- •Н. Б. Левченко
- •Общие указания по выполнению расчетно-графических работ
- •Используемые обозначения
- •5. Сложное сопротивление
- •Основные понятия и формулы
- •5.1. Расчет балки, подверженной косому или пространственному изгибу
- •5.2. Внецентренное растяжение-сжатие стержней большой жесткости
- •6, 7 – Внутренние угловые
- •5.2.2. Определение грузоподъемности жесткого стержня моносимметричного сечения при внецентренном растяжении-сжатии (задача № 29)
- •5.2.3. Определение грузоподъемности внецентренно сжатых жестких стержней несимметричных сечений (задачи № 30, 31)
- •5.3. Общий случай сложного сопротивления Основные определения
- •Примеры решения задач
- •5.3.1. Расчет стержня в общем случае сложного сопротивления (задача № 32) Условие задачи
- •5.3.2. Расчет коленчатого вала на изгиб с кручением (задача № 33)
- •Основные определения
- •Пример расчета коленчатого вала
- •6. Устойчивость
- •Основные понятия и формулы
- •Примеры решения задач
- •6.1. Определение грузоподъемности центрально-сжатого стержня (задача № 34)
- •6.2. Подбор сечения центрально-сжатого стержня (задача № 35)
- •6.3. Расчет гибкого сжато-изогнутого стержня (задача № 36)
- •7. Расчет на динамическую нагрузку
- •7.1. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы (задача № 37)
- •Основные определения
- •Пример расчета системы с одной степенью свободы Условие задачи21
- •Решение
- •7.2. Расчет рамы (балки) на ударную нагрузку (задача № 38) Основные определения
- •Условие задачи
- •Решение
- •Список литературы
- •Содержание
- •Сопротивление материалов
- •Часть 3
5.3. Общий случай сложного сопротивления Основные определения
В общем случае сложного сопротивления в стержне возникают все шесть видов внутренних усилий одновременно. Эти шесть усилий определяем, как обычно, методом сечений и строим эпюры усилий. При определении внутренних усилий используем правила знаков, описанные во вступительной части разд. 5 и поясняемые рис. 5.1. После определения внутренних усилий находим опасные сечения, а в опасных сечениях – опасные точки. Рассмотрим подробно, где расположены опасные точки в двух наиболее часто используемых сечениях: круглом и прямоугольном10. Выпишем формулы, необходимые для проверки прочности в этих точках.
Рис. 5.25. Изображение
пар сил Мy
и Мz
в виде
векторов
для хрупких материалов – теория Мора
(5.30)
где ;
Рис. 5.26. Эпюры
распределения
напряжений в
стержне круглого сечения
для пластичных материалов – третья теория прочности
. (5.31)
В формулах (5.30), (5.31) и– напряжения в опасных точках.
В точках 1, 1 круглого сечения эти напряжения определяются так:
; (5.32)
; (5.33)
; (5.34)
, (5.35)
где ;;;. Поясним выбор знака в формуле (5.32). В рассматриваемой задаче в точке 1 складываются растягивающие напряжения от изгиба и продольной силы, в точке 1’ от растягивающих напряжений, вызанныхN, вычитаются сжимающие напряжения от Ми.
При подборе сечения обычно пренебрегают влиянием продольной силы. В этом случае условия прочности (5.30) и (5.31) для круглого сечения с учетом формул (5.34) и (5.35) можно преобразовать. Теория Мора приобретает такой вид:
, (5.36)
а третья теория прочности приводится к следующему условию:
, (5.37)
где . Из условий прочности (5.36), (5.37) можно найти необходимый момент сопротивления, а далее радиус поперечного сечения. Чтобы учесть продольную силу, немного увеличивают полученное значение радиуса (как правило, достаточно округления в большую сторону), находят напряжения по формулам (5.33)–(5.35) и проверяют прочность с учетомпо условиям (5.30) или (5.31).
Рис. 5.27. Эпюры
распределения напряжений
в стержне
прямоугольного сечения
точки 1, 1 с максимальными нормальными напряжениями (для хрупких материалов важна не только величина напряжения, но и его знак). Напряжения в них
; (5.38)
Согласно рис. 5.27 в точке 1 складываются растягивающие напряжения от всех усилий (Мy, Mz и N). В точке 1 от сжимающих напряжений, вызванных изгибающими моментами, вычитаются растягивающие напряжения от продольной силы.
точки 2, 2 – в них действуют нормальные напряжения от , максимальные нормальные напряжения оти максимальные касательные напряжения, вызванные крутящим моментом и поперечной силой:
, (5.39)
; (5.40)
точки 3, 3 с нормальными напряжениями от , максимальными нормальными напряжениями оти, кроме того, в этих точках действуют касательные напряжения от кручения и максимальные касательные напряжения, вызванные поперечной силой:
, (5.41)
. (5.42)
В зависимости от величин и знаков внутренних усилий необходимо выбрать самые опасные точки и проверить в них прочность. Знаки "плюс" или "минус" в формулах (5.38)–(5.42) выбираются в зависимости от направления напряжений в рассматриваемой точке. При этом в точках 2, 2 или 3, 3 хотя бы для одного напряжения (или) направления должны совпадать.
В точке 1, где нормальные напряжения от ,иимеют одинаковый знак, условие прочности записывается так:
, (5.43)
так как эта точка находится в линейном напряженном состоянии. Для хрупких материалов в правой части неравенства стоит илив зависимости от направления напряжения. Точки 2 (2) и 3 (3) находятся в "балочном" напряженном состоянии и условие прочности в них записывается по формулам (5.30) или (5.31) в зависимости от материала. Для хрупких материалов наиболее опасными являются точки, в которых действуют растягивающие напряжения, для пластичных материалов это точки с максимальными по модулю нормальными напряжениями.
В формулах (5.38)–(5.42)
; (5.44)
; (5.45)
; (5.46)
; (5.47)
; (5.48)
; (5.49)
; ;;. Коэффициентыиопределяются по таблице и зависят от. В приведенных формулах– меньшая сторона прямоугольника, параллельная оси. Знаки усилий в формулах (5.33)–(5.35) и (5.44)–(5.49) не учитываются.
Подбор размеров прямоугольного сечения производят из условия прочности в угловой точке без учета продольной силы. Перед подбором размеров сечение стержня надо расположить рационально. Если , то наибольшая сторонадолжна быть перпендикулярна оси. В этом случае;. В противном случае сторонадолжна быть расположена параллельно оси,, а. Условие прочности (5.43) в угловой точке без учетазаписывается следующим образом:
. (5.50)
Зная отношение моментов сопротивления , из (5.50) можно найти необходимую величину момента сопротивления, а далее размеры сечения. Для учета продольной силы обычно округляют полученные размеры в большую сторону и проверяют прочность во всех опасных точках прямоугольного сечения с учетом всех усилий по приведенным выше формулам.