки Апо формуле для криволинейных стержней (4.41). Сосчитаем значение третьего интеграла в (4.41):
= – 251,2 кНм2.
Таким образом, по формуле для криволинейных стержней
см.
Полученный результат показывает, что влияние кривизны стержня на перемещение меньше 3 % и значительно меньше, чем влияние на напряжения. Поэтому для стержней малой и средней кривизны при определении перемещений можно использовать формулу Максвелла – Мора, относящуюся к прямолинейным стержням и учитывающую влияние на перемещения только изгибающего момента.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основная
Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995.
Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977.
Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989.
Сопротивление материалов: Метод. указания и схемы заданий к расчетно-графическим работам для студентов всех специальностей / СПбГАСУ; Сост: И. А. Куприянов, Н. Б. Левченко, Г.С. Шульман. СПб., 2010.
Сопротивление материалов: Учебное пособие по выполнению расчетно-графических работ. Ч. 1. / Н. Б. Левченко, Л. М. Каган-Розенцвейг, И. А. Куприянов, О. Б. Халецкая. СПбГАСУ; СПб., 2011.
Дополнительная
Камерштейн А. Г., Рождественский В. В., Ручинский М. Н. Расчет трубопроводов на прочность: Справочная книга. М.: Недра, 1969.
Беляев Н. М. Сопротивление материалов. М., 1976.
СОДЕРЖАНИЕ
Общие указания по выполнению расчетно-графических работ.......................
Используемые обозначения........................................................................................
4. ИЗГИБ....................................................................................................................
4.1. Расчет статически определимых балок.....................................................
Примеры решения задач.......................................................................................
4.1.1. Определение внутренних усилий в балках (задачи № 12–15)..............
Пример 1............................................................................................................
Пример 2............................................................................................................
4.1.2. Проверка прочности балок при плоском поперечном изгибе (задачи № 16–19).......................................................................................................
Пример 1...........................................................................................................
Пример 2. .........................................................................................................
Пример 3...........................................................................................................
4.1.3. Определение перемещений и проверка жесткости балок (задачи № 19, 20)........................................................................................................
Примеры решения задач
Определение перемещений в балках аналитическим способом....................
Определение перемещений в балках методом Максвелла – Мора................
4.2. Расчет статически определимых рам........................................................
Примеры решения задач...................................................................................
4.2.1. Определение внутренних усилий в рамах (задачи № 21, 22)...............
4.2.2. Определение перемещений в рамах (задачи № 21, 22).........................
4.3. Расчет статически неопределимых балок и рам......................................
Примеры решения задач...................................................................................
4.3.1. Расчет статически неопределимой балки (задача № 23).......................
4.3.2. Расчет статически неопределимой рамы (задача № 24).......................
4.4. Расчет плоского трубопровода на температурное воздействие и внутреннее давление.........................................................................................................
Пример расчета трубопровода (задача № 26)......................................................
4.5. Определение напряжений и деформаций в криволинейном стержне...
Пример расчета криволинейного стержня (задача № 27)...................................
Список литературы.....................................................................................................
Нина Борисовна Левченко